PROBLEME GENERALE PRIVIND MǍSURǍRILE ELECTRICE

MǍRIMI FIZICE

O teorie fizicǎ a unui domeniu tehnic sistematizeazǎ cunostintele acelui domeniu si se poate elabora, introducându-se mai întâi mǎrimile corespunzǎtoare domeniului si apoi stabilindu-se legile generale si teoremele principale.

Mǎrimea fizicǎ este în directǎ legǎturǎ cu o proprietate comunǎ a unei multimi de obiecte fizice si poate fi definitǎ dacǎ între obiecte existǎ o relatie de echivalentǎ din punctul de vedere al proprietǎtii comune si o relatie de ordonare. Astfel, dacǎ pe o multime de obiecte existǎ relatii de echivalentǎ si de ordonare, se pot stabili conventii suplimentare de scarǎ si de alegere a originii, în asa fel încât sǎ se poatǎ stabili univoc de câte ori mǎrimea unui obiect este mai mare (sau mai micǎ) decât a altuia, folosind pentru aceasta un procedeu experimental de mǎsurare.

CLASIFICAREA MǍRIMILOR FIZICE

Mǎrimile fizice pot fi clasificate din diferite puncte de vedere. Din punctul de vedere al modului de introducere într-o teorie, mǎrimile fizice se împart în mǎrimi primitive si mǎrimi derivate. Din punct de vedere al functiunii lor în sistemele de unitǎti de mǎsurǎ, ele se împart în mǎrimi fundamentale si mǎrimi secundare.

Mǎrimile fizice primitive sunt acelea care nu pot fi definite în cadrul unei ramuri a fizicii cu ajutorul altora si trebuie introduse direct în studiu prin reprezentarea concretǎ a unitǎtii lor de mǎsurǎ si prin indicarea explicitǎ a procedeului de mǎsurare. Mǎrimile derivate sunt acelea definite prin expresii analitice în care intervin si alte mǎrimi presupuse cunoscute. O teorie fizicǎ poate fi constituitǎ eventual numai cu ajutorul mǎrimilor ei primitive. Mǎrimile derivate au rolul de a usura formulǎrile teoriei.

Din punctul de vedere al sistemului de unitǎti de mǎsurǎ (sistemul international SI, adoptat aproape unanim pe plan mondial), se numesc mǎrimi fizice fundamentale mǎrimile ale cǎror unitǎti de mǎsurǎ au fost alese independent de altele, în cadrul sistemului de unitǎti de mǎsurǎ respectiv. Numǎrul de mǎrimi fundamentale este mai mic decât numǎrul de mǎrimi primitive, sau cel mult egal cu el. Se numesc mǎrimi fizice secundare mǎrimile ale cǎror unitǎti de mǎsurǎ rezultǎ univoc prin alegerea unitǎtilor de mǎsurǎ fundamentale.

SISTEMUL INTERNAŢIONAL DE UNITǍŢI DE MǍSURǍ - SI

Prin sistem de unitǎti de mǎsurǎ se întelege ansamblul unitǎtilor de mǎsurǎ definite pentru un sistem dat de mǎrimi fizice.

În decursul istoriei fizicii au existat, si mai existǎ si astǎzi, mai multe sisteme de unitǎti de mǎsurǎ. Un astfel de sistem contine unitǎti fundamentale, derivate si suplimentare.

Sistemele de mǎsurǎ se deosebesc între ele prin alegerea conventionalǎ a unitǎtilor fundamentale si prin definirea unitǎtilor derivate. Aceste criterii dau valoarea si pozitia factorilor numerici în formulele fizice de definitie ale mǎrimilor.

Orice sistem de mǎsurǎ trebuie sǎ îndeplineascǎ câteva conditii: sǎ fie general (aplicabil tuturor capitolelor fizicii), coerent (sǎ nu introducǎ coeficienti numerici suplimentari în ecuatiile fizice) si practic (unitǎtile de mǎsurǎ sǎ aibǎ ordine de mǎrime comparabile cu cele din activitatea uzualǎ). Sistemul care îndeplineste, în cea mai mare mǎsurǎ, aceste criterii este sistemul internatiaonal SI.

