5.1. ELEMENTE GENERALE
Mǎsurarea puterii electrice si a energiei electrice sunt operatii importante fiind necesare în bilanturile energetice, pentru calculul randamentelor electrice, pentru optimizarea consumului energetic, sau pentru plata energiei consumate într-o anumitǎ perioadǎ de timp.
PUTERI sI ENERGII ÎN REGIM SINUSOIDAL
Dacǎ un circuit dipolar monofazat, receptor sau
generator, are la borne tensiunea instantanee 
, atunci el absoarbe sau debiteazǎ curentul alternativ
de valoare instantanee 
.
Puterea activǎ P absorbitǎ sau debitatǎ de circuitul dipolar sinusiodal este valoarea medie, a puterii instantanee p = ui, pe o perioadǎ, si este datǎ de relatia:
; (5.1)
Puterea reactivǎ Q a circuitului dipolar sinusiodal se defineste cu relatia:
(5.2)
Pentru circuitul dipolar sinusiodal, se defineste si puterea aparentǎ S:
(5.3)
Puterile P, Q , S nu sunt independente. În regim sinusoidal verificǎ relatia:
(5.4)
În regim sinusiodal puterile activǎ si reactivǎ pot fi scrise în functie de puterea aparentǎ astfel:
se numeste factor de putere al circuitului sinusiodal si este dat de relatia:
(5.6)
Energia electricǎ activǎ schimbatǎ de un circuit în timpul t se defineste ca fiind produsul dintre puterea electricǎ activǎ a acelui circuit si timpul t:
(5.7)
Puterea aparentǎ complexǎ se defineste cu relatia directǎ:
(5.8)
Trecerea inversǎ, de la puterea aparentǎ complexǎ la puterile activǎ si reactivǎ, se realizeazǎ cu relatiile:
(5.8')
în care operatorii "Re" si "Im", semnificǎ partea realǎ, respectiv partea imaginarǎ a unui numǎr complex.
PUTERI sI ENERGII ÎN REGIM NESINUSOIDAL
a. Functia periodicǎ de timp
Se numeste functie periodicǎ de timp, functia care verificǎ relatia:
(5.9)
în care T = 1/f = 2 este perioada functiei, este pulsatia (fundamentalǎ) a mǎrimii periodice, iar f este frecventa (fundamentalǎ).
b. Dezvoltarea functiei periodice în serie Fourier
Dacǎ o functie f(t) este periodicǎ, atunci aceasta se poate descompune în serie Fourier, folosind relatia generalǎ:
(5.10)
în care Fo este valoarea medie a functiei pe o perioadǎ, coeficientii Ak si Bk se numesc amplitudinile armonicilor de ordinul k, în cosinus, respectiv în sinus ale functiei f(t). Acesti coeficienti sunt dati de relatiile:
(5.11)
T fiind perioada functiei. Relatia (5.10) se mai poate scrie sub forma:
În anumite situatii
particulare, coeficientii din dezvoltarea (5.10) se simplificǎ.
Astfel, dacǎ functia f(t) este alternativǎ simetricǎ,
verificând relatia 
, atunci Fo
= 0. Dacǎ functia f(t) este imparǎ, verificând
relatia 
, atunci Ak
= 0. Dacǎ functia f(t) este parǎ, verificând
relatia 
, atunci Bk
= 0.
c. Caracteristicile mǎrimilor nesinusoidale
1. Valoarea efectivǎ a unei mǎrimi periodice nesinusoidale f(t) este definitǎ de relatia:
2. Coeficientul de distorsiune kd se defineste ca raportul dintre valoarea efectivǎ Fd a tuturor armonicilor superioare (reziduu deformant) si valoarea efectivǎ a componentei alternative a mǎrimii:
(5.14)
d. Puteri în regim nesinusoidal
Dacǎ un circuit dipolar este caracterizat de tensiuni si curenti nesinusoidali, atunci puterea activǎ P si puterea reactivǎ Q ale circuitului se definesc astfel:
(5.15)
în care k este defazajul dintre armonicile de ordinul k ale tensiunii si curentului.
Puterea aparentǎ S, în regim nesinusoidal, se defineste, ca si în regim sinusoidal, cu valorile efective ale tensiunii si curentului calculate cu relatia (5.13). În regim nesinusoidal, se mai defineste o putere, specificǎ numai acestui regim, numitǎ putere deformantǎ D.
Puterea deformantǎ, specificǎ regimului nesinusoidal, este datǎ de relatia:
(5.16)
Factorul de putere în regim deformant este definit de relatia:
si este întotdeauna subunitar, chiar dacǎ Q = 0, deoarece D
Energia electricǎ activǎ, în regim nesinusoidal, se defineste cu relatia (5.7) valabilǎ si în regimul sinusoidal, deosebirea fǎcându-se la definirea puterii active, care, în acest caz, se calculeazǎ cu prima relatia (5.15).
5.2. MǍSURAREA PUTERII ÎN CIRCUITE DE CURENT
CONTINUU
Prin definitie, puterea de c.c. este egalǎ cu produsul valorilor continue ale tensiunii si curentului:
fiind întotdeauna o putere activǎ, capabilǎ sǎ producǎ lucru mecanic sau cǎldurǎ.
Mǎsurarea puterii de c.c. se face fie printr-o metodǎ indirectǎ, utilizând un ampermetru si un voltmetru de c.c., fie direct cu ajutorul unui wattmetru.
5.2.1. METODA AMPERMETRULUI sI VOLTMETRULUI
Schema de montaj din Fig. 4.6, pentru mǎsurarea rezistentei prin metoda industrialǎ poate servi si la mǎsurarea puterii date de sursa de c.c. E, rezistorului Rx. Aceastǎ putere se determinǎ, tinând seama de consumul celor douǎ aparate (cu rezistentele interne RA si RV), cu relatiile:
(5.19)
în care Ux si Ix sunt tensiunea la bornele rezistorului Rx, respectiv curentul care-l strǎbate, iar U si I sunt tensiunea si curentul mǎsurate cu cele douǎ aparate din schemǎ.
