Mecanica cuantica
8.1 Proprietati ondulatorii ale microparticulelor
8.1.1 Ipoteza lui de Broglie privind asocierea de proprietati ondulatorii particulelor
In anul 1905 Albert Einstein a emis ideea structurii
corpusculare a undelor electromagnetice, care se comportau in anumite situatii
ca un flux de fotoni, impulsul unui foton de frecventa 
fiind:
(8.1)
In anul 1924 fizicianul francez Louis de Broglie a emis ipoteza valabilitatii universale a formulei (8.1), astfel ca miscarii fiecarei microparticule - electron, proton, atom, molecula etc. - i se poate asocia o unda cu lungimea de unda:
(8.2)
Unda asociata unei particule
cu impulsul 
bine definit se numeste unda de Broglie, si
are lungimea de unda data de (8.2). Rescriind (8.1) sub forma 
,
sau sub forma vectoriala 
,
rezulta:
(8.3)
astfel ca vectorul de unda 
este proportional cu impulsul 
al microparticulei.
Din 1905, cand Einstein a lansat ipoteza unei structuri corpusculare a undelor, si pana la ipoteza lui de Broglie referitoare la proprietatile ondulatorii ale microparticulelor au trecut 20 de ani. Acest fapt poate fi inteles daca ne amintim ca Einstein a facut ipoteza sa in scopul explicarii unor fapte experimentale deja existente, in timp ce de Broglie a facut ipoteza sa fara sa existe fapte experimentale in acest sens.
Se poate observa ca primul postulat al lui Bohr se poate obtine pe baza formulei (8.2), admitand existenta numai a acelor orbite stationare ale electronului in atom pentru care este satisfacuta conditia de stationaritate a undelor de Broglie asociate miscarii electronului. Aceasta inseamna ca lungimea orbitei din teoria lui Bohr trebuie sa fie egala cu un numar intreg de lungimi de unda asociate:
(8.4)
La teoria relativitatii se arata ca impulsul si vectorul de unda sunt cuadrivectori de componente:
(8.5)
Extinzand formula (8.3) la
toate componentele cuadrivectorilor 
si 
obtinem legea
Einstein-de Broglie, care are un caracter general, fiind valabila pentru
orice microparticula:
Particularizand pentru componenta a 4-a, obtinem
(8.7)
In anul 1929 Louis de Broglie a primit premiul Nobel pentru "Elaborarea teoriei dualitatii unda-corpuscul a materiei", care a pus bazele mecanicii cuantice.
Pentru a intelege mai bine notiunea de unda asociata, sa
urmarim dependenta lungimii de unda a undei asociate unei miroparticule de masa
la variatia unui parametru ai particulei,
mentinand ceilalti parametri constanti.
(8.8)
Din (8.8) se observa umatoarele:
- pentru constant lungimea de unda scade cand viteza
microparticulei creste;
- pentru 
fix lungimea de unda este invers proportionala
cu masa de repaus.
(8.9)
unde 
este energia totala a particulei.
Din (8.9) se poate observa faptul ca:
- pentru fix lungimea de unda creste cu cresterea masei
se repaus;
- pentru constant lungimea de unda scade cand energia
totala creste.
In cazul 
sau 
se obtine cea mai mica valoare posibila pentru
lungimea de unda, 
.
(8.10)
(s-a folosit definitia
energiei cinetice din mecanica relativista, 
).
Din (8.10) se observa ca
pentru cazul clasic 
(8.10) devine:
(8.11)
Calculand lungimea de unda dupa
formula (8.11) pentru cazul 
,
,
valoarea constantei lui Planck fiind 
,
obtinem 
De aici se poate afirma ca din cauza valorii
foarte mici a constantei lui Planck nu se pot pune in evidenta efecte cuantice
(proprietati ondulatorii ale particulelor) la particule macroscopice, aceste
proprietati manifestandu-se in mod evident numai la microparticule.
8.1.2 Functia de unda 
.
Vitezele undelor de Broglie
Marimea ce caracterizeaza unda de Broglie se numeste
functie de unda si se noteaza cu simbbolul (functia psi). Interpretarea corecta a sensului functiei de unda 
,
din punct de vedere statistic, a fost data de fizicianul german Max Born in
anul 1926. Astfel, functia de unda nu este o marime observabila, adica ea nu
poate fi determinata experimental. Sens fizic are numai patratul valorii
absolute a functiei de unda, si anume marimea 
.