Sistemul SI a fost adoptat pe plan mondial de a XI -a Conferintǎ Generalǎ de Mǎsuri si Greutǎti din 1960. În tara noastrǎ acest sistem a fost adoptat în anul 1961, ca unic sistem de mǎsuri legal si obligatoriu. Sistemul international SI are urmǎtoarele unitǎti fundamentale:

metrul (pentru lungime), simbol m, este lungimea egalǎ cu 1650763,73 lungimi de undǎ în vid ale radiatiei care corespunde tranzitiei între nivele 2p₁₀ si 5d₅ ale atomului de kripton 86;

kilogramul (pentru masǎ), simbol kg, este masa "kilogramului prototip international" adoptat ca unitate de mǎsurǎ a masei de cǎtre Conferinta Generalǎ de Mǎsuri si Greutǎti din 1889;

secunda (pentru timp), simbol s, este durata a 9192631770 perioade ale radiatiei corespunzǎtoare tranzitiei între cele douǎ nivele hiperfine ale stǎrii fundamentale a atomului de cesiu 113;

amperul (pentru intensitatea curentului electric), simbol A, este intensitatea unui curent electric constant, care mentinut în douǎ conductoare paralele, rectilinii, de lungime infinitǎ si sectiune circularǎ neglijabilǎ, asezate în vid, la o distantǎ de 1 m unul de altul, ar produce între acestea, pe o lungime de 1 m, o fortǎ egalǎ cu 2 10^-7 newtoni;

kelvinul (pentru temperatura termodinamicǎ), simbol K, este fractiunea 1/273, 16 din temperatura termodinamicǎ a punctului triplu al apei;

candela (pentru intensitatea luminoasǎ), simbol cd, este intensitatea luminoasǎ, într-o directie datǎ, a unei surse care emite o radiatie monocromaticǎ cu frecventa de 540 10¹² hertzi si a cǎrei intensitate energeticǎ în aceastǎ directie este de 1/683 wati/steradian;

molul (pentru cantitatea de substantǎ), simbol mol, este cantitatea de substantǎ a unui sistem care contine atâtea entitǎti elementare câti atomi existǎ în 0,012 kilograme de carbon 12.

Unitǎtile SI suplimentare  

radianul (pentru unghiul plan), simbol rad, este unghiul plan cu vârful în centrul unui cerc, care delimiteazǎ pe circumferinta cercului un arc a cǎrui lungime este egalǎ cu raza cercului;

steradianul (pentru unghiul solid), simbol sr, este unghiul solid cu vârful în centrul unei sfere, care delimiteazǎ pe suprafata sferei o arie egalǎ cu aria unui pǎtrat a cǎrui laturǎ este egalǎ cu raza sferei.

MULTIPLII sI SUBMULTIPLII UNITǍŢILOR SI

Multiplii si submultiplii unitǎtilor SI sunt multiplii si submultiplii zecimali ai acestora si se prezintǎ în Tabelul 1.1.

Tabelul 1.1.

VALOARE NUMERICǍ, UNITATE DE MǍSURǍ

Pe baza unei conventii se pot stabili mǎrimile fizice de referintǎ, denumite unitǎti de mǎsurǎ, pentru a se putea exprima relatii cantitative care caracterizeazǎ acele mǎrimi.

Se numeste valoare numericǎ a unei mǎrimi un numǎr real care corespunde unei stǎri din multimea tuturor stǎrilor unei mǎrimi. Valoarea numericǎ poate fi un numǎr pozitiv sau negativ în functie de scara de referintǎ aleasǎ si implicit de originea acesteia.

Se numeste unitate de mǎsurǎ elementul din multimea tuturor stǎrilor mǎrimii, care corespunde valorii numerice 1. Prin urmare, la cresterea mǎrimii cu o unitate de mǎsurǎ, valoarea numericǎ a mǎrimii va creste cu 1. Aceastǎ proprietate este valabilǎ pentru orice scarǎ de referintǎ. Identificarea unitǎtilor de mǎsurǎ se face prin atribuirea unui nume (metru, kilogram, amper, volt etc.).

Determinarea practicǎ a valorii numerice V_n a unei mǎrimi se obtine fǎcând raportul dintre acea mǎrime M si unitatea ei de mǎsurǎ u, raport stabilit experimental în procesul de mǎsurare:

Cu alte cuvinte, mǎrimea fizicǎ se exprimǎ cu ajutorul produsului dintre valoarea ei numericǎ obtinutǎ prin mǎsurare si unitatea de mǎsurǎ adoptatǎ: M = V_n u. Acest produs (dublet) se mai numeste valoare a mǎrimii M. De exemplu, valoarea unei lungimi este de 23,5 m, valoarea unei tensiuni electrice este de 220 V (m si V reprezentând simbolurile pentru unitatea de mǎsurǎ a lungimii, respectiv a tensiunii electrice). Rezultǎ cǎ valoarea unei mǎrimi include întotdeauna si unitatea de mǎsurǎ, care trebuie sǎ însoteascǎ obligatoriu valoarea numericǎ.

1.2. MǍSURARE, METROLOGIE

Se numeste mǎsurare procedeul fizic de determinare cu ajutorul instrumentelor, aparatelor de mǎsurǎ, etaloanelor etc. a valorii unei mǎrimi. Mǎsurarea stabileste o aplicatie f definitǎ pe multimea tuturor mǎrimilor unei specii A, cu valori în multimea numerelor reale R (mai rar R² sau R³):

Metrologia este parte a fizicii care se ocupǎ cu studiul procedeelor de mǎsurare, cu stabilirea unitǎtilor de mǎsurǎ si cu alegerea echipamentelor specifice experimentǎrilor. O ramurǎ a metrologiei este metronomia care se ocupǎ cu studiul si cu perfectionarea etaloanelor de mǎsurare.

1.3. MIJLOACE DE MǍSURARE

Mijloacele de mǎsurare reprezintǎ totalitatea mijloacelor tehnice cu ajutorul cǎrora se obtin informatiile de mǎsurare. Din categoria mijloacelor de mǎsurare fac parte aparatele de mǎsurat, etaloanele, instalatiile si sistemele de mǎsurare si alte elemente folosite în procesul de mǎsurare. Mijloacele de mǎsurare trebuie sǎ corespundǎ scopului pentru care au fost create si sǎ îndeplineascǎ anumite conditii si caracteristici metrologice nornate sau stabilite prin acte normative cum ar fi standardele, normele tehnice metrologice, reglementǎri nationale sau internationale.

CLASIFICAREA MIJLOACELOR DE MǍSURARE

Dupǎ rolul pe care îl ocupǎ în procesul de mǎsurare si implicit dupǎ precizia lor, mijloacele de mǎsurare se împart în: de lucru, model (de comparatie sau martor) si etalon.

Mijloacele de mǎsurare de lucru sunt acelea care servesc la realizarea mǎsurǎtorilor curente, cerute de necesitǎtile practice;

Mijloacele de mǎsurare model (de comparatie sau martor) sunt destinate verificǎrii si etalonǎrii mǎsurilor sau aparatelor de mǎsurat de lucru, fiind mai precise decât acestea, dar având satisfǎcute anumite conditii de precizie limitatǎ, verificându-se periodic cu mǎsuri si aparate de mǎsurat model de o precizie superioarǎ.

Mijloacele de mǎsurare etalon reproduc sau stabilesc unitatea de mǎsurǎ cu o precizie maximǎ, o pǎstreazǎ si o transmit mijloacelor de mǎsurare de precizie inferioarǎ. Etaloanele pot fi: nationale care alcǎtuiesc baza metrologicǎ a tǎrii; principale (sau primare) care determinǎ unitatea de mǎsurǎ prin comparatie cu etaloanele nationale; de verificare (de lucru) care servesc la executarea lucrǎrilor de metrologie curentǎ.

PRINCIPALELE MIJLOACE DE MǍSURARE

a. Aparatele de mǎsurat reprezintǎ o categorie importantǎ a mijloacelor de mǎsurare, intercalate între o mǎrime fizicǎ ce nu este accesibilǎ direct simturilor operatorului uman si care realizeazǎ o conversie a mǎrimii mǎsurate într-o mǎrime perceptibilǎ pentru acesta. De exemplu, puterea electricǎ, ca flux de energie transmisǎ sau primitǎ într-o secundǎ, nu poate fi perceputǎ direct de operator si trebuie convertitǎ într-o altǎ mǎrime (deplasare a unui ac indicator în fata unei scǎri gradate, valoare numericǎ afisatǎ pe un dispozitiv adecvat). Mǎrimile mǎsurate cu ajutorul aparatelor pot fi mǎrimi active, care permit eliberarea unei energii capabile sǎ furnizeze un semnal metrologic (mǎsurarea curentilor, tensiunilor, puterilor etc.), sau mǎrimi pasive, care nu posedǎ o energie proprie de eliberat, deci pentru mǎsurarea lor este necesarǎ o sursǎ auxiliarǎ de energie de activare a procesului de mǎsurare (mǎsurarea rezistentelor, capacitǎtilor, inductivitǎtilor).

b. Etaloanele sunt mijloace de mǎsurare de referintǎ, având precizie ridicatǎ, necesare definirii, conservǎrii si transmiterii unitǎtilor de mǎsurǎ, cu care se asigurǎ unicitatea si reproductibilitatea mǎsurǎrilor în orice loc si în orice moment. Din punct de vedere al scopului sau al destinatiei etaloanele pot fi:

de definitie care materializeazǎ practic, printr-un experiment, definitia unei unitǎti de mǎsurǎ - cum ar fi kilogramul;

de conservare care sunt obtinute prin intermediul unor obiecte sau fenomene, caracterizate printr-un parametru fizic foarte stabil în timp - cum ar fi etaloanele de tensiune, rezistentǎ, inductivitate, capacitate, frecventǎ etc.;

de transfer care asigurǎ etalonarea diverselor aparate de mǎsurare, cu domeniu larg, asigurând trecerea proportionalǎ de la o mǎrime la alta - cum ar fi: etaloanele de divizare (suntul, etalonul de flux magnetic), etaloanele de raport (divizoarele de tensiune de precizie, puntile de precizie).

Din punct de vedere al exactitǎtii etaloanele sunt:

primare (nationale) care sunt pǎstrate la Institutul National de Metrologie (INM) si sunt comparate periodic cu etaloanele internationale pǎstrate la Biroul International de Mǎsuri si Greutǎti;

secundare care sunt pǎstrate la INM si în laboratoarele metrologice regionale si servesc la verificarea etaloanelor de lucru;

de lucru care se gǎsesc în laboratoarele metrologice autorizate servind la verificarea mijloacelor de mǎsurare de uz curent.

Exactitatea etaloanelor este ridicatǎ fiind cuprinsǎ uzual între 0,001 % si 0,005% - cum ar fi etaloanele de rezistentǎ, de tensiune. Existǎ si etaloane mai putin precise cum ar fi etaloanele de inductivitate sau de capacitate (erori intre 0,01 % si 0,1%), sau mai precise cum ar fi etaloanele de masǎ (erori între 0,000001 % si 0,0001%). Cele mai precise etaloane cunoscute pânǎ în prezent sunt etaloanele de frecventǎ, care derivǎ din etalonul de timp - secunda, realizate pe baza rezonatorului atomic cu cesiu (υ = 9,192631770 GHz) cu un nivel de exactitate între 0,0000001 % si 0,000001 %).