5.2.2. METODA WATTMETRULUI ELECTRODINAMIC
Desi în practicǎ mǎsurarea puterii în circuitele de c.c. se face cu metoda ampermetrului si voltmetrului, se poate utiliza si un wattmetru electrodinamic, pentru a indica direct valoarea puterii. În acest caz, pentru a elimina influenta câmpului magnetic terestru asupra instrumentului electrodinamic, mǎsurarea puterii trebuie fǎcutǎ de douǎ ori, inversând sensul curentilor în bobinele wattmetrului si luând media celor douǎ citiri.
5.3. MǍSURAREA PUTERII ACTIVE ÎN CIRCUITELE DE C.A.
MONOFAZATE
5.3.1. ELEMENTE GENERALE
Mǎsurarea puterii active în circuitele de c.a. monofazate se face cu wattmetrul. Modul de functionare al wattmetrului a fost descris în paragraful 3.1.4.c.
Extinderea domeniului de tensiune al wattmetrului se poate face prin montarea în circuitul de tensiune a unor rezistente aditionale (pânǎ la maxim 1200 V), sau prin folosirea de transformatoare de tensiune (peste 1200 V).
Extinderea domeniului de curent al wattmetrului se poate face prin comutarea sectiunilor bobinei de curent în montaj serie sau paralel, ceea ce permite modificarea curentului nominal în raportul 1:2 , sau în raporturile 1:2:4, extinderi mai mari se fac prin utilizarea transformatoarelor de curent, în cazul în care bobina de curent este de 5A sau de 1A .
Determinarea puterii active mǎsurate se poate face cu relatia:
(5.20)
în care Un, In, reprezintǎ valorile nominale ale domeniilor de mǎsurare de tensiune si de curent selentionale, cosφn este factorul nominal de putere al wattmetrului (uzual egal cu 1 sau cu 0,1 si înscris pe cadranul aparatului), iar αmax este numǎrul maxim de diviziuni a scalei. De exemplu pentru Un = 240 V, In = 10 A, cosφn = 1, αmax = 120 div, rezultǎ constanta Kw = 20 W/div.
Observatie:
Deoarece deviatia wattmetrului depinde de factorul de putere, se poate întâmpla ca circuitele de tensiune si/sau de curent sǎ fie supraîncǎrcate si tutusi deviatia aparatului sǎ nu depǎseascǎ valoarea sa maximǎ. De aceea este recomandabil ca în montaj sǎ se prevadǎ un ampermetru si un voltmetru de control pentru urmǎrirea în permanentǎ a mǎrimilor din circuit (tensiune si curent), care nu trebuie sǎ depǎseascǎ valorile corespunzǎtoare domeniilor de mǎsurare ale wattmetrului.
SCHEME DE MǍSURARE ALE PUTERII ACTIVE
a. Schema obisnuitǎ de mǎsurare cu wattmetrul
Schema electricǎ de mǎsurare a puterii active cu wattmetrul, într-un circuit receptor, se prezintǎ în Fig. 5.1, în care s-au introdus un ampermetru si un voltmetru pentru a nu se depǎsi valorile maxime suportate de circuitele de curent, respectiv de tensiune. În Fig. 5.1.a se prezintǎ schema aval si în Fig. 5.1.b schema amonte de conectare a celor douǎ aparate de control.
Valoarea corectatǎ a puterii consumate de receptorul Z, tinând seama de consumurile aparatelor se calculeazǎ, în functie de schemǎ, cu una din relatiile:
Fig. 5.1. Mǎsurarea directǎ a puterii într-un circuit de c.a. monofazat: a - aval; b - amonte.
Deoarece în practicǎ consumatorii sunt alimentati uzual sub tensiune constantǎ, se recomandǎ utilizarea montajului aval.
În cazul mǎsurǎrii puterii cu un wattmetru de factor de putere cosφ redus, mǎsurarea este afectatǎ de erori suplimentare, datorate inductivitǎtii bobinei de tensiune a wattmetrului. Dacǎ se noteazǎ cu δ unghiul de defazaj inductiv al curentului din bobina de tensiune, fatǎ de tensiunea aplicatǎ, la mǎsurarea puterii se face eroarea relativǎ:
în care s-a considerat
cǎ unghiul δ, exprimat în radiani, are valori mici, deci: 
.
De exemplu, dacǎ cosφ = 0,1 si δ = 0,3 grade = 0,00523 radiani, eroarea relativǎ de mǎsurare a puterii este (ΔP/P) % = 0,00523·9,95·100 = 5,2 %, ceea ce reprezintǎ o eroare relativ mare. Pentru reducerea acestei erori se sunteazǎ bobina de tensiune a wattmetrului cu o impedantǎ inductivǎ R' - L', aleasǎ convenabil.
b. Scheme de mǎsurare folosind transformatoare de curent si tensiune
Dacǎ tensiunile si curentii din circuitul în care trebuie mǎsuratǎ puterea depǎsesc valorile nominale ale wattmetrului se utilizeazǎ transformatoare de mǎsurare de curent, cu valori nominale secundare de 1 A sau 5 A (Fig. 5.2.a) si transformatoare de tensiune, cu valoarea nominalǎ secundarǎ de 100V (Fig. 5.2.b). Mǎsurarea puterii cu un transformator de mǎsurare (de curent sau de tensiune) se mai numeste schemǎ semiindirectǎ de mǎsurare. În cazul în care se folosesc douǎ transformatoare de mǎsurare schema se numeste schemǎ indirectǎ.
Puterile activǎ consumatǎ de receptor P1, respectiv mǎsuratǎ de wattmetru P2 sunt date de relatiile:
(5.22)
Fie kin si kun rapoartele de transformare nominale ale transformatoarelor de mǎsurare de curent si de tensiune. Se face raportul relatiilor (5.22):
din care se deduce cǎ, dacǎ se neglijeazǎ erorile transformatoarelor de mǎsurare (a se vedea diagrama de fazori a mǎrimilor primare si secundare din Fig. 5.3.a), puterea consumatǎ este egalǎ cu produsul dintre puterea mǎsuratǎ si rapoartele de transformare nominale ale transformatoarelor de mǎsurare.
