Metode de netezire exponentiala

Metode de netezire exponentiala

Tehnicile de netezire sunt utilizate pentru a genera valori netezite (atenuarea fluctuatiilor aleatoare din date) din care s-a eliminat componenta aleatoare) respectiv pentru obtinerea de previziuni. Valoarea netezita corespunzatoare valorii observate se va nota prin. Deasemenea vom nota prin previziunea variabilei Y efectuata la momentul t, pe baza datelor disponibile in acest moment,, , , pentru un orizontul de timp h. O alta notatie intalnita in literatura de specialitate pentru este, aceasta fiind de fapt o previziune pentru variabila aleatoare . Previziunea pentru urmatoarea perioada este considerata egala cu valoarea netezita curenta:

Daca seria de timp este generata de un proces stationar in medie (proces aflat in echilibru in jurul unei constante) atunci, media ultimilor t termeni ai seriei poate fi utilizata pentru generarea previziunii aferente urmatoarei perioade:

Valoarea medie minimizeaza indicatorul MSE.

Deasemenea daca seria contine doar tendinta si componenta aleatoare atunci o medie mobila, de tipul mediei aritmetice simple 939j96j calculata pentru ultimele k observatii poate fi considerata previziune pentru urmatoarea perioada de timp:   

.

Gradul de netezire al seriei este mai mare pe masura ce k creste. Observam caci termenii seriei netezite sunt generati de o relatie de recurenta:

unde .

Pentru primii k termeni ai seriei nu pot fi determinate valorile netezite corespunzatoare. In acest caz numarul termenilor din medie ramane constant, iar observatiile au toate aceeasi pondere. O extensie naturala a acestei abordari (de previziune cu ajutorul mediilor mobile) o constituie previziunea utilizand medii mobile ponderate:

unde .

De regula ponderile alocate observatiilor recente sunt mai mari. In acest capitol vom discuta o clasa de metode ce atribuie termenilor seriei ponderi descrescatoare exponential, pe masura ce observatiile sunt mai indepartate in timp, numite metode de netezire exponentiala.

Avantaje ale metodelor de netezire exponentiala, in previziune:

reduc interventia analistului in elaborarea previziunilor. Se utilizeaza pentru obtinerea rapida de previziuni (ex. pentru previziune lunara a vanzarilor unei firme, din fiecare sortiment de produs). Pot fi aplicate si atunci cand lungimea seriilor de timp este mai scurta

nu necesita separarea componentelor deterministe (tendinta, sezonalitate)

in practica s-au dovedit a fi candidate serioase ale altor metode mai complexe.

Metodele din aceasta clasa implica utilizarea unor coeficienti de netezire, cu valori intre 0 si 1, ce faciliteaza alocarea unor ponderi inegale termenilor seriei.   

2.1. Metoda de netezire exponentiala simpla (pentru serii stationare)

Ca si metoda de previziune, acest model este adecvat pentru previziunea seriilor de timp ce fluctueaza aleator in jurul unei valori constante (stationare in medie), nu au tendinta sau componenta sezoniera):

Se presupune aici caci constanta m ramane relativ stabila pe intervale succesive de timp.   

Consideram t momentul prezent. Pentru a previziona urmatoarea valoare , utilizand datele disponibile pana la acest moment ,, , se utilizeaza relatia de recurenta:

t=1,2,.

unde este constanta de netezire. Aceasta metoda poate fi privita ca o metoda de netezire. Relatia de recurenta se aplica succesiv pentru fiecare observatie din seria de timp. Valoarea previzionata pentru urmatoarea perioada se calculeaza ca o medie ponderata intre observatia curenta(ultima valoare disponibila) si previziunea precedenta (efectuata la pasul anterior). Cand valorile previzionate sunt egale cu ultima observatie.

Atunci cand se utilizeaza in scopul netezirii, valoarea netezita asociata valorii observate este generata de o relatie similara:

intrucat previziunea pentru urmatoarea perioada este considerata egala cu valoarea netezita curenta:

Pentru perioada observata, seria cu valorile previzionate ,, , , sau echivalent ,, , este seria valorilor netezite.

Intuitiv, implicatiile metodei devin mai evidente daca utilizam succesiv relatia de recurenta anterioara pentru , , , :

Astfel, valoarea previzonata se determina ca o media ponderata a tuturor observatiilor, ponderea fiecarei observatii descreste exponential pe masura ce ne indepartam de prezent, tinand seama de urmatoarele:

Y_t pondere c

Y_t-1 pondere c(1-c)

Y_t-2 pondere c(1-c)²

Y₁ pondere c(1-c)^t-1

Cea mai mare pondere o are observatia curenta Y_t. Suma ponderilor asociate tuturor observatiilor tinde spe unu atunci cand numarul observatiilor este mare.

Deasemenea, o alta forma a relatiei de recurenta este urmatoarea:

unde este eroarea de previziune, la momentul t. Se poate vedea ca previziunea pentru urmatoarea perioada este egala cu valoarea curenta ajustata in functie de ultima eroare de previziune.

Utilizarea oricareia din cele trei forme ale relatiilor ce definesc aceasta metoda necesita:

o valoare initiala . De regula pentru aceasta se considera prima valoare observata sau media seriei sau media primilor termeni ai seriei;

o valoare adecvata pentru constanta de netezire c. Cand c are o valoare apropiata de 1 atunci se acorda o pondere mai mare observatiilor recente, fiind adecvata pentru serii netede. Atunci cand c este aproape de 0 previziunea depinde intr-o mai mare masura de valorile inregistrate in trecut, fiind adecvata pentru serii cu o amplitudine mare a fluctuatiilor.