Exemplul cu drumul si indicatorul
Probabilitatea stabilirii experimentale a pozitiei
microparticulei descrise de functia de unda intr-un punct de coordonate 
,
la un moment de timp 
,
este proportionala cu valoarea 
in acel punct si la acelasi moment de timp.
Din acestmotiv marimea se numeste, de regula, densitatea de probabilitate.
Este evident ca intre probabilitatea unui eveniment si evenimentul insusi exista o mare deosebire. Cand vorbim despre probabilitatea de repartitie a microparticulei in spatiu, nu inseamna ca particula insasi este distribuita in spatiu. Experimentul lui Feynman
Conform ipotezei lui de Broglie, unei microparticule aflata
in miscare libera pe directia axei 
i se asociaza de exemplu unda armonica plana:
(8.12)
Viteza de faza a undei de
Broglie este viteza de propagare a suprafetei pentru care faza undei este
adica
(8.13)
unde este viteza microparticulei insasi. Conform
teoriei relativitatii restranse, pentru orice microparticula 
,
astfel ca viteza de faza a undei de Broglie fiind superioara vitezei luminiiin
vid conform (8.13), nu poate fi interpretata drept viteza microparticulei.
Daca microparticula ar fi descrisa de functia de unda
(8.12), atunci densitatea de probabilitate ca particula sa se afle intr-un
punct oarecare al axei ,
la un moment ,
ar fi:
(8.14)
Aceasta inseamna ca microparticula sepoate afla, cu aceeasi probabilitate, in orice punct din spatiu.
Este posibil ca reprezentatreaondulatorie a miscarii unui
microobiect sa fie descrisa de un pachet de unde, care la un moment dat sa aiba amplitudinea diferita de zero numai
intr-un domeniu restrans din spatiu. Pachetul de unde se obtine din
suprapunerea maimultor unde monocromatice care au pulsatiile cuprinse intr-un
interval de pulsatii 
.
Conform (8.1) si (8.2), existenta unui domeniu de pulsatii conduce la o nedeterminare 
a energiei, si respectiv o nedeterminare 
a impulsului. Viteza de gruppentru un astfel
depachet de unde se defineste prin relatia:
(8.15)
In cazul undelor de Broglie, pulsatia 
si modulul vectorului de unda 
se exprima in functie de masa de repaus si viteza a microparticulei:
(8.16)
(8.17)
Viteza de grup definita prin (8.15) se poate scrie acum sub forma:
(8.18)
Din (8.16) si (8.17) obtinem:
(8.19)
Introducand (8.19) in (8.18) se obtine:
(8.20)
ajungand astfel laconcluzia ca viteza de grup a pachetului de unde este egala cu viteza microparticulei. Acest rezultat a condus la unele interpretari eronate, menite a identifica microparticula cu pachetul de unde.
8.1.3 Experimentele lui Davisson si Germer de difractie a electronilor
In anul 1927 fizicienii americani C. J. Davisson si L. H.
Germer au efectuat experimente de difractie a electronilor pe retele
cristaline, confirmand valabilitatea ipotezei lui de Broglie. In fig.1 se arata
schema de principiu (macroscopica) a instalatiei utilizate in acest scop. 
Se poate observa cum electronii emisi de un filament F sunt
accelerati in tunul electronic T la o diferenta de potential U, iar fasciculul
de electroni, colimat in prealabil, cade pe suprafata monocristalului C. Un
detector D inregistreaza electronii deviati de cristal sub un unghi 
fata de directia lor initiala de miscare.
Rezultatele masuratorilor efectuate au fost prezentate de
Davisson si Germer sub forma unor diagrame polare, in care se trasau sub
diferite unghiuri segmente de dreapta cu lungimea proportionala
cu numarul de electroni difractati, care erau inregistrati pe directia
respectiva.
S-a constatat ca pentru o energie a electronilor de 
se obtine un maxim pronuntat al numarului de
electroni difractati sub unghiul 
(fig.2).