Fig. 5.2. Mǎsurarea puterii cu transformatoare de mǎsurare: a - de curent; b - de tensiune.
În situatia în care nu se neglijeazǎ erorile de amplitudine εi, εu, respectiv erorile de fazǎ δi, δu, ale celor douǎ transformatoare de mǎsurare, puterea calculatǎ cu relatia (5.23) nu mai este corectǎ. În acest caz, diagrama de fazori a mǎrimilor primare si secundare se prezintǎ în Fig. 5.3.b.
a. b.
Fig. 5.3. Diagramele de fazori: a - în cazul ideal; b - în cazul real.
Puterea mǎsuratǎ nu se mai calculeazǎ cu a doua relatie (5.22), ci se calculeazǎ cu urmǎtoarea relatie mai exactǎ:
Puterea consumatǎ de receptor se determinǎ tot cu prima relatie (5.22), astfel încât eroarea relativǎ care se face la mǎsurarea puterii este datǎ de relatia:
Se deduc rapoartele 
si 
din relatiile de
definitie (2.14) si (2.17) ale erorilor relative de amplitudine
si se gǎseste expresia erorii relative a puterii mǎsurate,
de forma:
(5.25)
care reprezintǎ expresia generalǎ a erorii relative de mǎsurare a puterii cu transformatoare de mǎsurare.
Dacǎ se tine seama cǎ unghiurile δi si δu au valori reduse si cǎ erorile relative de amplitudine sunt si ele de valori mici, se pot scrie cu bunǎ aproximatie, cǎ infinitii mici de ordin superior sunt neglijabili, asa încât avem:
gǎsindu-se pentru eroarea de mǎsurare urmǎtoarea relatie (foarte apropiatǎ de realitate):
Din relatia (5.27) se deduce cǎ influenta celui de al doilea termen din relatia erorii relative este însemnatǎ atunci când unghiul φ are valori apropiate de 90o, de exemplu, la mǎsurarea puterii unui transformator electric în gol.
5.4. MǍSURAREA PUTERII REACTIVE ÎN CIRCUITELE DE
C.A. MONOFAZATE
5.4.1. MǍSURAREA PUTERII REACTIVE CU WATTMETRUL
ÎNTR-UN MONTAJ SPECIAL
Mǎsurarea puterii reactive în circuitele de c.a. monofazate se poate face în mod direct si cu wattmetrul cu conditia ca bobina de tensiune sǎ fie alimentatǎ cu o tensiune auxiliarǎ defazatǎ cu 90o în urmǎ fatǎ de tensiunea la care este alimentat receptorul. În cazul unei retele monofazate, tensiunea auxiliarǎ este greu de obtinut. În schimb, dacǎ existǎ retea trifazatǎ simetricǎ, aceastǎ tensiune se poate obtine foarte usor.
Fie R, S, T o retea
trifazatǎ simetricǎ de tensiune, cu nulul accesibil. Din diagrama de
fazori a tensiunilor retelei (Fig. 5.4.a), se deduce cǎ URN 
UST.
Pentru mǎsurarea puterii reactive se realizeazǎ schema din Fig.
5.4.b, în care bobina de tensiune a wattmetrului se alimenteazǎ între
fazele S si T, circuitul de curent fiind alimentat între faza R si
neutrul N.
a. b.
Fig. 5.4. Mǎsurarea puterii reactive cu wattmetrul: a - diagrama de fazori; b - schema electricǎ.
Puterea P, mǎsuratǎ cu wattmetrul este:
Din relatia de mai sus se deduce puterea reactivǎ a consumatorului de pe faza R:
în care P este puterea activǎ mǎsuratǎ de wattmetru.
MǍSURAREA INDIRECTĂ A PUTERII REACTIVE
Aceastǎ mǎsurare se face cu schema din Fig. 5.1, aval sau amonte, cu corectiile date de una din relatiile (5.21), în care se mǎsoarǎ, puterea activǎ, tensiunea si curentul receptorului Z. Dacǎ nu se tine seama de consumurile aparatelor de mǎsurare, puterea reactivǎ se calculeazǎ cu relatia:
(5.29)
În cazul în care se tine seama de consumurile aparatelor de mǎsurare, pentru schema aval (Fig. 5.1.a), de exemplu, puterea reactivǎ se calculeazǎ mai exact cu relatia:
în care RV si RwU sunt rezistentele voltmetrului si a bobinei de tensiune a wattmetrului, circuitul receptor fiind considerat pur rezistiv. Dacǎ circuitul receptor nu este pur rezistiv, atunci un calcul mai precis al curentului prin sarcinǎ se face tinând seama de defazajele dintre curentii prin ampermetru, prin voltmetru si prin bobina de tensiune a wattmetrului, fatǎ de tensiunea U, aplicatǎ receptorului.
5.4.3. MǍSURAREA PUTERII REACTIVE CU VARMETRUL
Varmetrul este de fapt un wattmetru care nu are circuitul de tensiune pur rezistiv ci pur inductiv sau pur capacitiv. Solutia constructivǎ a circuitului de tensiune este aceea de a înseria cu bobina de tensiune o inductivitate foarte mare, care sǎ producǎ un defazaj de 90o între tensiunea aplicatǎ circuitului si curentul care îl strǎbate. În acest fel, varmetrul asigurǎ el însusi tensiunea auxiliarǎ defazatǎ la 90o în raport cu situatia unui wattmetru obisnuit si deviatia instrumentului sǎu este proportionalǎ cu puterea reactivǎ a circuitului în care este montat. Varmetrele au erori de frecventǎ relativ mari si de aceea nu ating precizia wattmetrelor. În consecintǎ, pentru mǎsurarea puterii reactive se utilizeazǎ tot wattmetre în montaje speciale.
5.5. MǍSURAREA PUTERILOR ACTIVE sI REACTIVE
5.5.1. TEOREMA LUI BLONDEL
Aceastǎ teoremǎ permite sǎ se calculeze puterea activǎ totalǎ si puterea reactivǎ totalǎ a unui circuit polifazat cu n faze, pe baza puterii aparente complexe totale S a circuitului n - fazat.