CARACTERISTICILE METROLOGICE ALE MIJLOACELOR

Mijloacele de mǎsurare pot fi caracterizate în raport cu mǎrimea mǎsuratǎ, cu conditiile de mediu ambiant, cu comportarea în sistemul de mǎsurare si cu conditiile impuse de beneficiarul procesului de mǎsurare. Se vor descrie pe scurt cele mai importante caracteristici metrologice.

a. Caracteristica staticǎ reprezintǎ dependenta, în regim stationar, dintre mǎrimea de iesire si mǎrimea de intrare, obtinutǎ la echilibru:

Caracteristicile statice ale mijloacelor de mǎsurare pot fi liniare (Fig.1.1.a):

parabolice (Fig.1.1.b):

hiperbolice (Fig.1.1.c):

neliniarǎ cu prag de insensibilitate si saturatie (Fig.1.1.d):

În Fig. 1 se prezintǎ formele caracteristicii statice ale mijloacelor de mǎsurare având expresiile date de relatiile (1.4 - 1.7).

b. Intervalul de mǎsurare este intervalul de valori ale mǎrimii de mǎsurat, delimitat de o valoare minimǎ X_min si una maximǎ X_max, în interiorul cǎreia mijlocul metrologic functioneazǎ conform caracteristicii sale statice de transfer. Dacǎ utilizarea se face prin depǎsirea valorii X_max, un timp îndelungat, mijlocul de mǎsurare se poate deteriora. Conform normelor, un ampermetru cu clasa de exactitate 1 rezistǎ timp de 2 ore la o mǎrime X = 1,2·X_max si timp de 5s la o mǎrime X = 10·X_max, fǎrǎ a-i fi afectate calitǎtile.

a. b. c. d.

Fig. 1.1. Caracteristicile statice ale mijloacelor de mǎsurare: a - definitǎ de relatia (1.4);

b - definitǎ de relatia (1.5); c - definitǎ de relatia (1.6); d - definitǎ de relatia (1.7);

c. Sensibilitatea absolutǎ este raportul dintre variatia mǎrimii de iesire ΔX_e si variatia corespunzǎtoare a mǎrimii de intrare ΔX_i :

(1.8)

Pentru un element liniar, la care caracteristica staticǎ este o dreaptǎ, sensibilitatea absolutǎ reprezintǎ panta acelei drepte k = tgα (Fig. 1.1.a).

În cazul în care se comparǎ douǎ elemente de acelasi tip, dar cu domenii de mǎsurare diferite se poate folosi notiunea de sensibilitate relativǎ definitǎ de relatia:

d. Pragul de sensibiliate se poate defini atât pentru mijloacele de mǎsurare analogice cât si pentru cele numerice. Pentru mijloacele de mǎsurare analogice, pragul de sensibilitate este cea mai micǎ variatie a valorii mǎrimii de intrare, care determinǎ o variatie distinct sesizabilǎ a mǎrimii de iesire. Pentru mijloacele de mǎsurare numerice pragul de sensibilitate se mai numeste rezolutie si reprezintǎ cea mai micǎ variatie a mǎrimii de intrare ce poate fi sesizatǎ de dispozitivul de afisare al aparatului (o unitate a ultimului rang zecimal).

e. Exactitatea instrumentalǎ este calitatea mijlocului de mǎsurare de a da rezultate cât mai apropiate de valoarea adevǎratǎ a mǎrimii mǎsurate. Dacǎ mǎrimea adevǎratǎ este X si mǎrimea mǎsuratǎ este X_m, atunci se poate scrie cǎ:

în care u se numeste incertitudine de mǎsurare (instrumentalǎ). Multimea tuturor mijloacelor de mǎsurare care au incertitudinea instrumentalǎ cuprinsǎ între aceleasi limite formeazǎ o clasǎ de exactitate. Indicele clasei de exactitate se noteazǎ cu c si poate lua multimile de valori:

(1.11)

Indicele clasei de exactitate reprezintǎ eroarea relativǎ în precente care se face la capǎtul superior al domeniului de mǎsurare. În conditii de referintǎ date (temperaturǎ, presiune, umiditate), dacǎ se cunoaste indicele clasei de exactitate c se poate calcula eroarea maximǎ admisibilǎ ΔX_max a mijlocului de mǎsurare, cu relatia:

în care X_max este maximul domeniului de mǎsurare. De exemplu, pentru un ampermetru care are c = 0,5 si I_max = 10 A, eroarea maximǎ care se face când se mǎsoarǎ valoarea de 10 A este de 0,5 %. În cazul nostru, eroarea maximǎ la limita superioarǎ a domeniului de mǎsurare are valoarea .

În acelasi context cu notiunea de exactitate se mai folosesc notiunile de:

justete (trucness, justesse), pusǎ în corespondentǎ cu notiunea de eroare sistematicǎ, care reprezintǎ concordanta obtinutǎ între valoarea adevǎratǎ si valoarea medie obtinutǎ în urma efectuǎrii unui numǎr mare de mǎsurǎtori;

fidelitate (precision, fidelité), pusǎ în corespondentǎ cu notiunea de eroare aleatoare, care reprezintǎ concordanta dintre mai multe rezultate independente ale unei mǎsurǎtori în aceleasi conditii prescrise. Fidelitatea referitoare la mǎsurǎtorile care se fac în conditii identice se numeste repetabilitate si în conditii diferite se numeste reproductibilitate.

f. Puterea consumatǎ reprezintǎ puterea absorbitǎ de mijlocul de mǎsurare de la obiectul supus mǎsurǎrii. Cu cât puterea consumatǎ este mai micǎ cu atât mǎrimea mǎsuratǎ este perturbatǎ mai putin, adicǎ finetea mǎsurǎtorii este mai mare. Puterea consumatǎ poate proveni de la mǎrimea mǎsuratǎ (metoda directǎ), de la o sursǎ auxiliarǎ (metoda comparatiei), sau de la ambele simultan.

g. Fiabilitatea metrologicǎ este probabilitatea ca mijlocul de mǎsurare sǎ functioneze cu exactitatea sa instrumentalǎ un timp dat, referindu-se la calitatea sa de a-si pǎstra performantele în timp. În legǎturǎ cu fiabilitatea metrologicǎ se pot defini câteva notiuni caracteristice mijlocului de mǎsurare:

timpul de bunǎ functionare - TBF, exprimat în ore [h], reprezintǎ timpul total în care mijlocul de mǎsurare îsi mentine exactitatea instrumentalǎ, exceptând timpul de reparatii;

rata defectǎrilor - λ(t), exprimatǎ în [h^-1], reprezintǎ inversul timpului de bunǎ functionare;

functia densitǎtii de probabilitate a repartitiei defectelor - f(t), exprimatǎ în [h^-1], definitǎ pentru zona de exactitate a mijlocului de mǎsurare cu relatia:

(1.13)

Probabilitatea sǎ nu aparǎ defect în timpul t - R(t), este mǎrimea adimensionalǎ definitǎ de relatia:

(1.14)

Dacǎ rata defectǎrilor este constantǎ atunci probabilitatea sǎ nu aparǎ defect se exprimǎ cu relatia:

De exemplu, dacǎ un mijloc de mǎsurare este caracterizat de timpul de bunǎ functionare TBF = 2·10⁵ [h], atunci rata defectǎrilor este λ = 0,5·10^-5 [h^-1] si probabilitatea sǎ nu aparǎ un defect în 10 ani = 87660 h este egalǎ cu . Pentru durata de 5 ani aceeasi probabilitate ia valoarea 0,803 iar pentru durata de 1 an probabilitatea creste la 0,957.