De regula softurile statistice selecteaza o valoare optima pentru c, fiind aceea valoare pentru care unul din indicatorii sintetici ai erorilor de previziune (MSE, MAE, MAPE or SSE) este minim. Frecvent se minimizeaza media patratelor erorilor de previziune

SSE =

eroarea de previziune fiind:

Atunci cand este utilizata in scopul netezirii, metoda produce valori mai netede atunci cand c este aproape de zero, ponderile asociate valorilor curente, in relatia de recurenta:

fiind mici.

Previziunile inafara perioadei observate sunt constante, pentru orice orizont de previziune :

2.2 Metoda Holt de netezire exponentiala (pentru serii cu tendinta)

Metode de netezire exponentiala simpla a fost extinsa de catre Holt pentru serii ce prezinta tendinta (si componenta aleatoare). Ideea: ajustarea seriei in vecinatatea originii previziunii cu o dreapta, tendinta fiind presupusa liniara pe portiuni:

unde nivelul seriei a_t (termenul liber din ecuatia dreptei de ) respectiv panta dreptei b_t se modifica conform unor relatii de recurenta asemanatoare cu cele din cazul metodei de netezire exponentiale simple:

Pentru previziune, panta se inmulteste cu orizontul de previziune si se aduna la nivelul seriei . Pentru perioada observata, previziunile se fac pas cu pas, astfel orizontul de previziune este unu. Valoarea previzionata pentru urmatoarea perioada:

Atunci cand devine disponibila o noua observatie (si originea previziunii devine t) parametrii dreptei, termenul liber asimilat cu nivelul seriei respectiv panta dreptei se ajusteaza conform relatiilor de recurenta prezentate. Nivelul seriei la momentul t notat prin este o medie ponderata intre nivelul sau previzionat anterior si noua observatie disponibila. Panta dreptei la momentul t notata este o medie ponderata intre panta estimata prin diferenta intre ultimele valori netezite ale nivelului seriei si panta estimata la momentul precedent.

Utilizarea relatiilor de recurenta necesita valori initiale pentru respectiv . Variante de initializare intalnite in practica:

- si

- si sau .

Constantele de netezire sunt determinate de regula din conditia minimizarii erorilor de previziune, fiind acele valori pentru care unul din indicatorii sintetici ai erorilor de previziune (MSE, MAE, MAPE or SSE) este minim. De regula aceste constante se determina din conditia minimizarii mediei patratelor erorilor de previziune este minima:

MSE =

eroarea de previziune fiind:

Previziunile inafara perioadei observate, pentru un orizont de timp h, se situeaza pe dreapta ce are ca si parametri ultimele estimatii:

2.3. Metoda Holt-Winters de netezire exponentiala (pentru serii cu tendinta si sezonalitate)

Metoda Holt-Winters este adecvata seriilor ce prezinta tendinta si componenta sezoniera. Metoda implica trei ecuatii de recurenta, si prin urmare trei constante de netezire, una pentru nivelul seriei, una pentru panta dreptei de tendinta respectiv una pentru coeficientii sezonalitatii. Notam cu p perioada cpmponentei sezoniere.

Tendinta seriei este modelata local printr-o dreapta, in mod similar cu metoda Holt. Tinand seama de modelul de descompunere a seriei, aditiv sau multiplicativ, exista doua variante ale metodei.

a) Modelul multiplicativ

Previziunile sunt generate in baza unei ecuatii de forma:

unde nivelul seriei , panta dreptei de tendinta respectiv componenta sezoniera sunt generate de relatiile de recurenta:

Componenta sezoniera este reprezentata aici prin indici de tipul indicilor sezonalitatii. Estimatia pentru componenta sezoniera, la momentul t, este o medie ponderata intre indicele sezonalitatii estimat prin raportul intre valoarea curenta si nivelul seriei si ultima valoare a indicelui generat pentru respectivul sezon (calculat la momentul t-p, unde p este perioada componentei sezoniere). Ecuatia pentru panta dreptei de tendinta este identica cu cea din metoda Holt. In ecuatia pentru nivelul seriei se utilizeaza valoarea desezonalizata curenta estimata prin valoarea curenta impartita la cea mai recenta estimatie a indicelui sezonalitatii pentru respectivul sezon.

Ca si valori initiale, necesare in relatiile de recurenta, sunt sugerate urmatoarele:

media datelor ce acopera primul ciclu sezonier , fiind astfel eliminata sezonalitatea din nivelul seriei    

, fiecare termen din suma fiind o estimatie pentru panta dreptei aferenta unui sezon;

indicii sezonalitatii sunt estimati prin indicii sezonalitatii determinati prin metoda raportarii la mediile mobile, varianta multiplicativa. O alta varianta de lucru este urmatoarea:

, , , .

Cele trei constante de netezire sunt determinate din conditia de minimizare a erorilor de previziune (MSE, MAPE, SSE).

Previziunile inafara perioadei observate, pentru un orizont de timp h, sunt calculate utilizand ultimele estimatii, pentru, respectiv, determinate din relatiile de recurenta:

b) Modelul aditiv

Avand in vedere compunerea aditiva a celor doua componente tendinta si componenta sezoniera, previziunile sunt generate in baza unei ecuatii de forma:

unde nivelul seriei , panta dreptei de tendinta respectiv componenta sezoniera sunt generate de relatiile de recurenta:

Pentru initializarea coeficientilor sezonalitatii se poate utiliza metoda raportarii la mediile mobile, varianta aditiva sau diferentele:

, , , .

Previziunile inafara perioadei observate, pentru un orizont de timp h, sunt calculate tinand seama de forma aditiva a modelului: