Mecanica

1. Mecanica

Breviar de calcul

Elemente de calcul vectorial

Marimile fizice pot fi:

a)      marimi scalare - determinate de un numar, independente de sistemul de referinta (scalari puri) sau depinzând de orientarea axelor de referinta (pseudoscalari). Scalari puri pot fi: masa, temperatura, iar scalari pseudoscalari pot fi: aria, volumul, unghiul, etc.

b)      marimi vectoriale - segmente de dreapta orientate, caracterizate de origine (A), extremitate (B) si valoare numerica (marime sau modul). Se noteaza , (fig.1).

Vectorii pot fi: legati (punctul de aplicatie fixat), alunecatori (suportul vectorului este fixat, dar vectorul poate fi deplasat în lungul suportului), liberi (punctul lor de aplicatie poate fi deplasat oriunde în spatiu, suportul lor ramânând paralel cu aceeasi dreapta).

Vectorul unitar (versor) , un vector având modulul egal cu unitatea

Produsul dintre vectorul si scalarul m este un vector de modul , cu suportul paralel cu al vectorului , de acelasi sens sau de sens contrar, dupa cum numarul m este pozitiv sau negativ

Proiectia unui vector pe o axa (Δ) este segmentul ce se obtine pe axa (Δ) proiectând extremitatile vectorului pe axa data (fig. 2)   

= a cosα. (1)

Suma (rezultanta) a doi vectori si este prin definitie egala cu diagonala mare a paralelogramului construit cu cei doi vectori ca laturi (fig. 3).

. (2)

Marimea vectorului suma se calculeaza cu relatia:

. (3)

Diferenta a doi vectori si este un vector , care adunat cu da vectorul (fig.4)

. (4)

Descompunera unui vector dupa doua directii. Fie doua directii ale caror versori sunt u₁ si u₂ . Componentele vectorului a dupa directiile (D ) si (D ) se obtin proiectand oblic vectorul pe cele doua directii (fig.1.4)

. (5)

Daca (D ) si (D ) sunt perpendiculare (axe ortogonale) si i si j sunt versorii celor doua directii atunci:

. (6)

Iar valoarea vectorului a este data de relatia; .

Produsul scalar a doi vectori este prin definitie egal cu produsul modulelor celor doi vectori înmultit cu cosinusul unghiului dintre ei.

. (7)

Daca si sunt exprimati prin proiectiile lor pe doua axe ortogonale si rezulta :

, (8)

deoarece si

Produsul vectorial a doi vectori este un vector al carui modul este egal cu perpendicular pe planul format de cei doi vectori. Sensul vectorului fiind dat de sensul de înaintare a unui burghiu rotit în acelasi sens în care trebuie rotit primul vector pentru a se suprapune peste al doilea vector pe drumul cel mai scurt.

Daca vectorii:

si ,

atunci: , (9)

deoarece:

În figurile de mai jos sunt prezentate cateva marimi ce sunt obtinute în urma operatiei de produs vectorial .

,

unde M reprezinta momentul fortei;

r - vectorul de pozitie;

F - forta;

L - momentul cinetic;

p - impulsul.

Fig. 7

Marimi vectoriale

Se definesc urmatoarele marimi vectoriale:

Traiectorie: Curba descrisa de un mobil în timpul miscarii sale se numeste traiectorie (fig.1.1). Traiectoria poate fi:

- Rectilinie , descrisa de o coordonata, x = f(t), t - timpul;

- Curbilinie, în plan sau spatiu, descrisa de doua coordonate prin vectorul

, (1.1)

unde i, j si k sunt versorii axelor x, y,si z respectiv trei coordonatele x(t), y(t), z(t) ;

Vectorul deplasare: segmentul de dreapta orientat ce uneste pozitia initiala si finala a unui mobil:

. (1.2)

Vectorul viteza:

când . (1.3)

Vectorul acceleratie

(1.4,a) când . (1.4,b)

1.1.2 Principiile mecanicii clasice

Principiul inertiei: Un punct material îsi mentine starea de repaus sau de miscare rectilinie uniforma atât timp cât asupra sa nu actioneaza alte corpuri care sa-i schimbe aceasta stare.

Sistemele de referinta inertiale sunt sisteme de referinta în care este valabil principiul inertiei.

Daca un sistem de referinta se misca uniform fata de un sistem de referinta inertial, atunci el va fi inertial. Daca sistemul de referinta se misca accelerat fata de un sistem de referinta inertial, atunci va fi un sistem neinertial.

Principiul relativitatii în mecanica clasica newtoniana: Legile mecanicii sunt acelasi în toate sistemele de referinta inertiale.