În tabelul 1.2 sunt indicate clasele de fiabilitate metrologicǎ pentru mijloacele de mǎsurare.

Tabelul 1.2.

DE MǍSURARE ÎN REGIM DINAMIC

Dacǎ la intrarea unui mijloc de mǎsurare se aplicǎ o mǎrime variabilǎ în timp x_i(t), la iesire se obtine tot o mǎrime variabilǎ în timp x_e(t), legǎtura dintre cele douǎ mǎrimi constituind-o ecuatia diferentialǎ de ordinul n cu coeficienti constanti:

În functie de valoarea ordinului n al ecuatiei (1.16), mijloacele de mǎsurare se clasificǎ, în cele mai multe cazuri, în trei categorii:

de ordin zero, dacǎ n = 0, când ecuatia diferentialǎ devine:

a_ox_e(t) = x_i(t) (1.16')

Ca exemplu, în acest caz, se poate da traductorul rezistiv de deplasare, la care x_i(t) este o deplasare iar x_e(t) este o rezistentǎ electricǎ.

de ordin unu, dacǎ n = 1, când ecuatia devine:

Este cazul unui traductor de turatie la care x_i(t) este o turatie, iar x_e(t) este o tensiune electricǎ.

de ordin doi, dacǎ n = 2, ecuatia diferentialǎ devine:

Ca exemplu, în acest caz, se poate da galvanometrul de curent continuu, la care x_i(t) este un curent continuu, iar x_e(t) este deviatia galvanometrului.

Mǎrimea de iesire nu poate urmǎri cu fidelitate variatiile mǎrimii de intrare datoritǎ inertiilor de tip electric, magnetic, termic sau mecanic (datorat amortizǎrilor). Întotdeauna evolutia în timp a mǎrimii de intrare se transmite cu întârziere la iesire. Cauzele acestor întârzieri sunt constantele de timp electrice, termice sau mecanice ale diferitelor elemente ale mijlocului de mǎsurare.

Solutia analiticǎ a ecuatiei diferentiale care caracterizeazǎ dinamic un mijloc de mǎsurare prezintǎ interes, deoarece în ea sunt continute informatii utile. Intereseazǎ, mai ales, comportarea mijlocului de mǎsurare sub actiunea unor mǎrimi de intrare tipice cum ar fi functia treaptǎ, sau functia sinusoidalǎ.

Cu ajutorul rǎspunsului la functia treaptǎ se poate deduce comportarea în domeniul timp a mijlocului de mǎsurare si implicit determinarea unor parametrii importanti ai acestuia cum ar fi: timpul de crestere t_c, definit ca fiind timpul în care semnalul de iesire creste de la 10 % la 90 % din valoarea de regim stabilizat x_es si timpul de stabilizare t_s, definit ca fiind timpul scurs de la aplicarea treptei la intrare, pânǎ când mǎrimea de iesire se abate cu mai putin de o valoare prescrisǎ β, în raport cu valoarea de regim stabilizat (Fig.1.2).

Este evident cǎ un mijloc de mǎsurare este cu atât mai performant din punct de vedere dinamic, cu cât acesti timpi sunt mai redusi.

Fig. 1.2. Rǎspunsul tranzitoriu la functia treaptǎ si definirea timpilor de

crestere t_c si de stabilizare t_s.

Caracterizarea comportǎrii în domeniul frecventǎ a mijlocului de mǎsurare se realizeazǎ prin aplicarea la intrare a unei mǎrimi sinusoidale de amplitudine constantǎ dar de frecventǎ variabilǎ:

(1.17)

Rǎspunsul mijlocului de mǎsurare la mǎrimea sinusoidalǎ de intrare este tot o sinusoidǎ de expresie:

care este defazatǎ fatǎ de mǎrimea de intrare cu eroarea de fazǎ φ. Pentru caracterizarea comportǎrii în regim dinamic se utilizeazǎ caracteristicile de frecventǎ ale mijlocului de mǎsurare, deduse prin folosirea transformatei Laplace la trecerea în operational a ecuatiei (1.16) si înlocuirea variabilei operationale s cu jω, unde .

