Modelarea matematica a notiunilor primare de mecanica

Modelarea matematica a notiunilor primare DE MECANICA

1. Mecanica. Introducere

Vom da mai intai in acest paragraf cateva definitii ce ne vor introduce in obiectul de studiu al mecanicii definind-o pe aceasta ca o ramura a fizicii de sine-statatoare:

Def.: mecanica - ramura fizicii care studiaza fenomenele mecanice (miscarea mecanica)

Def.: fenomen mecanic [miscare (mecanica)] = prin miscarea mecanica a unui sistem mecanic se intelege schimbarea in timp a starii mecanice a acestuia, in raport cu un alt sistem mecanic numit sistem de referinta. Daca starea mecanica a sistemului nu se modifica in timp in raport cu sistemul de referinta, spunem ca sistemul mecanic este in repaus.

Def.: sistem mecanic - un ansamblu de corpuri (materiale sau nu!) caracterizate numai prin dimensiunile si pozitiile lor in spatiu in raport cu un sistem de referinta (nu intereseaza nimic altceva despre ele, cum ar fi structura interna, sarcina electrica etc.).

Def.: stare mecanica a sistemului mecanic [pozitia sistemului mecanic] - reprezinta totalitatea parametrilor necesari localizarii in timp si spatiu a sistemului mecanic considerat in raport cu sistemul de referinta.

Def.: interactiune mecanica - este acel tip de interactiune ce se exercita intre doua sau mai multe sisteme mecanice si are ca rezultat modificarea starii mecanice a acestora.

Mecanica prezinta trei subramuri distincte de cercetare:

statica = studiaza starea de repaus (echilibru) a sistemelor mecanice;

cinematica = se ocupa cu studiul fenomenelor mecanice in conditiile neglijarii cauzelor acestora;

dinamica = are ca obiect studiul fenomenelor mecanice cu considerarea cauzelor ce le determina.

Discutii si definitii:

Conform definitiei, studiul miscarii unui sistem mecanic presupune alegerea unui alt sistem mecanic drept reper, considerat “fix”, in raport cu care studiem aceasta miscare. In natura insa nu exista corpuri absolut fixe. Experienta ne arata ca intregul univers se afla intr-o miscare continua si eterna. De aceea caracteristica de “fix” a reperului este o conventie ce se refera mai mult la punctul de vedere al observatorului.

Miscarea corpurilor fata de reperele fixe se numeste miscare absoluta, iar fata de cele mobile, miscare relativa.

Definitiile anterioare, fiind notiuni primare, sunt date in limbaj uzual; ele introduc cateva notiuni fundamentale in mecanica: spatiu, timp, sistem mecanic, stare mecanica, interactiune mecanica.

In acest limbaj primele doua notiuni - spatiul si timpul - au diverse sensuri (de exemplu putem avea timp ca notiune stiintifica, timp ca notiune metaforica - in poezie - timp utilizat cu sensul de vreme s. a. m. d.) si, odata cu acestea si urmatoarele notiuni primare devin ambigue, ceea ce nu este permis – cum afirmam anterior – in cadrul unei teorii stiintifice pe care dorim sa o dezvoltam aici. Este deci necesara abstractizarea acestora; in final, in momentul matematizarii acestora, cand semnificatia lor va fi unica, vor fi inlocuite cu simboluri matematice cu aceasta semnificatie.

Evident, abstractizarea acestor notiuni este un proces dificil, de finete, ce are loc “din aproape in aproape”; trebuie tinut cont de informatiile despre lumea inconjuratoare oferite de simturile omenesti. Aceste informatii descriu caracteristicile celor doua notiuni, determinand modelarea lor matematica (de exemplu, simturile noastre ne arata ca timpul se scurge intr-un singur sens; nimic pana acum nu a contrazis ireversibilitatea acestuia; acest fapt va conduce -asa cum vom vedea ulterior - la considerarea timpului ca un parametru matematic strict pozitiv si crescator ca functie de evenimente succesive).

In continuare vom face direct prezentarea notiunilor matematice de spatiu si timp, fara o fundamentare extrem de riguroasa si completa - care ar depasi cu mult cadrul fizic al lucrarii de fata - dar incercand sa pierdem cat mai putin din semnificatiile fizice si sa parcurgem cat mai natural - si astfel logic - toate etapele tranzitiei de la definitia in limbaj uzual la matematizarea completa a acestora.

2. Modelarea matematica a spatiului fizic: spatiul euclidian E₃; sisteme de coordonate; coordonate curbilinii; transformari de coordonate

In algebra liniara se construieste, pas cu pas, modelul matematic al spatiului fizic. Se ajunge, in final, la structura liniara relativ simpla a spatiului euclidian tridimensional E₃, cu toate proprietatile acestuia pe care le consideram cunoscute. Baza in E₃ este, de obicei, baza canonica ortonormata:

Impreuna cu un punct fixat, notat cu O si numit origine, avand in aceasta baza, prin conventie, componentele , baza canonica formeaza un asa numit reper canonic (modelul matematic al notiunii de reper definita mai sus).

Versorii definesc, prin directia si sensul lor, trei axe rectangulare gradate (cu unitatea de masura definita de modulul lor), concurente in originea O. Aceste axe, impreuna cu originea si cei trei versori formeaza asa-numitul sistem de coordonate cartezian din E₃. In acest sistem, pozitia unui punct oarecare din spatiu este complet stabilita de coordonatele sale carteziene, ce reprezinta abscisele proiectiilor acestuia pe cele trei axe: P s P(x, z, y).