Prin analogie cu puterea aparentǎ complexǎ a unui circuit monofazat, datǎ de relatia (5.8), se poate defini puterea aparentǎ complexǎ pentru un circuit polifazat (n - fazat), cu relatia generalǎ:
(5.31)
în care 
reprezintǎ curentii de linie complex conjugati
ai circuitului n - fazat si 
reprezintǎ tensiunile complexe auxiliare de fazǎ
dintre cele n linii ale circuitului n - fazat si un punct arbitrar N,
de potential oarecare.
Conform relatiilor (5.8'), puterile active si reactive ale circuitului n - fazat sunt urmǎtoarele:
Relatiile (5.32) reprezintǎ exprimarea matematicǎ a teoremei lui Blondel generalizatǎ pentru un circuit n - fazat. Cu ajutorul acestei teoreme se exprimǎ puterile totale activǎ si reactivǎ ale circuitului, ca sumǎ a n puteri active, respectiv reactive, monofazate.
În Fig. 5.5.a se prezintǎ mǎsurarea puterii active prin metoda celor n wattmetre, ale cǎror bobine de curent sunt parcurse de cei n curenti de linie si bobine de tensiune sunt conectate între conductoarele celor n linii si un punct arbitrar N, bornele polarizate ale bobinelor de tensiune legându-se la bornele polarizate ale bobinelor de curent de pe aceeasi fazǎ, iar bornele nepolarizate la punctul comun N.
Puterea activǎ totalǎ a circuitului este egalǎ cu suma algebricǎ a indicatiilor P1, P2, ., Pn, ale celor n wattmetre din Fig. 5.5.a:
+ P2 + . + Pn (5.33)
Dacǎ un wattmetru dǎ indicatii în sens contrar scalei, se schimbǎ între ele bornele bobinei sale de curent (sau de tensiune) si puterea respectivǎ se introduce cu semnul minus în relatia (5.33). Valorile puterilor P1, P2, ., Pn, din relatia (5.33) sunt functie de potentialul punctului N, ales arbitrar, suma lor însǎ este întotdeauna aceeasi, reprezentând puterea activǎ totalǎ absorbitǎ de receptorul R.
Fig. 5.5. Mǎsurarea puterii active în circuitul n-fazat: a. cu n wattmetre; b. cu n - 1 wattmetre.
Potentialul punctului de referintǎ N din Fig. 5.5.a este arbitrar, de aceea se poate alege chiar pe una dintre fazele circuitului, de exemplu pe faza k, numitǎ fazǎ de referintǎ. Se gǎseste astfel, schema de mǎsurare a puterii active cu n - 1 wattmetre, prezentatǎ în Fig. 5.5.b. Este evident cǎ existǎ n variante ale metodei cu n - 1 aparate, deoarece ca fazǎ de referintǎ se poate alege oricare dintre cele n.
Metodele celor n si n - 1 aparate sunt valabile indiferent de gradul de nesimetrie al tensiunilor de alimentare ale circuitului si indiferent de gradul de dezechilibru al curentilor de linie.
În cazul simetriei totale a circuitului, dacǎ cele n wattmetre sunt identice, indicatiile lor vor fi egale, indiferent de pozitia punctului N (care în acest caz va avea întotdeauna potential nul). În astfel de cazuri, pentru determinarea puterii, poate fi folosit un singur aparat, valoarea puterii totale se obtine multiplicându-se indicatia aparatului cu n (pentru n = 3, a se vedea Fig. 5.6.c).
5.5.2. MǍSURAREA PUTERII ACTIVE ÎNTR-UN CIRCUIT TRIFAZAT
Mǎsurarea puterii active într-un circuit trifazat se poate face în functie de tipul consumatorului de energie electricǎ si anume, dacǎ acesta are sau nu are conductor de nul. Dacǎ datele nominale ale consumatorului depǎsesc pe cele ale aparatelor de mǎsurare, atunci se folosesc transformatoare de mǎsurare de tensiune si/sau de curent.
a. Mǎsurarea puterii active într-un circuit trifazat fǎrǎ fir neutru
Într-un circuit trifazat fǎrǎ fir neutru, puterea trifazatǎ se poate mǎsura prin metoda celor 3 sau 2 wattmetre. În Fig. 5.6. se prezintǎ schemele de mǎsurare folosite: schema cu 3 wattmetre (Fig. 5.6.a), schema cu 2 wattmetre (Fig. 5.6.b) si schema cu un singur wattmetru (Fig. 5.6.c), schemǎ valabilǎ numai în cazul circuitelor echilibrate, alimentate la tensiuni trifazate simetrice.
Schema cu 3 wattmetre se foloseste pentru consumatorii de putere foarte micǎ la care prezenta wattmetrului pe una sau douǎ faze produce o nesimetrie a sistemului de tensiuni aplicat receptorului. În cazul metodei celor 3 wattmetre puterea activǎ totalǎ se calculeazǎ cu relatia (5.33), în care se considerǎ n = 3.
Fig. 5.6. Mǎsurarea puterii trifazate fǎrǎ conductor de nul: a - schema cu 3 wattmetre;
b - schema cu 2 wattmetre; c - schema cu 1 wattmetru.
Schema cu 2 wattmetre se foloseste pentru consumatorii de putere la care prezenta aparatului de mǎsurǎ nu deranjeazǎ. Dacǎ se alege, de exemplu, drept fazǎ de referintǎ faza 2, rezultǎ schema de mǎsurare din Fig. 5.6.b, pentru care, conform teoremei lui Blondel, puterea trifazatǎ P are expresia:
suma celor douǎ puteri P1 si P2 fiind o sumǎ algebricǎ.
În cazul în care circuitul este echilibrat si tensiunile sunt simetrice, mǎsurarea puterii trifazate se face cu un singur wattmetru, dacǎ acesta nu produce el însusi o nesimetrie a tensiunilor receptorului. Schema folositǎ în acest caz este aceea din Fig. 5.6.c, în care punctul neutru artificial N se creeazǎ cu ajutorul unei cutii de rezistente, pentru care valoarea celor douǎ rezistente din schemǎ egalǎ fiecare cu rezistenta RwU a bobinei de tensiune a wattmetrului. În acest fel potentialul punctului N este nul si tensiunea aplicatǎ bobinei de tensiune a wattmetrului este egalǎ chiar cu tensiunea de fazǎ a circuitului trifazat.