Principiul fundamental al dinamicii (legea actiunii) (principiul al II - lea) Experientele efectuate cu corpuri carora li s-au aplicat forte, arata ca forta este o marime fizica vectoriala direct proportionala cu produsul dintre masa m si vectorul acceleratiei

. (1.5)

Introducând (1.3) în (1.5) rezulta impulsul particulei egal cu produsul dintre masa si viteza masei

. (1.6)

Unitatea de masura a fortei: [F]_SI = = [N]; [m]_SI= [kg]; [a]_SI = [m/s²] .

Principalele tipuri de forte sunt: greutatea unui corp (G = mg, m - masa, g - acceleratia gravitationala); forta de frecare , N forta normala de apasare pe suprafata de contact, - coeficientul de frecare la alunecare); forta elastica, F_e = - kx, x - deformatia, k constanta elastica; forta centrifuga de tip inertial ,m - masa corpului, v si sunt vitezele liniara ale miscarii de rotatie, respectiv unghiulara si r - raza circumferintei parcurse, forta gravitationala F = K m₁m₂/r², K = 6,673.10^-11N.m²kg^-2 este constanta universala.

Principiul actiunii si reactiunii: Daca un corp actioneaza asupra altui corp cu o forta numita actiune cel de-al doilea corp actioneaza asupra primului cu o forta egala în modul, dar de sens opus primei, numita reactiune.

Principiul suprapunerii fortelor: Daca mai multe forte actioneaza în acelasi timp asupra unui punct material, fiecare forta produce propria sa acceleratie, independent de prezenta celorlalte forte, acceleratia rezultanta fiind suma vectoriala a acceleratiilor individuale, .

Forta interioara(tensiunea). Într-o sectiune a unui fir întins, bara întinsa sau comprimata apar doua forte egale si de sens contrar numite forte interioare (tensiunea este raportul dintre forta interioara si aria sectiunii).

1.1.3 Miscarea rectilinie uniforma

În cazul miscarii rectilinii uniforme a unui punct material (), exista:

a = 0; v = v_{o ;} x = x_o + v(t - t_o),    (1.7)

unde x_o este coordonata initiala; t_o - momentul initial care de obicei este zero; t - momentul final si x - coordonata finala.

Graficul legii miscarii este o dreapta a carei panta este proportionala cu viteza (fig.1.2).

1.4. Miscarea rectilinie uniforma variata

Pentru miscarea uniform variata, acceleratia este constanta, a = const. Legea vitezei este data de relatia

v = v_o + a(t - t_o), (1.8)

unde v_o este viteza initiala; a - acceleratia miscarii; v_o - viteza corespunzatoare momentului t_o; v - viteza finala.

Legea miscarii (traiectoria) :

. (1.9)

Unitati de masura în SI : [x]_SI = [m]; [v]_SI = [m/s]; [a]_SI = [m/s²]

Graficul vitezei este o dreapta a carei panta este acceleratia a. graficul legii de miscare este o parabola (fig.1.3).

Ecuatia lui Galilei . (1.10)

Se obtine eliminând timpul între relatiile (1.8) si (1.9).

Miscarea corpurilor sub actiunea greutatii

A . Caderea libera (F_r = 0). Legea de miscare;

; a = - g; v_o = 0. (1.11)

B . Aruncarea pe verticala (F_r = 0) legea de miscare;

.

Miscarea în plan (aruncarea pe oblica figura (1.5)

Ox: a_x = 0; x = v_oxt; v_ox=v_ocos x = v_o cost. (1.13)

Oy: a_y = - g; ; v_{oy =} v_osin;

; b = x; y = 0 . (1.14)

Legile frecarii

Forta de frecare la alunecare între doua corpuri nu depinde de aria suprafetei de contact dintre corpuri.

Forta de frecare la alunecare este proportionala cu forta de apasare normala excitata pe suprafata de contact unde este coeficientul de frecare la alunecare; N - normala la suprafata.

Unghiul de frecare j este acel unghi al unui plan înclinat pentru care un corp luneca pe el uniform   

. (1.15)

1.1.6 Miscarea cu frecare, pe un plan înclinat

Urcarea pe plan înclinat.

Ox: ma_u = -(G_x + F_x)

Oy: N = G_y.    (1.16)

Coborârea pe plan înclinat.

. (1.17)

1.1.7 Miscarea circulara uniforma ( v = ct.)

- viteza unghiulara ; ; (1.18)

( nu este unitate fundamentala a SI).

