Modelul matematic al problemei brachistochronei
Consideram īn planul (P)
un sistem de coordonate cu originea īn punctul A si cu axa ordonatelor
īndreptata (orientata) spre centrul Pamāntului si
notam cu 
coordonatele punctului B A.
Notam cu XC(A,B) multimea aplicatiilor de clasa C1, x( ) = (x1( ), x2( : [0,tF(x( R care verifica conditiile
(1)
Daca (C) R2 este o curba care uneste punctul A cu B, cu proprietatile descrise īn problema brachistochronei si daca pentru fiecare t 0 , (x1(t), x2(t)) (C) sunt coordonatele punctului curent la momentul t si daca, asa cum se cere īn mecanica clasica, functiile x1( ), x2( ) sunt cel putin de clasa C1, atunci, evident, x( ) = (x1( ), x2( XC(A,B) si x( ) este o parametrizare de clasa C1 a curbei (C) = x([0,tF(x( si reciproc daca x( ) = (x1( ), x2( XC(A,B), atunci x( ) admite interpretarea fizica de mai sus si deci (C) = x([0,tF(x( )]) este o curba admisa pentru problema brachistochronei (iar x( ) este parametrizarea de catre variabila timp a acestei curbe).
Fie deci x( XC(A,B), astfel īncāt x(t) = (x1(t), x2(t)) sunt
coordonatele punctului material (lansat din punctul A la momentul t0 =
0, cu viteza initiala de marime v0, pe curba (C) = x([0,tF(x( )])) la momentul t din mecanica teoretica clasica stim ca vectorul
viteza, 
(t), la momentul t, are aceeasi directie (este
coliniar) cu vectorul tangent la curba, 
īn punctul x(t)
si are marimea
(2)
iar īn baza legii conservarii energiei este verificata relatia
(3)
si din (2) si (3) se obtine
(4)
unde g este acceleratia gravitationala.
Pentru a exprima durata miscarii,
tF(x( )), īn functie de x( ) si x ) observam ca deoarece 
, din (2) si (4) obtinem
dt (5)
si prin urmare problema brachistochronei se reduce la urmatoarea problema de matematica (formularea variationala a problemei brachistochronei)
Fiind data constanta k > 0 (din (4)), pentru fiecare x0 = R2 , īn multimea XC(x0) a tuturor functiilor de clasa C1,
x( ) = (x1( ), x2( : [0, tF(x( R2,
care verifica conditiile
(6)
sa se determine 
( Xc(x0) astfel īncāt
C(( )) = min (7)
unde C Xc(x0) R este data prin
(8)
Ca si īn cazul oricarei probleme de calcul variational, introducānd notatia x' t) = u(t) si definind multimile
(9)
se obtine urmatoarea problema de control optimal
Dat numarul v0 0 care defineste multimile X0, XF si
U( ) din (9), pentru fiecare x0
= X0, īn multimea Uc(x0) a tuturor aplicatiilor
continue u( ) = (u1( ), u2( : [0,tF(x0, u( R2
pentru care solutia x( ; x0, u( )) a problemei Cauchy
(10)
verifica conditiile
xF(x0, u( )) = x(tF(x0, u( x0, u( XF (11)
x(t x0, u( X0, (") t [0, tF(x0, u( (12)
u(t) U(x(t x0, u( ") t [0, tF(x0, u( (13)
sa se
determine 
( Uc(x0) astfel īncāt
C(x0 ( )) = min (14)
unde
(15)
|
