Moment cinetic
O particula in miscare care este supusa la o forta a carei dreapta support trece printr-un punct fix.
Ce se poate spune despre momentul cinetic al particulei?
Fata de acel punct ,tot timpul ,momentul fortei este nul.Deci ,conform teoremei variatiei momentul cinetic
Momentul cinetic va fi constant (
Se conserva momentul cinetic in raport cu soarele al unei comete care ocoleste Soarele pe o traiectorie parabolica? Da in cazul planetelor care nu se misca pe traiectorii circulare?
Momentul fortei de atractie gravitationala fata de soare este zero.Deci ,conform teoremei variatiei momentul cinetic ,acesta se conserva.
Obs. 1. Reyolvarea de mai sus nu tine seama de interactiunile gravitationale cu planetele sistemului solar.
2.Forma traiectoriei este directa tocmai de conservarea momentului cinetic si de parametrii initiali ai miscarii.
Daca vectorul cinetic al unei
particule este constant (se conserva) traiectoria sa este plana.De ce? Dar daca
numai directia vectorului moment este
Deoarece rezulta ca viteza este perpendiculara pe Daca se conserva ,rezulta ca viteza va ramine tot timpul intr-un plan perpendicular pe .Cum viteza este tangenta la traiectorie ,rezulta ca intreaga traiectorie 656i83g cuprinsa intr-un plan perpendicular pe
Asupra unui satelit artificial al Pamintului actioneaza o forta de frecare cu aerul Se conserva momentul sau cinetic in raport cu centrul Pamintului?
Ramine traiectoria sa plana?
Asupra satelitului actioneaza forta de atractie gravitationala (a carui moment fata de centrul Pamintului este nul) si forta de frecare cu aerul (a carui moment fata de centrul Pamintului este nenul) Rezulta ca momentul rezultat al fortelor ce actioneaza asupra satelitului fata de centrul Pamintului este nenul si deci momentul cinetic nu este constant.
Momentul cinetic este perpendicular pe ( = vectorul de pozitie al satelitului fata de centrul Pamintului) Momentul fortei de frecare cu este de asemenea perpendicular pe deci este parallel cu .Conform teoremei variatiei momentul cinetic retulta ca variatia momentului cinetic este un vector paralel cu si deci cu .Rezulta astfel ca isi pastreaza orientarea.Deci traiectoria este plana.
Se conserva momentul cinetic total al particulelor rezultate in urma exploziei unui corp izolat.
Momentul cinetic total al unui system poate fi modificat doar de fortele exterioare (al carui moment este nenul).In aceasta situatie nu esxista forte exterioare,deci momentul cinetic total se conserva.
O particula se misca in vid sub actiunea fortei de greutate.Momentul cinetic in raport cu orice axa din planul misarii se conserva.De ce? Ce valoare are?
Fie o axa x un punct P pe axa si impulsul la un moment dat al particulei de masa aflata in cadere libera.
Momentul greutatii fata de P este
Cum si sunt in acelas plan cu dreapta x si .Deci momentul cinetic fata de de axa x se conserva.
Momentul cinetic
este de asemenea perpendicular pe axa x ,component sa pe directia axei fiind muta.Deci momentul cinetic fata de o axa din planul miscarii este nul.
Fizicianul R.W .Wood amator de farse ,a pus intr-un geamantan un Volant aflat Intr-o miscare de rotatie rapida si l-a inminat unui hamal dintr-o gara cu indicatia de al urma.La un moment dat fizicianul a virat brusc,lateral,pe o alta strada.Explicati de ce hamalul nu a reusit sa-l urmeze pe savant.
Modificarea directiei de deplasare a geamantanului implica modificarea orientarii momentului cinetic cu rad ,adica a momentului cinetic cu
Conform teoremei variatiei momentului cinetic si deci
Cum insa in cazul volantului atit momentul de inertie I cat si viteza unghiulara au valori mari ,rezulta ca este de asemenea mare si deci are valori mari.In concluzie ,pentru a produce modificarea neintentionataa momentului cinetic sunt necesare forte mari.