Viteza liniara ; (1.19)

acceleratia (1.20)

forta centripeta . (1.21)

Forta centrifuga este forta de tip inertial. Ca orice forta inertiala, se ataseaza corpurilor ca si-n SR neinertiale sa fie valabile legile mecanicii clasice:

. (1.22)

1.1.8 Legea lui Hooke

Definitie: Alungirea unui corp este direct proportionala cu forta deformatoare, lungimea initiala si invers proportionala cu sectiunea.

sau efort unitar (tensiune) alungire relativa; (1.23)

E - modul de elasticitate longitudinal (modulul lui Young) [E]_SI = [N/m²];.

Forta elastica este direct proportionala cu marimea deformatiei si are orientarea în sensul micsorarii deformatiei.

, (1.23,a)

unde k este constanta elastica data de relatia :;

x - deformatia.

Legea atractiei universale

Forta de atractie dintre doua corpuri punctiforme situate la distanta r între ele este o forta gravitationala ce se manifesta de-a lungul distantei celor doua corpuri având valoarea numerica data de relatia scrisa mai jos

, (1.24)

unde K este constanta atractiei universale; intensitatea câmpului gravitational; În cazul câmpului gravitational terestru ; . La o înaltime h:

; (1.25,a) . (1.25,b)

Pentru un satelit:

F_cf = F: ; . (1.26)

1.1.10 Lucru mecanic. Energia mecanica

1.1.10.1 Lucru mecanic. Energie cinetica. Putere. Lucru mecanic este o marime fizica egala cu produsul scalar dintre vectorul forta si vectorul deplasare,

; L=F.d cos.a [L]si= [J]; J (joule) nu este marime fundamentala (1.27)

Energia cinetica a unui punct material este : ; [E_c]_SI = [kg.m²/s⁴] = [J],

Puterea este: P = .

1.1.10.2 Lucru mecanic al fortei elastice F = - kx este

. (1.28)

1.1.10.3 Teorema de variatie a energiei cinetice. Variatia energiei cinetice a unui punct material este egala cu lucru mecanic al fortei rezultante aplicate punctului material

. (1.29)

1.1.10.4 Energia potentiala este data de relatia:

E_p = mgh, (1.30)

unde mg = G este greutatea corpului iar h - distanta de la corp la suprafata pamântului.

1.1.10.5 Teorema de variatie a energiei potentiale: variatia energiei potentiale a unui sistem este egala cu lucru mecanic luat cu semnul minus, efectuat de fortele conservative între cele doua stari.

DE_P=-L

1.1.10.6a Energia potentiala de interactiune gravitationala este data de relatia:

. (1.31)

1.1.10.6b Energia potentiala elastica corespunzatoare unei deformatii longitudinale x a unui resort cu constanta elastica k

. (1.32)

1.1.10.7 Conservarea energiei mecanice Energia mecanica a unui sistem izolat aflat într-un câmp conservativ este constanta deci se conserva

F_r = 0, E_M = ct. (1.33)

1.1.11 Impulsul mecanic

1.1.11.1 Impulsul mecanic al unui corp este o marime fizica egala cu produsul dintre masa si vectorul viteza,

; [p] = [Kg.m/s] = [N.s] nu este marime fundamentala a SI. (1.34)

1.1.11.2 Teorema de variatie a impulsului mecanic. Variatia impulsului mecanic este egala cu impulsul fortei

. (1.35)

1.1.11.3 Centrul de masa

; ; (1.36)

a Pentru un sistem impulsul total este egal cu masa sistemului înmultita cu viteza centrului de masa

. (1.37)

b Rezultanta fortelor exterioare este egala cu masa sistemului înmultita cu acceleratia centrului de masa

. (1.38)

1.1.11.4 Ciocniri. În orice ciocnire se conserva impulsul total.

a.Ciocnirea plastica. Ciocnirea în care corpurile se lipesc, se unesc si continua miscarea împreuna cu o viteza comuna

. (1.39,a)

Pierderea de energie cinetica (caldura degajata) este

Q=[DE_c]= ; v₁-v₂ = v_r(viteza relativa); (masa redusa) (1.39,b)

b Ciocnirea elastica. Ciocnirea elastica este ciocnirea în care pe lânga impulsul mecanic se conserva si energia cinetica . Daca ciocnirea este unidimensionala

; ; (1.40)

Ciocnirea elastica cu un perete , . (1.41)

Momentul fortei. Momentul cinetic

Momentul fortei în raport cu un punct numit pol, se defineste prin relatia

; ; M_F = b^.F; (1.42)

unde [M_F]_SI = [b]_SI[F]_SI = [Nm].

