Modele de tip autoregresiv medie mobila (ARMA, ARIMA)

Modele de tip autoregresiv medie mobila (ARMA, ARIMA)

Box & Jenkins au propus o metodologie de previziune a unei variabile, utilizand ca si baza de date doar trecutul si prezentul acesteia. Aceste modele se bucura de o larga popularitate datorita:

respectiv

daca lungimea seriei este suficient de mare (si astfel T-k nu difera foarte mult de T).

Testarea semnificativitatii coeficietilor de autocorelatie

Testarea semnificativitatii coeficientului de autocorelatie :

H₀ : (nu difera semnificativ de zero)

H₁ :

se realizeaza utilizand un statistica Student

converge asimtotic (cand ) la legea normala

Pentru varianta estimatorului coeficientului de autocorelatie Bartlett a furnizat urmatoarea expresie (vezi curs C. Hurlin):

Decizia: pentru un nivel de semnificatie , ipoteza nula H₀ nu se respinge daca sau echivalent .

Observatie. Uneori pentru varianta estimatorului se utilizeaza expresia (expresie adecvata de fapt doar atunci cand seria este de tip zgomt alb). Astfel pentru T suficient de mare (pentru a putea aproxima legea student prin legea normala), o valoare absoluta pentru coeficientul de autocorelatie mai mare decat (nivelul de semnificatie fiind fixat la 5%) indica faptul ca acesta difera semnificativ de zero.

3.1.2. Functia de autocorelatie partiala (PAC)

Deseori corelatia intre doua variabile este determinata de faptul ca ambele sunt corelate cu o a treia variabila. In acest context o mare parte din corelatia intre doua variable Y_t si Y_t-k poate apare urmare a unui efect indirect, de corelare a ambelor variabile cu variabilele intermediare . Pentru a se evita acest fapt se utilizeaza coeficientul de autocorelatie partiala, acesta masurand efecul direct al lui Y_t-k asupra variabilei Y_t (se izoleaza influenta variabilei Y_t-k). Definitia acestuia este similara cu a coeficientului de corelatie partiala din econometrie.

Coeficientul de autocorelatie partiala intre doua variabile separate de k unitati de timp notat prin este coeficientul de regresie a variabilei in modelul autoregresiv AR(k):

si masoara informatia aditionala adusa de variabila in exoplicarea comportamentului prezent (cu cate unitati se modifica daca creste cu o unitate iar celelalte variabile raman nemodificate). Astfel, coeficientul de autocorelatie partiala masoara corelatia intre si , in conditiile in care celelalte variabile sunt mentinute constante (se izoleaza influenta variabilei). Astfel, coeficientul de autocorelatie partiala intre si , adica , este egal cu coeficientul de autocorelatie daca si sunt ambele necorelate cu .

Functia de autocorelatie partiala consta in setul de coeficienti , unde k=1, 2, 3, .. Pentru k=1 coeficientul de autocorelatie si coeficientul de autocorelatie partiala coincid . Coeficientii de autocorelatie partiala inregistreaza valori intre -1 si 1.

Pentru testarea normalitatii erorilor se recomanda, in literatura de specialitate, utilizarea testului Jarque-Bera (1981), bazat pe coeficientii de asimetrie si boltire. Valoarea calculata a acestei statistici este furnizata implicit de majoritatea softurilor odata cu alte statistici descriptive. Daca un esantion de T observatii provine dintr-o distributie normala atunci coeficientul de asimetrie calculat in baza observatiilor urmeaza asimptotic legea normala N(0, 6/T) iar coeficientul boltirii legea N(3,24/T). Jarque si Bera obtin prin insumarea celor doua variabile normale independente statistica:

ce urmeaza legea . Valoarea critica corespunzatoare nivelului de semnificatie a se determina din tabelul de distributie a legii c , numarul gradelor de libertate fiind 2. Zona critica este

Investigarea heteroscedasticitatii reziduurilor. Testul multiplicatorilor lui Lagrange pentru heteroscedasticitate de tip ARCH(p) presupune:

Analiza evolutiei pe termen lung a variabilelor financiare sau economice, releva deseori faptul ca varianta acestora variaza in timp. Modelele de tip ARCH sunt o clasa de modele populare in domeniul financiar (evolutia ratei inflatiei, ratei dobanzii, ratei rentabilitatii activelor s.a.). Volatilitatea ridicata apare deseori in perioade cu turbulente politice sau economice sau ca raspuns la anumite evenimente punctuale.

Dedependenta de timp a variantei empirice in seria ratei rentabilitatii actiunilor a fost observata pentru prima data de Kendall (1953), seria de timp disponibila atunci fiind impartita in doua subesantioane de date, in scopul analizei omogenitatii variantei in timp. Autorul observa: "este o situatie neobisnuita pentru o serie de timp: media ramane constanta dar varianta pare a creste in timp". In consecinta spre exemplu in modelul de tip mers aleator, pentru logaritmul indicelui pretului actiunilor , erorile, egale cu ratele rentabilitatii () nu au mai fost considerate identic distribuite:

Primul pas in directia modelarii variantei conditionate a fost facut de Engle in 1982, care a propus un model de tip ARCH, specificat prin intermediul primelor doua momente conditionate:

unde

Initial, varianta conditionata a fost exprimata ca o medie ponderata a patratului erorilor , adica in functie de socurile trecute, aceasta fiind forma ARCH(p):

Studiile empirice au aratat insa ca o reprezentare adecvata necesita un p destul de mare. Pentru evitarea numarului mare de parametri necesar a fi estimati, Bollerslev (1986) a propus o forma mixta analoaga cu cea din procesele autregresive - medie mobila (notatia consacrata GARCH):

Modelele GARCH gasesc suport empiric in domeniul financiar, specificarea pentru cel mai simplu model din aceasta clasa GARCH(1,1) sugerand intuitiv urmatorul comportament:

daca rentabilitatea activului a fost mult mai mare sau mult mai mica decat cea asteptata atunci si varianta estimata pentru urmatoarea perioada va fi mai mare, incertitudinea privind nivelul ratei in urmatoarea perioada crescand (termenii medie mobila

de asemenea deviatiile mari ale rentabilitatii tind a fi urmate de abateri mari (termenii autoregresivi

O serie de alte forme sunt propuse in literatura pentru modelarea variantei, cele mai uzuale includ si alte variabile explicative in ecuatia variantei conditionate sau impun anumite restrictii privind parametrii din aceasta ecuatie.