Fig. 1

Datorita izomorfismului canonic

E₃ V₃

cele trei coordonate se pot considera a fi componentele pe cele trei axe ale vectorului

in ultima egalitate utilizand asa-numita conventie de sumare dupa indicele „mut” (sau irelevant) i.

Astfel, pozitia lui P poate fi descrisa in acest caz si de acest vector (tocmai datorita izomorfismului canonic), numit vector de pozitie:

Discutii

Sistemul de coordonate cartezian nu este unic; exista chiar o infinitate de astfel de sisteme, datorita arbitrariului alegerii in ceea ce priveste originea sa precum si directia si sensul celor trei axe de coordonate.

In afara sistemului de coordonate cartezian, asa cum vom vedea ceva mai tarziu, exista si alte sisteme de coordonate in care se poate descrie pozitia unui punct din spatiu. Specific sistemului de coordonate cartezian este faptul ca toate cele trei axe de coordonate sunt drepte rectangulare; in cazul general, avem de-a face cu curbe oarecare, motiv pentru care aceste sisteme generalizate se numesc sisteme de coordonate curbilinii.

Datorita modului nostru de gandire “drept”, sistemul cartezian de coordonate este cel uzual, “de baza”. Nu intotdeuna este insa cel mai convenabil pentru consideratiile ce trebuiesc facute in probleme concrete de miscare mecanica (de exemplu, in cazul miscarii circulare va fi convenabil de considerat asa-numitul sistem de coordonate sferice, despre care vom vorbi separat). Se pune deci problema trecerii de la un sistem de coordonate “natural”, cartezian, la un alt sistem de coordonate, cartezian sau curbiliniu.

Sisteme de coordonate curbilinii particulare

proiectia r I ) a razei vectoare in planul x₁Ox₂;

unghiul j I [o, 2p) dintre axa Ox₁ si proiectia razei vectoare in planul x₁Ox₂, OP’;

3. Modelarea matematica a timpului fizic

Pentru a defini intr-un mod fara echivoc notiunea de timp care, asa cum am vazut, intervine in consideratiile asupra miscarii mecanice a obiectelor, este necesara o abstractizare etapizata a acesteia, astfel incat, in final sa ajungem la abstractizarea de cel mai inalt nivel: matematizarea notiunii de timp. Pentru a obtine deci modelul matematic al timpului, vom da cateva definitii preliminarii, (relativ ambigue, tocmai datorita faptului ca sunt date in limbaj comun, cu semnificatii multiple, si nu in limbaj matematic, cu semnificatie unica a notiunilor):

Def.: eveniment = fenomen ce se desfasoara intr-un anumit domeniu spatial centrat si avand o durata determinata, adica intr-un anumit interval de timp.

ceasornic = un sir de evenimente corespunzator unui eveniment standard (sigur, repetabil si identic ori de cate ori se produce – in general un fenomen periodic);

ceasornice sincrone = ceasornice pentru care corespondenta dintre cele doua siruri de evenimente este bicontinua (nu se poate face distinctie intre ele).

Conform acestor definitii, miscarea mecanica a unui obiect reprezinta sirul de evenimente idealizate pentru care se specifica locul si momentul producerii.

Putem da acum o definitie matematica a timpului fizic; acest model matematic si dezvoltarea lui ulterioara cuprinde toate aspectele sesizate de simturile noastre cu privire la aceasta notiune, in contextul dat de realitatea imediata:

Def.: timpul este un parametru scalar real si pozitiv, notat, in general, cu t, care are o valoare unica pentru fiecare eveniment ideal si satisface urmatoarea conventie (”curge” intr-un singur sens):

- daca E₁ si E₂ sunt doua evenimente ideale pentru care t are valorile t₁, respectiv t₂, si E₁ se produce ulterior lui E₂, atunci t₁>t₂

Aceasta este o definitie generala, valabila in toate ramurile fizicii teoretice. In mecanica clasica se utilizeaza o notiune mai abstracta numita timp absolut care, in afara de proprietatea de curgere intr-un singur sens, mai satisface cateva conditii suplimentare ce modeleaza timpul in realitatea imediata, conditii care nu sunt valabile decat in aceast domeniu de studiu (in microcosmos si macrocosmos, adica in teoria cuantica si in cea a relativitatii, aceste conditii suplimentare nu mai au sens, fapt dovedit de experienta; mai mult, tot mai des in ultima vreme se pune chiar problema sensului fizic clar al notiunii de timp):

nu depinde de miscarea corpului

Matematic, aceasta conditie presupune ca, in cazul in care se utilizeaza aceeasi unitate de masura a scalarului timp in doua sisteme de referinta oarecare (aflate sau nu in miscare relativa unul fata de altul) S si S’ in care studiem miscarea corpului, sa avem respectate relatiile (ce reprezinta forma matematica a principiului simultaneitatii clasice):

t’ =    t - T t = t’- T’,

unde T este momentul indicat de ceasornicul observatorului din S in momentul in care ceasornicul observatorului din S’ indica 0, iar T’ este momentul indicat de ceasornicul observatorului din S’ in momentul in care ceasornicul observatorului din S indica 0.

O consecinta matematica imediata a acestei conditii o reprezinta transpunerea in limbaj matematic a pastrarii simultaneitatii si ordinii evenimentelor in cele doua sisteme de referinta:

t₁ = t₂ T t₁’ = t₂’ t₁ > t₂ T t₁ ‘ > t₂’

este continuu

Aceasta conditie revine la aceea ca alegand t₀ = 0 momentul de timp corespunzator unui eveniment initial, atunci pentru orice valoare t I exista un eveniment care se produce la acest moment.