Figura R 3.4.1
Rezolvare: a) Fiind un sistem de forte coplanare (situat īn planul Oxy), fortele vor avea proiectii doar pe axele Ox si Oy iar momentele acestor forte īn raport cu punctul O vor fi perpendiculare pe planul Oxy, deci . Modulele momentelor vor fi calculate cu relatia (3.2) iar sensul cu regula burghiului drept.
Forta : , ,
( O apartine suportului fortei ).
Forta : , ,
( O apartine suportului fortei ).
Forta : ,
(avānd sensul axei Oz, proiectia este pozitiva).
Forta : ,
(deoarece are sensul opus celui pozitiv pe Oz, aceasta proiectie este negativa).
Momentul : .
Rezultatele au fost sintetizate īn tabelul T 3.4.
Forte |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
- 2P |
|
- |
|
|
|
- |
|
P |
|
- |
Tabelul T 3.4
Se obtine torsorul
b) Ecuatia (3.14) a axei centrale ar 212y2420c e īn cazul nostru forma :
.
c) Reprezentarea īn functie de valorile parametrului real a torsorului de reducere si a axei centrale este data īn figura R 3.4.2.
Figura R 3.4.2
R 3.5) Se dau fortele paralele , avānd directiile si sensurile din figura R 3.5 , modulele si punctele de aplicatie ,, respectiv. Se cere :
a ) Sa se determine torsorul de reducere īn punctul O ;
b ) Sa se determine centrul fortelor paralele ;
c ) Sa se determine ecuatia vectoriala a axei centrale.
Rezolvare: a) Fortele se proiecteaza īn adevarata marime pe Oz si dau momente doar pe axele Ox si Oy. Proiectiile acestor vectori sunt date īn tabelul T 3.5.
Forte |
|
|
|
|
- 4 P |
|
12 a P |
|
8 P |
16 a P |
- 12 a P |
|
- 5 P |
- 20 a P |
|
|
6 P |
|
- 9 a P |
|
5 P |
- 4 a P |
- 9 a P |
: ,
b ) Coordonatele centrului fortelor paralele sunt:
Rezulta .
c ) Ecuatia vectoriala a axei centrale este :
unde este o constanta arbitrara. Axa centrala este o dreapta paralela cu Oz si care contine punctul C .
Figura R 3.5 Figura TC 3.1
3.10. Probleme propuse
3.10.1. Teste clasice
TC 3.1) Asupra piramidei triunghiulare OABC din figura TC 3.1, avānd laturile AB = AC = a si , actioneaza fortele si orientate ca īn figura si avānd modulele . Se cere:
a) Sa se reduca sistemul de forte īn raport cu punctul O si sa se reprezinte grafic elementele torsorului de reducere obtinut;
b) Cu ce este echivalent sistemul celor trei forte?
TC 3.2) Se considera paralelipipedul dreptunghic OABCO'A'B'C'de laturi OA = 3a , OC = 4a, OO'=12a solicitat ca īn figura TC 3.2 , unde si M= 6aP. Pe latura O'A' actioneaza o sarcina liniar distribuita ( paralela cu Oz ) , ce variaza de la valoarea 0 īn punctul O' la valoarea īn punctul A'. Se cere :
a ) Torsorul de reducere īn O ;
b ) Cu ce este echivalent sistemul dat ?
c ) Ce forta si ce moment trebuie sa se introduca īn O pentru ca noul sistem de forte sa se reduca la o rezultanta unica iar axa centrala sa treaca prin A si B ?
Figura TC 3.2 Figura TC 3.3
TC 3.3) O bara īncastrata, avānd dimensiunile din figura TC 3.3, este solicitata de sistemul de forte coplanare , avānd directiile si sensurile din figura si modulele ,. Se cere :
a ) Torsorul de reducere īn punctul O ;
b ) Cu ce este echivalent sistemul de forte ?
c ) Ecuatia axei centrale .
TC 3.4) Se dau fortele paralele , care actioneaza īn punctele respectiv. Se cere:
a) Sa se calculeze si sa se reprezinte torsorul de reducere īn punctul O;
b) Sa se determine centrul fortelor paralele si sa se determine axa centrala.
3.10.2. Teste grila
TG 3.1) Un sistem de forte oarecare se reduce la o forta unica, egala cu rezultanta , si care actioneaza pe axa centrala a sistemului daca elementele torsorului de reducere īn raport cu punctul arbitrar O verifica conditiile:
a) ; b) ; c) ;
d) .
TG 3.2) Punctul de aplicatie al fortei (N) are vectorul de pozitie (m) īn raport cu originea sistemului cartezian Oxyz. Care este momentul fortei īn raport cu diagonala AD a paralelipipedului dreptunghic din figura TG 3.2.
Figura TG 3.2 Figura TG 3.3
TG 3.3) Suma momentelor cuplurilor de forte ce actioneaza īn lungul diagonalelor paralelipipedului dreptunghic din figura TG 3.3 este:
a) ; b) ;
c) ; d) .
3.11. Indicatii si raspunsuri
TC 3.1) a)
b) Sistemul de forte este echivalent cu un cuplu de forte de moment
TC 3.2) a ) Sarcina liniar distribuita este echivalenta cu forta rezultanta , aplicata īn centrul D (2 a , 0 , 12 a ) al fortelor paralele distribuite .
Forte |
|
|
|
|
|
|
|
- 6 P |
8 P |
|
|
|
24 a P |
|
6 P |
- 8 P |
24 P |
96 a P |
|
- 24 a P |
|
|
|
- 21 P |
|
|
|
|
|
|
- 3 P |
|
6 a P |
|
|
|
|
|
|
- 6 a P |
|
|
|
|
|
96 a P |
|
|
: ,
b ) Sistemul de forte este echivalent cu un cuplu de forte de moment.
c ) Fie si forta si momentul necesar a fi introduse īn punctul O . Noul torsor de reducere īn O este :
: ,
Deoarece rezultanta este paralela cu axa centrala ( dreapta AB ) se impun conditiile. Ecuatiile axei centrale sunt :
sau
Īn plus , . Ecuatiile axei centrale sunt : x = 3 a , z = 0. Rezulta:
Sistemul se reduce la o forta unica daca , adica ( daca , notiunea de axa centrala īsi pierde sensul ) . Deci
unde este o constanta arbitrara .
TC 3.3) a )
Forte |
|
|
|
|
|
P |
a P |
|
|
- 2 P |
- 4 a P |
|
3 P |
|
a P |
|
- P |
- P |
- 3 a P |
|
2 P |
- 2 P |
a P |
: ,
b )
Sistemul de forte este echivalent cu o forta unica, egala cu rezultanta, situata pe axa centrala.
c ) .
TC 3.4) a) Vezi problema R 3.5.
;
b) Centrul fortelor paralele este punctul .
TG 3.1) Vezi "Cazuri de reducere a unui sistem de forte oarecare". Raspuns corect: b).
TG 3.2) Se foloseste faptul ca , unde si A(2, 0, 0), D(0, 2, 3). Raspuns corect: c).
TG 3.3) , unde este un vector liber, perpendicular pe planul ABC'O', de sens trigonometric si modul iar este un vector liber, perpendicular pe planul BCO'A', de sens trigonometric si modul . Raspuns corect: a).
|