Aceasta reflexie selectiva a electronilor poate fi
explicata prin interferenta unor unde (in cazul nostru undele de Broglie
asociate electronilor). Liniile paralele indicate in fig.3
reprezinta urmele unor plane cristaline perpendiculare pe planul desenului.
Fasciculul de electroni cade pe cristal sub un unghi 
fata de normala MN la planele cristaline
indicate. Undele difractate se vor intari reciproc, creandu-se un maxim de
interferenta, daca este satisfacuta conditia Wulf-Bragg:
(8.21)
unde 
este lungimea de unda pentru unda 
de Broglie asociata
electronilor incidenti, iar 
este ordinul de interferenta. Relatia dintre 
si distanta 
dintre planele cristaline indicate cu linii in
fig.3 este:
iar prin inlocuirea in (8.21) se obtine:
S-a utilizat un monocristal de nichel, pentru care experimente
de difractie cu raze X au condus la o valoare a constantei retelei 
Å.
Din (8.22) se obtine, pentru 
si :
Å, (8.23)
in timp ce din (8.2) se obtine:
Å
Å=
Å (8.24)
Concordanta satisfacatoare dintre valorile lungimii de unda date de (8.23) si (8.24) confirma valabilitatea ipotezei lui de Broglie.
Experimentele de difractie de microparticule au dovedit ca ideea lui de Broglie, exprimata prin formula (8.2) este universal valabila pentru orice microparticula, fie elementara (electron, proton, neutron etc.), fie neelementara (atom, molecula etc.).
S-a ridicat problema daca proprietatile ondulatorii ale microparticulelor indicate de de Broglie apartin ansamblului de microparticule, sau reprezinta o proprietate individuala a fiecarei microparticule. Experimentele au atestat faptul ca aceasta proprietate apartine individual fiecarei microparticule.
Ipoteza lui de Broglie nu a putut fi inteleasa in cadrul fizicii clasice, astfel incat se poate afirma ca microparticulele se comporta radical diferit fata de obiectele clasice. In consecinta, microparticulele nu pot fi nici corpusculi si nici unde, in sensul clasic al acestor notiuni, si nici o dualitate unda-corpuscul. Comportarea microparticulelor, numite in general particule cuantice, se deosebeste in mod esential de comportarea obiectelor clasice, supunandu-se unor legitati specifice. Desi unda de Broglie asociata miscarii microparticulelor nu este o unda, in sensul clasic al cuvantului, se foloseste notiunea de unda de Broglie, ale carei proprietati vor fi deduse in cadrul mecanicii cuantice.
Paragaraful din Photonics privin teza lui de Broglie si premiul Nobel atribuit numai lui Davisson (nu si lui Germer)
8.1.4 Relatiile de nedeterminare ale lui Heisenberg
Faptul ca un microobiect poate fi descris de un pachet de unde de Broglie conduce la ideea existentei unei limite principiale a preciziei cu care pot fi masurate caracteristicile corpusculare ale microparticulelor.
In anul 1927 fizicianul german Werner Heisenberg (1901-1976) a aratat ca exista relatii de incertitudine pentru toate perechile de variabile canonic conjugate:
(8.25)
Pentru aceste perechi de variabile canonic conjugate relatiile de nedeterminare ale lui Heisenberg se scriu sub forma:
(8.26)
Subliniem ca relatiile de incertitudine (8.26) prezinta un caracter fundamental, exprimand deosebirea calitativa de comportare a particulelor cuantice in raport cu cele clasice. Astfel, relatiile (8.26) reflecta o lege generala a naturii, avand un caracter universal in sensul ca se refera la orice tip de obiect sau interactiune.
In incercarea de a exprima principiul de incertitudine al lui Heisenberg intr-o forma cat mai accesibila, Niels Bohr a introdus in anul 1928 asa numitul concept de complementaritate, conform caruia fenomenele la nivel macroscopic nu pot fi descrise atat de complet ca in mecanica clasica. Dupa Bohr, perechile de variabile conjugate canonic, care in mecanica clasica se completeaza reciproc si permit astfel o descriere completa a starii obiectului, in cazul microobiectelor sunt principial incompatibile, excluzandu-se reciproc. Aceasta inseamna ca nu pot fi atinse prin nici un fel de masurare precizii care depasesc cadrul relatiilor de incertitudine. Orice incercare de masurare cu precizie mare a uneia dintre variailele canonic conjugate conduce la producerea unei perturbatii incontrolabile asupra valorii celei de-a doua variabile. Pe de alta parte, perturbatiile necontrolabile asupra valorii variabilei conjugate care nu se masoara in procesul de masurare considerat, nu influenteaza rezultatele obtinute prin masurarea primei variabile canonice.