Puterea trifazatǎ P se calculeazǎ cu relatia:
în care P1 este puterea indicatǎ de wattmetru. Dacǎ receptorul are punct neutru atunci acesta poate fi considerat chiar punctul N, la care se conecteazǎ borna nepolarizatǎ a bobinei de tensiune, nemaifiind necesarǎ cutia de rezistente.
Fig. 5.7. Schema de mǎsurare a puterii active trifazate fǎrǎ fir neutru cu
transformatoare de tensiune si curent.
În cazul în care sunt necesare transformatoare de mǎsurare, schema pentru mǎsurarea puterii trifazate prin metoda celor douǎ wattmetre se prezintǎ în Fig. 5.7. Pentru protectie, secundarele transformatoarelor de tensiune si de curent se leagǎ la masǎ (legǎturile sunt marcate cu linie punctatǎ). Puterea trifazatǎ se calculeazǎ cu relatia:
kun si kin sunt rapoartele de transformare nominale ale celor douǎ transformatoare, iar suma din relatia (5.36) este o sumǎ algebricǎ.
b. Mǎsurarea puterii active într-un circuit trifazat cu fir neutru
Dacǎ se aplicǎ teorema lui Blondel se deduce cǎ mǎsurarea se poate face fie cu 4 wattmetre, fie cu 3 wattmetre. Schemele corespunzǎtoare sunt prezentate în Fig. 5.8.
Fig. 5.8. Schema de mǎsurare a puterii active trifazate cu fir neutru:
a - cu 4 wattmetre; b - cu 3 wattmetre.
Puterea trifazatǎ se calculeazǎ fǎcând suma algebricǎ a indicatiilor celor 4, respectiv 3 wattmetre.
Circuitele de distributie a energiei electrice trifazate cu fir neutru se folosesc numai pentru retelele de joasǎ tensiune (220/127, 380/220, 660/380). De aceea, pentru aceste circuite se pot folosi (dacǎ este cazul) doar transformatoare de curent, transformatoarele de tensiune nefiind economice. Dacǎ este necesarǎ corelarea tensiunii consumatorului cu aceea a wattmetrelor de mǎsurare, se pot folosi rezistente aditionale. În Fig. 5.9 se prezintǎ o schemǎ de mǎsurare cu trensformatoare de curent si cu rezistente aditionale, folositǎ la joasǎ tensiune.
Puterea trifazatǎ P se calculeazǎ cu relatia:
în care P1 + P2 + P3 este suma algebricǎ a indicatiilor celor 3 wattmetre, kin este raportul de transformare nominal al transformatorului de curent, iar kR este un raport de multiplicare al tensiunii wattmetrului, dat de relatia:
Ra fiind valoarea rezistentei aditionale pe fazǎ, iar RwU valoarea rezistentei bobinei de tensiune a wattmetrului (cele 3 wattmetre din schemǎ se considerǎ identice).
Fig. 5.9. Mǎsurarea cu 3 wattmetre (sau cu wattmetru trifazat) a puterii trifazate
de joasǎ tensiune, cu fir neutru, folosind transformatoare de curent si rezistente aditionale.
MǍSURAREA PUTERII REACTIVE ÎNTR-UN CIRCUIT
TRIFAZAT
În circuitele trifazate mǎsurarea puterii reactive se face cu wattmetre, dacǎ acestora li se aplicǎ câteva reguli de bazǎ. Prima regulǎ este aceea cǎ bobinelor de tensiune ale wattmetrelor li se aplicǎ tensiuni auxiliare decalate cu 90o în urmǎ fatǎ de tensiunile de bazǎ de la mǎsurarea puterii active. A doua regulǎ este o consecintǎ a primei reguli si impune ca sistemul de tensiuni al receptorului trifazat sǎ rǎmânǎ simetric (triunghiurile fazorilor tensiunilor de linie si de fazǎ sǎ rǎmânǎ echilaterale), pentru a folosi proprietatea unui triunghi echilateral de a avea orice laturǎ perpendicularǎ pe apotema corespunzǎtoare acelei laturi. A treia regulǎ constǎ în aceea cǎ sistemul trifazat de curenti poate sǎ fie dezechilibrat. Aplicând aceste reguli, metodele de mǎsurare ale puterilor active pot fi adaptate si la mǎsurarea puterilor reactive.
a. Mǎsurarea, cu trei wattmetre, a puterii reactive în circuite
Conform teoremei lui Blondel puterea reactivǎ, mǎsuratǎ cu trei aparate este datǎ de a doua relatie (5.32), care pentru n = 3, capǎtǎ forma:
Se
vor determina puterile active P1e,
P2e, P3e, echivalente puterilor reactive Q1, Q2, Q3. Se considerǎ diagrama
de fazori a tensiunilor trifazate (Fig. 5.10.a), din care se vor gǎsi
tensiunile auxiliare 
defazate cu 90o în urmǎ fatǎ de
tensiunile de bazǎ 
. Se va alege punctul de referintǎ N, chiar centrul
de greutate al triunghiului echilateral 123.
a. b.
Fig. 5.10. Mǎsurarea cu 3 wattmetre a puterii reactive în circuite trifazate fǎrǎ fir neutru:
a - diagrama fazorialǎ; b - schema de conectare a wattmetrelor.
Tensiunea
auxiliarǎ 
perpendicularǎ pe
tensiunea de bazǎ U1N
este chiar tensiunea de linie U23,
care este mai mare de 
ori decât U1N. Prin urmare, 
. În mod analog 
si 
. Deci puterea reactivǎ totalǎ se calculeazǎ
cu relatia:
(5.40)
în care P1e, P2e, P3e, sunt indicatiile celor 3 wattmetre. Urmǎrind rationamentul de mai sus se ajunge la schema din Fig. 5.10.b, în care se vede cǎ pentru mǎsurarea puterii reactive, bobinele de curent ale celor 3 wattmetre se monteazǎ în serie pe cele 3 faze, iar bobinele de tensiune se alimenteazǎ cu tensiunile între fazele urmǎtoare celei pe care se monteazǎ bobina de curent.