Un proces heteroscedastic presupune specificarea unui model pentru media conditionata ca o functie de variabile exogene si termenul eroare , respectiv a unui model pentru varianta erorii. Forma generala a unei ecuatii de tip GARCH(p,q) pentru varianta erorii este:

unde p este ordinul partii medie mobile ARCH (unde intervin patratele reziduurilor din ecuatia mediei) iar q ordinul partii autoregresive GARCH. Varianta conditionata este varianta erorii din ecuatia mediei, conditionata de informatiile disponibile:

Astfel, este necesar aici a se specifica doua grupe de ecuatii: ecuatia mediei conditionate respectiv ecuatia variantei conditionate. Exemplele clasice sunt modelul ARMA(p,q) cu erori heteroscedastice GARCH:

sau regresia cu erori heteroscedastice GARCH (scriere matriciala):

In specificarea unei forme GARCH pentru varianta sunt utile instrumentele utilizate pentru identificarea ordinului partii autoregresive p respectiv medie mobila q relativ la modelele ARMA(p,q). Variabila pentru care dorim specificarea unui model de aceasta forma este in acest context patratul reziduurilor

3.6. Regresii cu serii de timp

Specificarea dinamica a unui model include specificarea efectului intarziat a variabilelor explicative (strucura dinamica a partii sistematice din model) dar si specificarea dinamica a termenului eroare (partea nesistematica din model). Consideram un model liniar clasic de regresie, cu o singura ecuatie:

t=1,2, ,T

unde este vectorul celor K variabile explicative (de dimensiune 1xK), iareste vectorul coeficientilor modelului (de dimensiune Kx1) .

Atunci cand erorile din model sunt corelate, fiind generate spre exemplu de un proces ARMA, estimatorii obtinuti pentru coeficienti prin metoda celor mai mici patrate respectiv prin metoda verosimilitatii maxime raman nedeplasati dar sunt ineficienti. De asemenea estimatorul matricii de varianta-covarianta a estimatorului este deplasat, astfel toate testele bazate pe matricea de varianta-covarianta estimata devin ineficienti (ex. testul t, testul F, testele bazate pe .). Un model gresit speficat conduce la previziuni inadecvate, iar pentru generarea unor previziuni eficiente este necesar a se tine seama si de informatiile continute in reziduuri (faptul ca reziduurile precedente ajuta la previziunea reziduurilor curente). De asemenea daca apar variabile de tip autoregresiv ca si variabile explicative atunci estimatorii obtinuti prin metoda celor mai mici patrate sunt deplasati. Printre cauzele autocorelarii erorilor se afla si specificarea gresita a dinamicii partii sistematice din model.

Pentru detectarea autocorelatiei erorilor sunt utile testul Durbin-Watson, corelograma rezidurilor, testul Ljung-Box. Un alt test cese bucura de popularitate este testul LM.

Testul LM pentru erori de tipul AR(p) and MA(q) (testul Breusch-Godfrey). Consideram un model cu erori corelate de tip AR(p):

undeeste un proces de tip zgomot alb. Ipoteza nula (nu exista autocorelatie pana la ordnul p) respectiv alternativa sunt:

Seria reziduurilor este obtinuta in urma estimarii ecuatiei de regresie, prin metoda celor mai mici patrate. Utilizand aceste reziduuri se estimeaza regresia auxiliara:

t=p+1,,T

Atunci cand ipoteza nula este adevarata, statistica:

urmeaza legea, undeeste coeficientul de determinatie din regresia auxiliara. Ipoteza nula se respinge atunci cand LM depaseste valoarea critica, pentru un anumit nivel de semnificatie . Testul LM ramane acelasi si atunci cand erorile sunt de tip MA(q).

Atunci cand erorile din modelul de regresie sunt corelate, este necesara respecificarea modelului, solutiile clasice fiind respecificarea variabilelor explicative sau a formei modelului dar si respecificarea partii nesistematice, adica a erorii. Aceasta ultima solutie se are in vedere in cele ce urmeaza. Exista implementate in softurile statistice proceduri de estimare adecvate pentru estimarea unor modele de regresie cu erori de tip ARMA.

Metoda celor mai mici patrate in doua etape notata TSLS in EViews este adecvata pentru estimarea unui model de regresie cu erori autocorelate sau a unor modele in care exista corelatii intre variabilele explicative si termenul eroare. Ca si variabile explicative pot figura aici si termeni de tip autoregresiv pentru variabila dependenta. Aceasta metoda se bazeaza pe metoda variabilelor instrumentale; se cauta aici alte variabile explicative care sa fie corelate cu variabilele explicative initiale dar necorelate cu eroarea. Atunci cand se estimeaza modele cu erori ARMA in Eviews sunt incluse automat ca si variabile instrumentale termenii de tip autoregresiv pentru variabila dependenta respectiv pentru variabilele independente, corespunzatori ordinului speficat pentru eroare.