Faptul ca o microparticula descrisa de functia de unda
(8.12) prezinta aceeasi densitate de probabilitate a localizarii (8.14) in
orice punct din spatiu, este in totala concordanta cu principiul de nedeterminare.
Functia de unda (8.12) descrie un obiect cuantic de impuls 
determinat, adica 
si 
.
Exemplul 1.
Un exemplu concret de utilizare a relatiilor de nedeterminare (problema, numeric)
8.2 Elemente de mecanica cuantica
8.2.1 Introducere (Principiile din Cohen-Tanoudji?)
In mecanica cuantica se
opereaza cu functia de unda ,
care descrie starea cuantica a microparticulei. Patratul valorii absolute a
functiei de unda, sau 
,
este proportional cu probabilitatea de localizare a microparticulei intr-un
punct din spatiu, la un moment dat. Din aceasta afirmatie rezulta ca problema
fundamentala a mecanicii cuantice este de a stabili expresia functiei de unda care descrie starea cuantica a microparticulei
intr-un camp de forte.
Probabilitatea 
ca prin efectuarea unor masuratori sa gasim
microparticula in elementul de volum 
centrat pe punctul de coordonate ,
la momentul va fi in consecinta:
(8.27)
Faptul ca microparticula se
afla, cu certitudine, intr-un punct oarecare din spatiu se exprima prin
conditia de normare a functiei de unda :
(8.28)
In cazul in care 
este densitatea de probabilitate ca la un
moment microparticula sa aiba o pozitie determinata
de raza vectoare 
,
se poate calcula valoarea medie a razei vectoare astfel:
(8.29)
Formula (8.29) poate fi scrisa pentru componentele ale vectorului de pozitie :
(8.30)
In acelasi mod se poate calcula valoarea medie pentru
orice marime fizica care este o functie de coordonate, 
:
(8.31)
Daca functia de unda este data in functie de coordonatele si de timpul ,
se spune ca functia de unda este data in reprezentarea
coordonatelor.
In cele mai multe cazuri cand cunoastem functia de unda in reprezentarea coordonatelor, se poate
calcula probabilitatea cu care, in urma unor masuratori, vom obtine diferitele
valori ale unor variabile dinamice, functie de coordonate, precum si valorile
medii ale acestora.
Pentru a stabili ecuatia pe care trebuie sa o satisfaca
functia de unda -ecuatia Schrödinger- este necesar sa stabilim
inainte toate proprietatile acestei functii. In primul rand in mecanica
cuantica se impune sa fie satisfacut principiului
superpozitiei starilor. Acesta afirma ca daca un sistem cuantic oarecare se
poate afla fie in starea caracterizata de functia de unda 
,
in care valoarea unei variabile dinamice 
este 
,
fie in starea caracterizata de functia de unda 
,
in care valoarea aceleiasi variabile dinamice este 
,
atunci exista si starea caracterizata de functia de unda:
(8.32)
unde 
si 
sunt numere nenule, in general complexe.
In urma masurarii valorilor variabilei pentru microsistemul aflat in starea (8.32)
vom obtine fie valoarea ,
fie valoarea .
De aici rezulta ca prin suprapunerea starilor cuantice in care variabila
dinamica are valori determinate, se obtine starea
caracterizata de functia de unda ,
in care variabila dinamica nu are valori determinate.
Daca functiile de unda si sunt identice 
,
atunci
(8.33)
Starea descrisa de functia de unda (8.33) este identica cu
starea descrisa de functia de unda ,
in sensul ca prin masurarea valorii variabilei se obtine in ambele "stari" valoarea .
Asadar, starile descrise de o functie de unda ,
respectiv 
,
unde 
,
sunt identice.
Pe de alta parte, deoarece reprezinta densitatea de propbabilitate ca
microparticula sa se afle intr-un punct oarecare din spatiu, se impune ca
microparticula sa se gaseasca intr-un punct oarecare din spatiu, se impune ca
functia de unda sa satisfaca urmatoarele conditii, denumite si
conditiile standard:
1. sa fie univoca;
2. sa fie continua;
3. sa fie finita;
4. sa aiba derivatele de ordinul intai continue si finite in raport cu variabilele spatiale.
8.2.2 Ecuatia Schr dinger temporala
Sa consideram miscarea libera
a unei microparticule in directia si in sensul pozitiv al axei 
,
care poate fi descrisa de functia de unda:
(8.34)
Derivam de doua ori in raport
cu coordonata 
si o data in raport cu timpul :
(8.35)
In cazul relativist energia totala a microparticulei este:
(8.36)
Inmultind formal (8.36) cu
functia de unda ,
relatia devine:
(8.37)
Inlocuind 
si 
din (8.35) in (8.37), obtinem:
(8.38)
In cazul tridimensional, ecuatia se generalizeaza in mod simplu:
(8.39)
sau intr-o scriere echivalenta:
(8.40)
Am obtinut astfel, printr-o "deducere" nu foarte riguroasa, ecuatia Schrödinger temporala. Ecuatia (8.40) trebuie privita ca un postulat fundamental al mecanicii cuantice, care isi gaseste justificarea numai in concordanta cu datele experimentale.
8.2.3 Ecuatia Schr dinger atemporala
In cazul in care energia potentiala 
a microparticulei nu depinde de timp in mod
explicit, solutia ecuatiei Schrödinger (8.40) poate fi cautata sub forma unui
produs de doi termeni, dintre care unul va depinde numai de coordonate, iar
celalalt numai de timp:
(8.41)
Introducand (8.41) in (8.40):
si impartind in ambii membri
prin 
pentru separarea variabilelor obtinem:
(8.42)
Ecuatia (8.42) este
satisfacuta pentru oricare valori ale coordonatelor si timpului numai daca cei
doi termeni sunt egali cu una si aceeasi 
energia totala a microparticulei se conserva,
fapt care ne sugereaza sa luam .
Se obtin astfel doua ecuatii diferentiale:
(8.43)
(8.44)
Solutia ecuatiei (8.43) este:
(8.45)
unde 
este o
Asadar, la miscarea unei microparticule intr-un camp conservativ de forte, functia de unda are forma:
(8.46)
iar densitatea de probabilitate
(8.47)
nu depinde de timp. Starile cuantice descrise de functia de unda (8.46) se numesc stari cuantice stationare.
In continuare vom nota, pentru simplificare, functia de
unda 
prin ,
astfel ca ecuatia Schrödinger (8.44) pentru starile stationare este:
(8.48)
fiind cunoscuta sub numele de ecuatia Schrödinger independenta de timp.
8.2.4 Salturi de potential. Bariere de potential. Efectul tunel
In acest paragraf vom studia initial miscarea
unei particule cuantice nerelativiste, de masa si energie mecanica ,
care se deplaseaza liber de-a lungul axei ,
in sensul pozitiv, venind de la 
.
Particula intalneste la un moment dat o variatie brusca de energie potentiala
pe axa 
,
de inaltime 
,
in punctul 
(fig.4).
Aplicand ecuatia Schrödinger,
vom determina miscarea particulei in formalismul mecanicii cuantice in doua
cazuri: 
,
respectiv
.
1) Cazul
Energia potentiala imparte spatiul disponibil in doua zone,
si anume zona I in care 
,
respectiv zona II, in care 
.
Ecuatia Schrödinger independenta de timp, pentru cele doua zone se scrie sub
forma:
(8.49)
(8.50)
Ecuatiile sunt de tipul ecuatiei unui oscilator armonic, avand solutiile de forma:
(8.51)
(8.52)
unde am folosit notatiile 
si 
Impunem conditiile de continuitate in punctul ,
obtinand un sistem de doua ecuatii cu patru necunoscute:
(8.53)
Conform cerintelor problemei,
microparticula se poate deplasa in regiunea II numai in sensul pozitiv al axei ,
ceea ce impune ca 
.
Din (8.53) se obtin prin calcule simple rapoartele 
si 
.
Definim coeficientul de reflexie 
ca fiind probabilitatea ca microparticula care
vine de la sa se intoarca in punctul inapoi spre ,
sau altfel spus este raportul dintre amplitudinea undei
regresive si amplitudinea undei progresive din regiunea I:
(8.54)
Definim coeficientul de transmisie 
ca fiind probabilitatea ca microparticula care
vine de la sa treaca prin punctul inainte spre 
.
Particula nu poate dispare in punctul ,
astfel probabilitatea de trecere plus de intoarcere trebuie sa fie unitatea, 
,
de unde obtinem expresia lui :
(8.55)
Inlocuind expresiile lui 
si 
in (8.54) obtinem expresia coeficientului de
reflexie in functie de datele problemei:
(8.56)
Din (8.56) se pot trage urmatoarele concluzii:
- pentru 
,
si 
;
- pentru 
,
si 
;
- cand energia particulei
creste de la spre ,
coeficientul de relexie scade de la valoarea 1 la valoarea 0, in timp
ce transmisia creste de la 0 la 1.
Pentru valoarea particulara a energiei 
obtinem din (8.56) 
.
Aceasta inseamna ca daca un flux de particule se deplaseaza in conditiile
problemei, fiecare particula avand energia de doua ori mai mare decat energia
potentiala a saltului ,
numai 3 particule din 100, ajungand in punctul ,
se vor intoarce inapoi din acest punct in zona I; restul de 97 particule vor
trece mai departe in zona II.
2) Cazul
Procedam la fel ca in cazul 1). Ecuatiile Schrödinger pentru cele doua zone sunt:
(8.57)
Cu notatiile si 
,
ecuatia (8.57) are solutia:
(8.59)
iar solutia ecuatiei (8.58), datorita semnului minus, va contine exponentiale reale
(8.60)
Impunem conditiile de continuitate in punctul ,
si obtinem sistemul:
(8.61)
Conditia de marginire a functiei de unda 
impune ca 
.
Din (8.61) se obtin prin calcule simple rapoartele:
si 
,
(8.62)
de unde rezulta expresia coeficientului de reflexie:
(8.63)
In cazul 
,
,
iar din (8.62) rezulta 
si 
.
Functia de unda in punctul se va anula:
si ramane nula in regiunea II.
In cazul cand este finit, insa 
,
probabilitatea de a localiza particula in regiunea II este diferita de zero pe
o distanta fata de punctul cu atat mai mare cu cat raportul 
este mai mic. Aceasta probabilitate scade
exponential cu ,
devenind neglijabila pentru 
.
Marimea 
se numeste adancimea
de patrundere (sau puterea de patrundere).
Al doilea exemplu de miscare a unei microparticule este bariera de potential de inaltime si largime finita (fig.4).
Vom determina
coeficientul de reflexie si transmisie pentru o microparticula nerelativista de
masa ,
care se deplaseaza in lungul axei venind de la spre ,
in doua cazuri: ,
respectiv.
Vom imparti spatiul in trei regiuni, notate cu I, II si III.
1) Cazul
In zona I ,
in zona II ,
iar in zona III .
Solutiile ecuatiei Schrödinger, independenta de timp, pentru cele trei zone
sunt:
(8.64)
(8.65)
(8.66)
unde am folosit notatiile 
si
Impunem conditiile de continuitate in punctele si 
,
obtinand un sistem de patru ecuatii cu sase necunoscute:
(8.67)
Conform
cerintelor problemei vom lua 
,
deoarece amplitudinea undei regresive in regiunea III trebuie sa fie nula (microparticula
o data patrunzand in regiunea III se poate deplasa in aceasta regiune numai in
sensul pozitiv al axei ,
intrucat numai exista vreo bariera sau un salt de energie potentiala care ar
putea intoarce particula inapoi). Din ultimele doua ecuatii (8.67) vom exprima pe 
si 
in functie de 
,
iar apoi din primele doua ecuatii (8.67) vom exprima pe 
si 
in functie de si .