Dacǎ circuitul trifazat este perfect simetric si echilibrat, puterea reactivǎ se poate mǎsura cu un singur wattmetru, conectat ca în Fig. 5.11, iar relatia de calcul a puterii reactive trifazate Q este urmǎtoarea:
(5.40')
în care P1e este indicatia wattmetrului.
Fig. 5.11. Mǎsurarea puterii reactive trifazate cu un singur wattmetru (cazul simetriei perfecte).
b. Mǎsurarea, cu douǎ wattmetre, a puterii reactive în circuite
În cazul a douǎ wattmetre ne vom baza tot pe teorema lui Blondel pentru puteri reactive, care se scrie:
(5.41)
Se cautǎ tensiunile
auxiliare defazate cu 90o în urmǎ fatǎ de U12 si
fatǎ de U32.
Sistemul de tensiuni fiind simetric, se constatǎ cǎ tensiunile de
fazǎ U3N
si U1N îndeplinesc aceastǎ
conditie, dar sunt de ori mai mici (Fig.
5.10.a). Prin urmare, la aceste tensiuni se vor lega bobinele de tensiune ale
celor douǎ wattmetre si puterea reactivǎ va fi datǎ de
relatia:
(5.42)
în care P1e, P2e sunt indicatiile celor 2 wattmetre. Pentru realizarea celor douǎ tensiuni auxiliare de fazǎ U3N si U1N, deoarece circuitul nu are fir neutru, se va realiza un punct neutru auxiliar N, folosind schema din Fig. 5.12, în care se foloseste o rezistentǎ RwU, egalǎ cu rezistenta bobinei de tensiune a celor douǎ wattmetre.
Fig. 5.12. Mǎsurarea cu 2 wattmetre a puterii reactive în circuite trifazate fǎrǎ fir neutru
c. Mǎsurarea, cu trei wattmetre, a puterii reactive în circuite
În acest caz, se adoptǎ teorema lui Blondel cu n - 1 = 3 wattmetre, montate în conformitate cu principiul general, luând ca fazǎ de fazǎ de referintǎ chiar conductorul neutru. Puterea reactivǎ este datǎ de expresia:
Relatia (5.43) este analoagǎ relatiei (5.39), punctul N se gǎseste în centrul de greutate al triunghiului echilateral al tensiunilor de linie, prin urmare schema de montaj pentru mǎsurarea puterii este aceeasi ca în Fig. 5.10.b, iar calculul puterii reactive trifazate se face tot cu relatia (5. 40).
5.6. MĂSURAREA ENERGIEI ELECTRICE
Energia electricǎ activǎ W se calculeazǎ cu relatia (5.7), dacǎ puterea electricǎ se mentine constantǎ în intervalul de timp t. În cazul în care puterea este variabilǎ, energia electricǎ activǎ se calculeazǎ cu relatia:
(5.44)
În mod analog, se calculeazǎ si energia reactivǎ Wr consumatǎ în intervalul de timp t:
(5.45)
Aparatele pentru mǎsurarea energiei electrice se numesc contoare de energie activǎ sau reactivǎ si contin un instrument de inductie, descris în paragraful 3.1.5.
În circuitele ce c.c. se folosesc contoare de tip electrodinamic. În circuitele de c.a. se utilizeazǎ exclusiv contoare de inductie, al cǎror principiu de functionare este descris în paragraful 3.1.5.
MĂSURAREA ENERGIEI ELECTRICE ACTIVE ÎN
CIRCUITELE DE CURENT ALTERNATIV
a. Mǎsurarea energiei electrice active într-un circuit monofazat de c.a.
Fig. 5.13. Montarea unui contor monofazat: a - directǎ; b - indirectǎ (cu transformatoare).
b. Mǎsurarea energiei electrice active într-un circuit trifazat de c.a.
Mǎsurarea energiei active în circuitele trifazate se face fie cu contoare monofazate, fie cu contoare trifazate. În primul caz, utilizat mai rar, se folosesc 2 sau 3 contoare monofazate, montate dupǎ schema de mǎsurare a puterii active cu 2, respectiv cu 3 wattmetre, energia totalǎ obtinându-se prin însumarea energiilor înregistrate de fiecare contor în parte.
Mult mai folositǎ este folosirea unui contor trifazat, care reuneste în cadrul aceluiasi aparat 2 sau 3 sisteme active, fiacare având câte un electromagnet de curent si unul de tensiune, astfel încât cuplurile active ale tuturor sistemelor sǎ actioneze asupra aceluiasi ax, iar cuplul activ sǎ fie proportional cu puterea trifazatǎ si contorul sǎ mǎsoare energia trifazatǎ totalǎ.
Fig. 5.14. Mǎsurarea directǎ a energiei active cu contoare trifazate:
a - cu 2 sisteme; b - cu 3 sisteme.
Fig. 5.15. Mǎsurarea indirectǎ (cu transformatoare de mǎsurare) a energiei active, cu
contoare trifazate având 2 sisteme active, în sistemele fǎrǎ conductor de nul
Fig. 5.16. Mǎsurarea indirectǎ (cu transformatoare de mǎsurare) a energiei active, cu
contoare trifazate având 3 sisteme active, în sistemele cu conductor de nul
MĂSURAREA ENERGIEI ELECTRICE REACTIVE ÎN
CIRCUITELE DE CURENT ALTERNATIV
Contoarele pentru mǎsurarea energiei reactive pot fi cu tensiuni auxiliare, dacǎ tensiunile consumatorului sunt simetrice, sau cu sunt, dacǎ tensiunile consumatorului sunt oarecare.
Deaorece energia reactivǎ poate fi pozitivǎ sau negativǎ, dupǎ cum sarcina are caracter inductiv sau capacitiv, contoarele de energie reactivǎ se monteazǎ în mod special pentru aceste douǎ categorii de sarcinǎ, existând contoare de energie inductivǎ (absorbitǎ) si contoare de energie capacitivǎ (debitatǎ), acestea din urmǎ fiind folosite la iesirea din schemele de compensare a energiei reactive cu condensatoare sau compensatoare sincrone, din institutiile care au asemenea scheme. Diferenta între cele douǎ tipuri de contoare de energie reactivǎ constǎ în faptul cǎ la montare, se conecteazǎ de obicei bobina de curent, fie normal polarizatǎ, fie cu polarizarea inversatǎ.
Unitatea de mǎsurǎ pentru energia reactivǎ este kVArh (kilovarorǎ), sau VArh (Varorǎ).
Fig. 5.17. Schema contorului de energie reactivǎ pentru consumatori cu conductor de nul:
a - cu defazaj intern β = 60o; b - cu defazaj intern β = 90o.
deci sistemul va avea trei sisteme de mǎsurare. Pentru β = 60o (caz mai folosit), tensiunile de bazǎ U sunt U10, U20, U30, iar tensiunile auxiliare U' sunt U20, U30, U10, fiind decalate în urmǎ cu 120o, în raport cu tensiunile de bazǎ, U/U' = 1 si schema de montaj, care realizeazǎ aceste cerinte, este prezentatǎ în Fig. 5.18.
Fig. 5.18. Schema unui contor de energie reactivǎ pentru sisteme trifazate cu
conductor de nul, având defazajul întern β = 60o.
Fig. 5.19. Contorul de energie reactivǎ cu sunt: a - schema constructivǎ (1 - electromagnet
de curent, 2 - electromagnet de tensiune, 3 - disc, 4 - sunt); b - diagrama de fazori.
În acest caz, relatia (3.30) a cuplului activ al contorului devine:
(5.47)
adicǎ cuplul activ este proportional cu puterea reactivǎ a circuitului, iar contorul va mǎsura direct energia reactivǎ.
Contorul cu sunt poate mǎsura energia reactivǎ în circuitele monofazate si trifazate cu tensiuni nesimetrice. Aceste contoare se monteazǎ dupǎ aceleasi scheme cu contoarele de energie activǎ.
Energia activǎ sau reactivǎ poate fi mǎsuratǎ în functie de perioada în care s-a consumat energia. Pentru a rationaliza utilizarea energiei în perioadele vârfurilor de sarcinǎ, se impune plata energiei la douǎ (sau trei) tarife diferentiate ca valoare, în functie de perioada din zi sau din sǎptǎmânǎ, în care se consumǎ energia. Astfel, furnizorii de electricitate acordǎ un pret mai redus pentru energia consumatǎ, dacǎ consumul se produce între orele 22 si 6, în zilele de lucru si pentru întrega perioadǎ a zilelor de sâmbǎtǎ, duminicǎ si sǎrbǎtorilor legale.
Pentru mǎsurarea energiei cu douǎ tarife diferite, în functie de orele de utilizare, se construiesc contoare cu dublu cadran a cǎror constructie este identicǎ cu a contoarelor obisnuite, cu exceptia mecanismului de înregistrare, care permite înregistrarea pe unul sau pe celǎlalt cadran, în functie de orele de utilizare.
Principiul
de functionare al unui asemenea mecanism este prezentat în Fig. 5.20. La
închiderea contactului C al ceasului de comutare, electromagnetul E
decupleazǎ roata dintatǎ Z, de pe roata Z1 si o
cupleazǎ cu Z2, trecând astfel înregistrarea de pe cadranul C1,
pe cadanul C2. În functie de programarea închiderii contactului
C, se programeazǎ fie tariful 1, fie tariful 2 de energie. 
Fig. 5.20. Contor cu douǎ cadrane de înregistrare.
5.8. PROBLEME APLICATIVE
PROBLEMA 5.1.
În circuitele de c.a. cu frecvente care depǎsesc câteva sute de Hz, wattmetrele electrodinamice mǎsoarǎ puterea cu erori relativ mari. În acest caz, sǎ se indice o metodǎ indirectǎ de mǎsurare a puterii active folosind, de exemplu, 3 voltmetre, care mǎsoarǎ tensiunea la bornele consumatorului de impedantǎ Z, a cǎrui putere se doreste a fi mǎsuratǎ, la bornele unei rezistente cunoscute R înseriatǎ cu consumatorul si la bornele circuitului serie R - Z. Se vor neglija consumurile celor 3 voltmetre.
Solutie: În Fig. 5.21.a se prezintǎ circuitul de mǎsurare indirectǎ a puterii prin metoda celor 3 voltmetre. Fie UR, UZ si U tensiunile mǎsurate la bornele rezistentei, a impedantei si la bornele circuitului serie R - Z.
Fig. 5.21. Mǎsurarea indirectǎ a puterii active cu metoda celor 3 voltmetre:
a - Schema de montaj; b - diagrama de fazori.
Tensiunea UR, este în fazǎ cu curentul I, defazajul φ al circuitului apare între tensiunea UZ, si curentul I. Dacǎ se aplicǎ teorema cosinusului în triunghiul din Fig. 5.21.b se gǎseste relatia:
Puterea de mǎsurat are expresia: P = UZIcosφ. Aceastǎ putere se deduce din relatia de mai sus si este:
În concluzie, puterea se poate calcula cu relatia de mai sus, dacǎ se cunosc cele 3 tensiuni si valoarea rezistentei R.
PROBLEMA 5.2.
În schema din Fig. 5.1.a, de mǎsurare a puterii prin metoda aval a puterii active, wattmetrul functioneazǎ pe scǎrile de 5A si de 240V, iar numǎrul maxim de diviziuni al scalei este 120. stiind cǎ puterea mǎsuratǎ indicǎ 68 diviziuni si cǎ 2RwU = RV = 20000 Ω, iar tensiunea mǎsuratǎ este 120 V, sǎ se calculeze: a. Puterea mǎsuratǎ fǎrǎ a tine seama de consumul aparatelor; b. Aceeasi putere tinând seama de consumul aparatelor; c. Eroarea relativǎ, în procente care se face în cazul a. în raport cu cazul b.
Solutie
a. Se determinǎ întâi constanta wattmetrului, considerat a avea factorul de putere unitar:
Puterea indicatǎ de wattmetru, fǎrǎ a tine seama de consumul aparatelor este:
b. Dacǎ se tine seama de consumul aparatelor de mǎsurǎ, schema de mǎsurare fiind aval, puterea corectatǎ se calculeazǎ cu prima relatie (5.21):
c. Eroarea relativǎ care se face în cazul (a), în raport cu cazul (b) este:
PROBLEMA 5.3.
Un wattmetru electrodinamic are scala gradatǎ pentru consumatori de c.a. cu frecventa cuprinsǎ între 15 Hz si 500 Hz. Schema circuitului de tensiune al acestui wattmetru este prezentatǎ în Fig. 5.22. Bobina de tensiune are rezistenta RB = 350 Ω si inductivitatea LB = 5 mH. Pentru ca indicatia wattmetrului sǎ nu depindǎ de frecventǎ, în schemǎ se prevede un condensator, având capacitatea C = 0,1 μF, împreunǎ cu rezistentele R1 si R2. a. Sǎ se determine valorile rezistentelor R1 si R2 astfel încât impedanta echivalentǎ a circuitului de tensiune sǎ aibǎ valoarea de 1000 Ω si sǎ fie pur rezistiv; b. stiind cǎ circuitul de tensiune calculat la punctul (a) are tensiunea nominalǎ Un = 30 V, sǎ se calculeze rezistenta aditionalǎ Ra a rezistorului aditional necesar modificǎrii tensiunii nominale la U1 = 120 V.
Fig. 5.22. Schema de de compensare a erorilor de frecventǎ la wattmetrul electrodinamic.
Solutie
a. Circuitul de tensiune are urmǎtoarea impedantǎ complexǎ:
Prin egalarea pǎrtilor reale si imaginare, din relatia anteriorǎ rezultǎ:
Înlocuind datele numerice cunoscute relatiile de mai sus devin:
Aceste relatii sunt îndeplinite simultan pentru o anumitǎ valoare a frecventei f. Se adoptǎ valoarea f = 100 Hz, cuprinsǎ între 15 Hz si 500 Hz si se obtin valorile celor douǎ rezistente: R1 = 426,4 Ω si R2 = 223,6 Ω. Cu aceste valori circuitul bobinei de tensiune are impedanta echivalentǎ practic rezistivǎ, pentru orice frecventǎ cuprinsǎ între între 15 Hz si 500 Hz. Prin aceasta se asigurǎ independenta indicatiei wattmetrului de frecventǎ.
b. Rezistenta aditionalǎ se calculeazǎ cu relatia:
PROBLEMA 5.4.
Pentru a mǎsura puterea într-un circuit de c.a. monofazat se foloseste schema din Fig. 5.23. Wattmetrul, de factor de putere unitar, este caracterizat de Un = 75 V, In = 1A, numǎrul maxim de diviziuni al scalei este 150, clasa de exactitate 0,5; consumul bobinei de curent 2,2 VA. Transformatorul de curent are: I1n = 15 A, I2n = 1 A, clasa de exactitate 0,5; impedanta nominalǎ secundarǎ Z2n = 5Ω. a. Dacǎ consumul ampermetrului este 1,5 VA, sǎ se verifice dacǎ transformatorul de curent nu este supraîncǎrcat. b. Dacǎ wattmetrul indicǎ 87,5 diviziuni, voltmetrul mǎsoarǎ 115V, ampermetrul mǎsoarǎ I = 0,94 A, iar consumul aparatelor se neglijeazǎ, sǎ se determine puterea activǎ preluatǎ de consumator si domeniul de încadrare al puterii.
Solutie
Puterea aparentǎ secundarǎ a transformatorului de curent este datǎ de relatia (2.15):
Fig. 5.23. Mǎsurarea puterii active monofazate cu transformator de curent.
Secundarul transformatorului suportǎ puterea aparentǎ a ampermetrului si a bobinei de curent a wattmetrului:
Deci secundarul transformatorului nu este supraîncǎrcat.
b. Constanta wattmetrului este Kw = UnIn/αmax = 75·1/150 = 0,5 W/div. Puterea mǎsuratǎ se determinǎ cu relatia (5.23): P1 = Kw·α·kin = 0,5·87,5·I1n/I2n = = 0,5·87,5·15/1 = 656,25 W.
Eroarea relativǎ limitǎ de mǎsurare a wattmetrului, conform relatiei (1.12) are expresia:
Eroarea relativǎ de amplitudine limitǎ a transformatorului de curent se determinǎ analog cu relatia (vezi problema 1.1):
Eroarea relativǎ de fazǎ se calculeazǎ din relatia (5.27), prin înmultirea ultimului termen cu 100 (pentru a da rezultatul în procente):
în care δi este eroarea de fazǎ a transformatorului de curent. Din tabelul 2.1. se deduce cǎ pentru clasa de exactitate c = 0,5 eroarea de fazǎ, la curentul secundar nominal al transformatorului, are valoarea δi = 30' = 0,5o = 0,0087 rad. Se poate considera cǎ aceastǎ eroare se face la curentul secundar de 1 A si cǎ ea pǎstreazǎ aceeasi valoare si la curentul secundar mǎsurat de 0,94 A. Unghiul φ este defazajul circuitului în care se mǎsoarǎ puterea si tangenta lui se deduce astfel:
Eroarea relativǎ de fazǎ devine: 
Eroarea relativǎ maximǎ limitǎ de mǎsurare a puterii este egalǎ cu suma celor trei erori:
Prin urmare, intervalul de încadrare al puterii este (vezi problema 1.3):
PROBLEMA 5.5.
Cu ajutorul unui contor având raportul de transmisie K = 480 rot/kWh si clasa de exactitate c = 2 se mǎsoarǎ energia consumatǎ într-un circuit de c.c. În decursul a 48 h contorul a înregistrat energia activǎ W = 3729,8 kWh. Sǎ se stabileascǎ puterea medie Pmed a consumatorului, numǎrul de rotatii al contorului si eroarea absolutǎ limitǎ de mǎsurare a energiei.
Solutie:
Puterea medie se calculeazǎ cu relatia:
Numǎrul de rotatii ale contorului se determinǎ astfel:
Eroarea absolutǎ limitǎ de mǎsurare se calculeazǎ astfel:
|