Obs. deoarece si sunt in plan orizontal si vor fi de asemenea in plan orizontal.Cum insa rezulta ca pentru a determina modificarea al momentului cinetic sunt necesare forte verticale , neaplicarea acestora facind ca la incercarea de rotire a geamantanului in jurul unei axe vertical ,acesta sa se roteasca in jurul unui ax orizontal perpendicular pe
Miscarea circulara
Se masoara viteza unghiulara a unui disc de pick-up si se gaseste valoarea de 33 rot/min.Care este viteza liniara a doua puncte de pe disc unul aflat la distanta de 14,9 cm si altul la distanta de 7,3 cm de centrul discului.
Avind in vedere relatia de legatura dintre fregventa si viteza tangentiala,avem!
Viteza unui automobile cu diametrul rotilor de 76 cm ,este de 96,6 km/h.
a)care este viteza unghiulara a rotilor?
b)rotile sunt frinate uniform in timpul rotatiei.Care este acceleratia unghiulara?
c)pe ce distanta s-a deplasat automobilul in timpul frinarii?
a) Presupunind ca rotile nu patineaza,viteza tangentiala ,a unui punct de pe marginea rotii fata de automobile este egala cu viteza automobilului ,fata de Pamint.
Deci:
b)ecuatia galilei corespunzatoare miscarii de rotatie este:
din care ,pentru rezulta
in care n=50 rotatii .Nmeric rezulta:
c) Avind in vedere ca rotile nu patineaza
Discul unui pick-up se roteste cu 78 rot/min.La un moment dat discul incetineste si se opreste dupa 30 s de la deconectarea motorului.
a) sa se calculeze acceleratia unghiulara a miscarii incetinite.
b)numarul de rotatii efectuate de dic in acest timp.
a)din ecuatia vitezei pentru rezulta:
b)din ecuatia miscarii
numarul de rotatii fiind:
Pe un plan inclinat de unghi este asezat un corp rotund ,omogen ,de masa ,raza R si moment de inertie I.Corpul rotund este legat de un alt corp de masa prin intermediul unui fir inextensibil trecut peste un scripete cu inertie dirijabila.
a) Care este coeficientul de frecare minim necesar pentru ca sa nu alunece corpul?
b) Sa se calculeze acceleratia mitcarii corpului si tensiunea de fir.Aplicatie numerica :corpul este o sfera :
coboara sau sta pe loc ,fuctie de valori numerice ale datelor problemei:
fig.11
Presupun]nd ca coboara rostogolindu-se fara sa alunece
Pentru corpul avem (fig.11)
Din sistemul alcatuit de ecuatiile 1-5 ,care se adauga evident:
Scoatem :
Solutiile trebuie sa satisfaca conditiile:
a) sa fie pozitive .T daca sin ceea ce asigura si Cum 0 urmeaza ca coboara daca avem:
(observam ca poate cobori numai daca
b) F este conditia ce trebuie indeplinita de forta de interactiune dintre corp si plan pentru a nu se produce alunecare .Inlocuind in ea pe F dat de (7) ,obtinem:
(11) conditia care trebuie satisfacuta simultan cu (9) pentru sistemul rezolvat sa descrie correct miscarea corpului (coborire fara alunecare)
Presupunind ca urca rostogolindu-se fara sa alunece :
Din sitemul ecuatiilor 12-17 gaaim pentru si aceleasi expresii date de (7) si de (9) ,pentru obtinem :
Solutiile trbuie sa satisfaca conditiile:
sa fie pozitive .Am si observat ca T . numai daca sin conditia
(dupa calcule) se scrie:
Asadar vom avea simultan daca:
(Observam ca (19) si (10) nu pot fi simultan satisfacute ,lucru normal ,corpul neputind sa coboare si sa urce in acelasi timp.
conditia de rostogolire fara alunecare este
Cum F are aceeasi expresie ca la (10) ,obtinem aceeasi expresie (11) si pentru ,care insa trebuie satisfacuta simultan cu (19) pentru ca sistemul 12-17 sa descrie correct miscarea corpului (urcare fara sa alunece).