Efectuand calculele vom obtine, dupa transformari trigonometrice simple:
si 
,
de unde:
(8.68)
Inlocuind pe si in expresia transmisiei ,
obtinem:
(8.69)
Expresia (8.69) a transmisiei prin bariera prezinta maxime de valoare egala
cu unitatea si minime de valoare:
(8.69)
Conditia de maxim pentru este ca numitorul relatiei (8.69) sa fie
minim, adica 
,
de unde rezulta 
,
unde 
Aceasta conditie impune
anumite valori ale energiei, care este astfel cuantificata in functie de
numarul intreg 
:
(8.70)
Conditia de minim pentru este ca numitorul relatiei (8.69) sa fie
maxim, adica 
,
cu numar intreg. Aceasta conditie impune pentru
energie valorile:
(8.71)
Se poate observa ca pentru microparticule de acelasi tip (si aceeasi masa) o bariera de energie potentiala actioneaza ca un filtru, lasand sa treaca cu probabilitate maxima particulele care au energia egala cu oricare dintre valorile (8.70), si cu probabilitate minima particulele cu energia egala cu oricare dintre valorile (8.71).
In sfarsit in cazul ,
putem observa ca transmisia va fi egala cu unitatea, indiferent de
valorile latimii barierei 
.
2) Cazul (efectul
tunel)
In zona I ,
in zona II ,
iar in zona III .
Cu notatiile si ,
solutiile ecuatiei Schrödinger (functiile de unda pentru starile stationare)
pentru cele trei zone sunt:
(8.72)
(8.73)
(8.74)
Impunand conditiile de continuitate in punctele si ,
si procedand in continuare ca la punctul 1), obtinem expresia transmisiei in efectul tunel:
(8.74)
Acelasi rezultat se poate
obtine mult mai usor plecand de la formula (8.69) si observand urmatorul
artificiu: daca in (8.65) - ecuatia Schrödinger stationara pentru regiunea II
din cazul - facem substitutia 
,
se obtine chiar ecuatia Schrödinger stationara din cazul .
Aceasta conduce la urmatoarele schimbari in (8.69): 
trece in 
,
iar functia 
trece
in 
.
Pentru a calcula transmisia unei bariere de potential in cazul efectului tunel, trebuie parcurse urmatoarele etape:
- se calculeaza puterea de
patrundere a microparticulei in regiunea barierei, dupa formula de definitie: 
;
- se compara largimea a barierei cu puterea de patrundere; in cazul 
,
se poate calcula transmisia barierei dupa formula (8.74); in caz contrar,
transmisia devine complet neglijabila datorita exponentialei pozitive din
formula functiei sh.
Exemplul 2.
Sa se calculeze coeficientul de transmisie printr-o bariera
de potential de inaltime 
si latime 
Å
pentru un electron de energie 
,
respectiv un proton de aceeasi energie.
- pentru electron:
Å
Å.
Deoarece ,
din (8.74) obtinem 
.
- pentru proton:
Å
Å.
Deoarece 
,
din (8.74) obtinem 
.
8.2.5 Oscilatorul armonic liniar cuantic
Oscilatorul liniar este de mare importanta in fizica teoretica. Modelul simplu al oscilatorului armonic sta la baza multor aplicatii din fizica, in domenii ca electrodinamica, optica, mecanica analitica, fizica atomului, fizica corpului solid, radiofizica, fotonica, astrofizica etc. In multe situatii studiul miscarii unor sisteme complexe se poate reduce la studiul unui ansamblu de oscilatori echivanti cu oscilatorii armonici.
S-a aratat ca din punct de vedere al fizicii clasice, un oscilator armonic liniar se deplaseaza dupa legea:
avand viteza 
,
si energia totala 
.
In cazul oscilatorului armonic se poate aplica regula de cuantificare Sommerfeld-Wilson:
(8.75)
Pentru un oscilator armonic impulsul este 
,
de unde se obtine:
Inlocuind in (8.75) se obtine:
sau echivalent:
(8.76)
Astfel, conform ideilor initiale ale mecanicii cuantice,
energia oscilatorului armonic liniar este cuantificata, fiind egala cu un
multiplu intreg al marimii 
sau 
.
Din punct de vedere cuantic, tinand cont de expresia energiei potentiale a oscilatorului armonic:
(8.77)
se impune rezolvarea ecuatiei lui Schrödinger:
(8.78)
In vederea rezolvarii ecuatiei, introducem urmatoarele notatii:
(8.79)
Introducem de asemenea, o variabila noua, adimensionala:
(8.80)
de unde
(8.81)
Introducand aceste schimbari in (8.78), obtinem ecuatia diferentiala:
(8.82)
La rezolvarea ecuatiilor diferentiale neliniare de tipul
(8.82) se impune ca initial sa se afle solutia asimptotica, pentru 
,
unde poate fi neglijat.