1.1.12.2 Momentul cinetic. Momentul cinetic este o marimea fizica egala cu produsul vectorial dintre vectorul de pozitie si impuls

; L=r.p sina (1.43)

[L]_SI = [J.s] (nu este marime fundamentala)

Teorema de variatie a momentului cinetic. Variatia momentului cinetic pe unitatea de timp este egala cu momentul fortei (fata de acel punct):

.

Daca punctul material este izolat sau momentul fortei, în raport cu un pol este nul, atunci, L = const.

1.1.13 Echilibrul corpurilor rigide

Sistemul de forte paralele se reduce totdeauna la o singura forta (rezultanta)

. (1.44)

Cuplu de forte. Sistem de doua forte egale în modul, paralele si de sensuri opuse.

Momentul cuplului

; . (1.45)

Centrul de greutate. Punctul de aplicatie al rezultantei fortelor de greutate paralele ale particulelor

componente. Centrul de greutate coincide cu centrul de masa.

Conditiile de echilibru ale unui rigid

Rezultanta fortelor aplicate sa fie nula (echilibru de translatie); (1.46)

Momentul rezultant al fortelor aplicate sa fie nul (echilibru de rotatie). (1.47)

1.1.14 Mecanica fluidelor

1.1.14.1 Statica fluidelor

Presiunea este data de relatia;

, (1.48)

Presiunea este o marime fizica scalara egala cu raportuls dintre forta si suprafata normala pe care actioneaza forta. În practica se utilizeaza si alte unitati de masura.

Presiunea hidrostatica, respectiv diferenta de presiune dintre doua puncte dintr-un fluid în echilibru, aflate la distanta h, sunt

p=rgh (1.48,a)

unde este densitatea fluidelor; g - acceleratia gravitationala; h - diferenta de nivel dintre doua puncte.

Legea lui Pascal. Presiunea la suprafata unui lichid în repaus se transmite în toate directiile cu aceeasi intensitate în tot lichidul si la peretii vasului.

Legea lui Arhimede. Un corp cufundat într-un lichid (fluid) este împins de jos în sus cu o forta egala cu greutatea lichidului dezlocuit,

. (1.49)

Presiunea atmosferica într-un punct al atmosferei este rezultatul fortei de apasare a aerului atmosferic aflat deasupra nivelului la care se afla acel punct.

Pe baza tubului Toricelli presiunea atmosferica este egala cu:

760 mm. col. Hg. (1.49)

1.1.14.2 Dinamica fluidelor

Debitul,este cantitatea de fluid care strabate o anumita arie în unitatea de timp.

Debitul masic(Q_m) este definit de relatia:

,

unde Dm este cantitatea de fluid exprimata în unitati de masa.

Debitul volumc (Q) este definit de relatia:

.

unde DV este cantitatea de fluid exprimata în unitati de volum.

Între debitul masic si cel de volum exista relatia:

. (1.51)

Ecuatia de continuitate: S₁v₁ = S₂v₂. (1.52)

Legea lui Bernoulli. De-a lungul unei linii de curent suma presiunilor, statica, dinamica si de pozitie este constanta,

, (1.53)

unde p este presiunea statica; - presiunea dinamica; - presiunea de pozitie.

1.1.15 Oscilatii si unde mecanice

1.1.15.1 Ecuatia miscarii oscilatorii. Oscilatorul liniar armonic este un punct material care se misca sub actiunea unei forte elastice F = - kx descriind o miscare simetrica fata de pozitia de echilibru. Ecuatiile miscarii, vitezei si acceleratiei sunt:

; ; , (1.54)

unde y este elongatia; A - amplitudinea; - pulsatia; T- perioada; - faza initiala

1.1.15.2 Perioada miscarii oscilatorului armonic, rezulta din F = ma = de unde . (1.55)

1.1.15.3 Energia totala a oscilatorului liniar armonic este un invariant

E_t = E_c + E_p = ;    (1.56,a)

; (1.56,c) ; (1.56,d) . (1,56,e)

1.1.15.4 Compunerea oscilatiilor

y = y₁ + y₂ , (1.57,a)

unde

; ; ; (1.57,b)

iar

; (1.57,c) . (1.57,d)

1.1.15.5 Pendulul gravitational

Unde mecanice

; (1.58,a) ; (1.58,b)

v_f este viteza de faza; - lungimea de unda; T - perioada.

Unde longitudinale

. (1.59)

unde E - modulul lui Young; - densitatea.

Unde transversale

, (1.60)

unde T - forta (tensiunea) în fir; - masa unitatii de lungime

Ecuatia undei plane

; (1.61,a) ; (1.61,b)

diferenta de faza; - diferenta de drum.