Trecind acum la aplicatia numerica : ; ,verificam este satisfacuta (10) .Intrucit se constata deoarece Asadar ,corpul nu coboara .An schimb (19) este satisfacuta ,avind dupa calcule:
Calculul da lui Deci corpul patineaza in timpul urcarii (se roteste mai repede decit urca).Avind si alunecare si rostogolire in timpul urcarii miscarea nu este correct descrisa de sistemul de ecuatii 12-17 ci de:
(20) (translatia lui
(21) - (rotatia lui
(22) (alunecarea lui
Din care gasim:
Numeric:
Observatie:
Intrucit ,in capul aplicatiei numerice ,corpul urca rostogolindu-se si alunecind totodata ,determinarea lui care asigura rostogolirea fara alunecare este o chestiune care nu se mai poate pune.
Miscarea de rotatie
(cinematica)
Metoda de masurare a vitezei lumini foloseste o roata dintata in rotatie.Un fascicul de lumina trece printr-un interstitiu de la marginea exterioara a roti ,se propaga pina la o oglinda departata si se intoarce inapoi la roata dintata exact la timp pt.a trece prin interstitiu urmator dintre dinti rotii.Oastfel de roata dintata are p axa de 5,0 cm si 500 dintii la periferie .Masurile efectuate cu oglinda aflata la o distanta de 500m de roata si o viteza a lumini de 3.0
a)Care a fost viteza unghiulara a rotii?
b)Care era viteza liniara a unui punct de pe marginea rotii?
R=5.0 cm
N=500
l=500m
c=3.0
a)
b)v=?
a)
b) v=
Viteza unghiulara a unui motor de automobil a crescut de la 1200rot/min pina la 3000rot/min ]n 12 s.
a)Care e acceleratia sa unghiulara presupunind-o uniforma?
b)Cite rotate face motorul in acest timp?
a)
b)n=?
O roata are o acceleratie unghiulara constanta de 3.0 rad/ .Intr-un interval de 4.0s ea se roteste cu un unghi de 120 rad.Presupunand ca roata a pornit din repaus ,cit timp s-a aflat in miscare pina la inceputul acestui interval de 4.0s?
g=120rad
Un Volant greu care se roteste in jurul axei sale incetineste miscarea datorita lagarelor sale .La sfirsitul primului minut viteza sa unghiulara constituie 0.90 din viteza sa unghiulara initiala omega 0.Presupunind ca fortele de frecare sunt constant ,sa se afle viteza sa unghiulara la sfartitul minutului al doilea.
Unghiul deschis de volanul uni generator intr-un interval de timp t este dat de;omega=at+b Unde a,b,c sunt constant.Care este expresia acceleratiei sale unghiulare?
O roata se roteste cu o acceleratie unghiulara data de Unde t este timpul ,iar a si b sunt constante.Daca roata are o viteza unghiulara initiala ,sa se scrie ecuatiile pentru;
a)viteza unghiulara
b)unghiul descris in fuctie de timp
De obicei acceleratia unghiulara se noteaza cu (epsilon)
Un automobul se misca cu 96.6 km/h ,avind rptii de 76 cm diametru rotii.
a)Care este viteza unghiulara a rotilor in jurul axei lor?
b)Daci rotile sunt frinate uniform in timp a 30 rotatii,care este acceleratia unghiulara?
c)Cu cit se deplaseaza automobilul in timpul acestei perioade de frinare?
d=76cm
a)
b)n=30rot
c)s=?
a)
b)
c)
Probleme la Fizica
Daca elicea unui aeroplan de raza 1,5 m se roteste cu 2000 rot/min si aeroplanul zboara cu o viteza de 500km/h fata de sol ,care este viteza unui punct de pe extremitatea elicei,vazuta de: (a) pilot si (b) un observator de pe sol?
V=2000
a). b).
b).
Care este viteza unghiulara a unui vehicul care descrie o bucla circulara de raza 110m cu 48 km/h?
Un corp rigid pornind din repaus ,se roteste in jurul unui axe fixe cu o acceleratie unghiulara constanta Sa consideram o particula la o distanta r de axa. (a) Sa se exprime acceleratia radiala si acceleratia tangentiala a aceste particule a corpului prin si timpul t. (b) Daca acceleratia rezultata a particulei la un moment dat formeaza un unghi de 60 cu acceleratia tangentiala ,cu ce unghi total s-a rotit corpul pus in acel moment?
a).
b).
a).
b).
Daca elicea unui aeroplan de raza 1,5 m se roteste cu 2000 rot/min si aeroplanul zboara cu p viteza de 500 km/h fata de sol ,care este viteza unui punct de pe extremitatea elicei ,vazuta de : (a) pilot si (b) un observator de pe sol?
b).
Care este viteza unghiulara a unui vehicul care descrie o bulca circulara de raza 110m cu 48km/h?
(a)
(b) ?
Daca z=0 si (spre exemplu) atunci
Relatia dintre momentul rezultant extern si momentul cinetic al unui sistem de particule fata de centrul de masa al sistemului.Fie vectorul de pozitie al centrului de masa C al unui sistem de particule fata de originea O a unui reper inertial si fie vectorul de pozitie al particulei i de masa fata de centrul de masa C.Prin urmare .Sa definim momentul cinetic total al sistemului de particule in raport cu centrul de masa C prin ,unde (a) Sa se arate ca (b) Sa se arate apoi ca (c) Sa se combine rezultatele de la puctele a si b si folosind definitia centrului de masa si legea a treia a lui Newton ,sa se arate ca unde este suma tuturor momentelor externe care actioneaza asupra sistemului in raport cu central sau de masa.
a).
b).
c).
a).
b).
S=
c).
(a) Sa se arate ca suma momentul de inertie ale unui corp plan in jurul orcarui doua axe perpendiculare din planul corpului este egala cu momentul de inertie al corpului in jurul unei axe care trece prin punctul lor de intersectie si este perpendicular pe plan. (b) Sa se aplice aceasta unui disc circular pentru a gasi momentul sau de inertie in jurul unui diametru ca axa.
a).
(a) Sa se arate ca un cilindru plin de masa M si raza R este echivalent cu un cerc subtire de masa M si raza R/ , pentru rotatia in jurul unei axe centrale. (b) Se numeste raza de giratie sau de inertie distanta radiala pina la axa data in care ar putea fi concentrata masa corpului fara a schimba momentul sau de inertie in jurul axei.Fie K raza de giratie.Sa se arate ca k= Aceasta formula da raza ,,cercului echivalent,, in cazuri generale.
a). b).
Molecula de oxigen are o masa totala de 5.30 kg si un moment de inertie de 1.94 In jurul unei axe care treve prin centru perpendicular pe linia care uneste atomii.Sa presupunem ca o astfel de molecula intr-un gaz are o viteza medie de 500 m/s si ca energia sa cinetica de rotatie este egala cu doua treimi din energia sa cinetica de translatie.Sa se afle viteza sa unghiulara medie.
Un cerc cu raza de 3,0 m cintareste 150 kg.El se roteste de-a lungul unei podele orizontale astfel incit centrul sau de masa are o viteza de 0,10m/s.Cit lucrul mecanic trebuie efectuat petru a-l opri.
R=3,0M W=
M=150kg
W
W=
O roata de masa M si raza de giratie k se roteste pu un ax orizontal fix care trece prin butucul ei.Butucul se freaca cu axul care are raza a,numai intr-un singur punct ,coeficientul de frecare fiind .Se imprima rotii o viteza unghiulara initiala data Presupunind decelerarea uniforma sa se afle timpul scurs si numarul de rotatii pana la oprirea rotii.
M
K
a
t=?
h=?
O tije uniforma de otel de lungime 1,20 m si masa 6,40 kg are prinsa la un capat o bila de masa 1,6 kg.Tija este fortata sa se roteasca intr-un plan orizontal in jurul unei axe verticale trecand prin mijlocul ei.La un moment dat se observa o turatie de 39,0 rot/s.Datorita frecarilor din ax tija se opreste dupa 32,0s.Sa se calculeze ,presupunind un moment constant al fortelor de frecare: (a) acceleratia unghiulara ,(b)momentul de franare exercitat de frecarile axului,(c)lucrul mecanic total efectuat de frecarile axului si (d) numarul rotatiilor efectuate in timpul celor 32,0 s.(e)Sa presupunem acum ca momentul fortelor de frecare n-ar fi fost constant.Care dintre marimile de la puctele (a),(b),(c) sau (d) ,daca este cazul ,poate fi totusi calculata fara a necesita vreo informatie suplimentara?Daca o asfel de marime exista ,sa se dea valoarea sa.
1=1,20 m a).
M=6,40 kg b).m=
m=1,6 kg
t=32,0 s c).
a). d).
b).
c).
d).h=?
e).?
Intr-o masina Atwood un bloc are masa de 500 g,iar celalalt o masa de 460 g.Scripetele care este montat pe lagare orizontale fara frecari ,are o raza de 5,0 cm.Lasand sistemul liber din repaus,blocul mai greu cade cu 75 cm ain 5,0 s. Care este momentul de inertie al scripetelui?
R=5,0 m
h=75m
Un bloc cu masa de 3,0 kg este ampins pe un plan inclinat cu 30 fata de orizontala.El este legat de un fir ,paralel cu planul ,care trece peste un scripete aflat la varful planului iar de celalalt capat al firului atarna un bloc cu masa de 9,0 kg .Scripetele cintareste 1,0 kg si are o raza de 10 cm. Coeficientul de frecare cinetica dintre bloc si plan este 0,10.Sa se afle acceleratia blocului atarnat si tensiunea din fir de fiecare parte a scripetelui.Se presupune ca scripetele este un disc uniform.
R=10cm
g
g =a
O cutie de 1,8 m inaltime si 0,90 m adancime ,continand un frigider ,este asezata vertical pe platforma unui camion .Masa frigiderului plus cea a cutiei este de 150 kg si se presupune ca aceasta este distribuita uniform in tot volumul cutiei.Cutia este data peste cap datorita unei accelerari a camionului .Care valoarea minima a acestei acceleratii?
y=1,8 m
x=1,2 m
z=0,90 m
M=?
Sa se arate ca un cilindru va aluneca pe un plan inclinat de unghi daca coeficientul de frecare statica dintre plan si cilindru este mai mic decat
N=G
daca incepe alunecarea
O sfera se rostogoleste in jos pe un plan inclinat de ungi 30 .La baya planului centrul de masa al sferei are o viteza de translatie de 4,9 m/s. (a) Ce distanta va pargurge sfera pe plan? (b) Cat timp dureaza pana ajunge dfera la baza planului?
b) t=?
Un corp de raza R si masa m se rostogoleste orizontal fara alunecare cu viteza v.El se rostogoleste apoi pe un deal pana la o inaltime maxima h.Daca h=3 ,(a) Care este momentul de inertie al corpului? (b) Ce fel de corp ar putea fi?
v
a) (disc,cilindru)
b) ?
O sfera mica se rostogoleste fara alunecare pe fata interioara a unei emisfere mari a carei axa de simetrie este verticala.Ea porneste de la varful emisferi din repaus. (a) Care energia sa cinetica in punctul inferior?Ce fuctiune reprezinta energia sa de rotatie ?Ce forta normala exercita sfera mica asupra emisferei in punctul inferior? Se va lua raza sferei mici r,raza emisferei R si nasa sferei m.
O sfera omogena porneste din repaus de la capatul superior al drumului aratat in figura 12-25 si se rostogoleste fara alunecare pana la extremitatea dreapta ,sa se determine distanta de la punctul A spre dreapta unde bila va lovi linia orizontala de la baza.
H=60 m
h=20 m
Momentul fortei
Momentul cinetic
Doua coductoare sunt fixate pe cele doua izolatoare din figura.Cand conductoarele sunt intinse ,unul din carlige se va rasuci.Care din ele fabricat incorect?
-gresit
Doua lazi identice ,asezate pe un plan orizontal sunt deplasate cu ajutorul unei tije ca in figura.Care din lazi se va deplasa?
Asupra lazii B actioneaza o forta R= -deci lada B se va deplasa.
Cu ce forta este comprimata o scandura intre menghina,daca pasul surubului meghinii este h=1,0cm,lungimea manerului R=20cm si forta de la capitul minerului F=10N? Se neglijeaza frecarile.
L=R Conservarea lucrului mecanic
Un surub este suspendat pe un fir ca in figura.Daca taiem surubul dupa planul bulclei firului ,vor fi egale greutatile celor doua parti obtinute?
daca
Vrem sa cantarim pe un cantar cu platforma ,de 10t,un camion care a fost incarcat peste 10t.Cum sa procedam?
Urcam pe cantar odata rotile din fata si dupa aceea cele din spate si adunam rezultatele.
Cum se va misca barca daca miscam vaslele in sensuri opuse?
Barca se va roti in jurul centrului de masa.
O lada cu dimensiunile a=1,00m si b=2,00m este tarata orizontal uniform cu o forta F sub unghiul fata de orizontala,ca in figura.Coeficientul de frecare la alunecare este .Pentru ce unghi lada incepe sa se ridice?
O tija subtire rigida de lungime l=0,50m este prinsa rigid,sub un unghi ,de un ax verical.La capatul tijei este prinsa o bila de masa m=100g. Sistemul se roteste cu turatia n=60rot/min.Sa se calculeze reactiunea bilei asupra tijei si momentul reactiunii fata de punctul de fixare de ax.
Pentru ce perioada de rotatie acest moment este nul?
l=0,5m
m=100g
v=n=60rot/min
La ce viteza un automobil care vireaza cu raza R=130m se poate rasturna,daca centrul sau de greutate este la inaltimea h=1,00m,iar distanta dintre rotii d=1,5m?
v=32m/s
Sa nu alunece
O scara uniforma de masa m=4,0 kg este sprijinita de un perete absolut neted (fara frecari),capatul inferior fiind asezat pe o podea cu frecari .Unghiul de inclinare al scarii fata de orizontala .Ce forta se exercita asupra capatului inferior al scarii si sub ce unghi fata de orizontala?
Scriem momentul de rotatie fata de B.
Ce valoare minima trebuie sa aiba forta orizontala F aplicata axului rotii,de masa m=10kg si raza R=50cm,pentru ca roata sa urce treapta(pragul) de inaltime h=10cm.
F=?
m=10kg
R=50cm
h=10cm
Pe o scara dubla foarte usoara (de masa neglijabila) articulata sus si legata printr-un fir la capetele inferioare ,se suie un om de masa m=60kg pana la mijlocul scarii.Sa se afle tensiunea din fir ,neglijand toate frecarile.Unghiul format de fiecare latura cu podeaua
m=60kg T=?
O scara uniforma de lungime l=20m poate sta in echilibru sprijinita de un perete vertical pana la un unghi maxim ,format cu podeaua .Stiind coeficientul de frecare la alunecare cu peretele si podeaua sa se afle inaltimea la care se afla centrul de masa al scarii.
I=2m
h=?
Pe orizontala:
verticala:
Fata de O:
h=
Pe o tija de masa neglijabila sunt fixate doua bile de mase ,ca si in figura .Tija se roteste cu viteza unghiulara in jurul axei vertical printr-o articulatie la capatul superior al tijei .Sa se afle unghiul de deviere a tijei.
O tija subtire de masa neglijabila are la capete doua corpuri de mese Tija este este sprijinita la mijloc pe un reazem.Initial tija este tinuta in pozitie orizontala ,apoi se lasa libera .Sa se afle apasarea exercitata de tija pe reazem imediat ce tija este lasata liber.
N= legea a doua a dinamicii de otatie:
Daca peretele este considerat fix ,atunci bila va avea viteza relativa de perete.
Dupa ciocnire:
Fata de perete:
Scrimem compunerea impulsului pe cele doua directii:
Ox:
Deoarece planul este scurt putem neglija h(inaltime)si departarea de plan va coincide cu
cos2
O scandura omogena de masa msi lungime l este asezata pe o masa orizontala cu coeficientul de frecare la alunecare .La un capat al scandurii se aplica o forta orizontala F, perpendicular pe scandura.Care este valoarea minima a fortei F necesara pentru ca scandura sa se roteasca si in jurul carui punct se va roti atunci scandura?
m,l,
a)F=
b)F
2x
Sa se calculeze
momentul cinetic orbital al Lunii si al Pamantului.Se dau masele :
/s
15.56. La un satelit artificial al
Pamantului distanta maxima a traiectoriei (perigeu) este la altitudinea si cea maxima (apogeu) la Care este raportul vitezelor la apogeu si
perigeu?(Raza Pamantului R=6400 km.)
O particula este aruncata oblic an camp gravitational terestru (in vid) cu viteza fata de orizontala .Care este momentul fortei si momentul cinetic fata de punctul de lansare?Sa se verifice ca
; x=
|