(8.83)
Solutia ecuatiei (8.83) este de forma:
(8.84)
. Inlocuind 
in (8.83) si neglijand pe ,
rezulta ecuatia caracteristica:
de unde 
,
astfel solutia generala va fi de forma:
(8.85)
Din conditia ca functia de unda sa fie finita pentru 
rezulta 
.
Functia de unda nefiind normata, se va lua pentru 
valoarea 1, astfel (8.85) ia forma:
(8.85)
Solutia ecuatiei (8.82) se va cauta sub forma:
(8.86)
de unde obtinem:
Introducand solutia (8.86) in (8.82), obtinem:
sau
(8.87)
Functia 
se cauta de obicei sub forma unei serii de
puteri:
(8.88)
care se introduce in (8.87),
separand apoi termenii lui 
la puterea :
Deoarece 
,
rezulta:
(8.89)
Se obtine astfel o relatie de recurenta intre termenii seriei (8.88).
Pentru ca functia de unda
(8.86) sa satisfaca conditia standard de a fi finita pentru ,
se impune ca functia sa fie un polinom, de un ordin 
,
adica 
Aceasta conditie este satisfacuta daca:
sau
(8.90)
Se constata ca (8.90), obtinuta in cadrul mecanicii
cuantice, difera de formula (8.76) prin faptul ca, din punctul de vedere al
mecanicii cuantice, energia oscilatorului armonic nu poate fi egala cu zero.
Exista o energie de zero nenula, 
.
Pe baza relatiilor de incertitudine se poate arata ca
oscilatorul liniar armonic nu poate avea o energie mai mica decat 
.
Energia oscilatorului armonic este:
Relatiile de incertitudine pot fi scrise, in mod neriguros, astfel:
de unde se obtine:
(8.91)
Pentru a obtine valoarea minima a energiei punem conditia
ca derivata lui in raport cu 
sa fie egala cu zero:
de unde rezulta:
(8.92)
Existenta energiei de zero este una dintre cele mai evidente manifestari a caracterului cuantic, specific microparticulelor.
Exemplul 1
Functia de unda a unei microparticule este data de expresia:
unde 
si 
sunt constante reale, iar 
este un coeficient de normare. Se cer:
a) Valoarea coeficientului de normare, astfel incat functia de unda sa fie normata;
b) Probabilitatea ca la
masurarea pozitiei particulei, aceasta sa aiba valori cuprinse intre 
si 
;
c) Valorile medii ale impulsului si pozitiei particulei.
Rezolvare
a) Din conditia de normare, 
,
se obtine:
iar functia de unda normata va avea expresia:
b) 
.
c) 
;
(specific
ca variatia potentialului in cazurile reale nu este brusca, de forma unei
functii 
,
iar conditiile la limita sunt valabile pentru cazul 
,
unde este distanta pe care are loc variatia
energiei potentiale - vezi Cohen-Tanoudji)
Oscilatorul cuantic
Groapa de potential?
Probleme. Principiile mecanicii cuantice
Bibliografia?
1. David J. Griffiths. Introduction to Quantum Mechanics (2nd Edition), Wiley, 2004.
2. A. Messiah. Mecanica cuantica, vol I, Editura stiintifica, Bucuresti, 1974.
3. A. A. Coкoлoв, Ю. M. Лocкутoв, И. M. Tеpнoв. K a o a Me a
4. E.R. Bena, E. C. Niculescu. Probleme de mecanica cuantica, Institutul Politehnic Bucuresti, Catedra de Fizica, 1981.
5. Toma Vescan. Mecanica Cuantica, Partea I, Universitatea Bucuresti, Facultatea de Fizica, Bucuresti, 1975.
6. Veronica Florescu.. Mecanica Cuantica, Partea I, Universitatea Bucuresti, Facultatea de Fizica, Bucuresti, 1980.
7.
Eyvind H. Wichmann. Fizica Cuantica,
Cursul de Fizica
8. Serban Titeica. Mecanica Cuantica. Editura Academiei Republicii Socialiste Romania, Bucuresti, 1984.
|