Caracteristica de frecventǎ reprezintǎ functia de transfer a mijlocului de mǎsurare, în care se înlocuieste s cu jω:

în care A = H(ω) reprezintǎ caracteristica amplitudine - frecventǎ, iar F = φ(ω) reprezintǎ caracteristica fazǎ - frecventǎ a mijlocului de mǎsurare.

Criteriul de calitate pentru aprecierea comportǎrii în domeniul frecventǎ a mijlocului de mǎsurare îl reprezintǎ banda de frecventǎ. Aceasta reprezintǎ intervalul de frecventǎ (f_i, f_s), f_i fiind frecventa inferioarǎ si f_s frecventa superioarǎ. În banda de frecventǎ amplitudinea mǎrimii de iesire nu scade sub din valoarea pe care o are la frecventa de referintǎ (valoarea 1 în Fig. 1.3).

a. b.

Fig. 1.3. Definirea benzii de frecventǎ: a - cu frecventa initialǎ nulǎ;

b - cu frecventa initialǎ nenulǎ.

1.4. CATEGORII DE MǍSURARE

Categoriile de mǎsurare pot fi clasificate în functie de mai multe criterii, grupate în functie de modul de obtinere al rezultatului mǎsurǎrii, de precizia de mǎsurare, de tipul mijlocului de mǎsurare sau procedeului de mǎsurare, de modul de variatie în timp a mǎrimii mǎsurate. Aceastǎ clasificare nu este unicǎ, dar este foarte sugestivǎ si de aceea mǎsurǎrile se vor clasifica în acest mod.

a. Dupǎ modul de obtinere a rezultatului mǎsurǎrii putem avea: mǎsurǎri directe, mǎsurǎri indirecte si mǎsurǎri implicite.

Mǎsurǎrile directe sunt acelea în care se mǎsoarǎ nemijlocit mǎrimea care intereseazǎ, determinându-se o singurǎ mǎrime.

Mǎsurǎrile indirecte sunt acelea în care mǎrimea de mǎsurat se calculeazǎ pe baza mǎsurǎrii altor mǎrimi mǎsurate direct, pe baza unor relatii de calcul.

Mǎsurǎrile implicite sunt acelea în care rezultatul se deduce din rezultatele mai multor mǎsurǎri directe si indirecte, legate functional de mǎrimea care intereseazǎ printr-o functie implicitǎ. De exemplu, determinarea coeficientilor de temperaturǎ α si β ai unei mǎrimi electrice (tensiune electromotoare la un element normal, variatia rezistentei cu temperatura) se poate face cu relatia:

(1.20)

obtinutǎ prin mǎsurarea valorii pe care o reprezintǎ mǎrimea respectivǎ la trei temperaturi diferite si anume: la 20 C, la t₁ si la t₂, valorile mǎsurǎtorilor fiind x₂₀, x_t1 si x_t2. Înlocuind x_t1 si x_t2 în relatia (1.20) se obtine un sistem liniar din care se deduc prin calcul coeficientii α si β.

b. Dupǎ precizia de mǎsurare putem avea: mǎsurǎri de laborator si mǎsurǎri industriale (tehnice).

Mǎsurǎrile de laborator se repetǎ de mai multe ori (spre a reduce erorile de mǎsurare), cu aparate de precizie bunǎ, asupra rezultatelor obtinute aplicându-se calculul erorilor.

Mǎsurǎrile industriale se realizeazǎ o singurǎ datǎ cu aparate suficient de precise pentru practica industrialǎ, la care erorile sunt cuprinse între 3 % si 10 %.

c. Dupǎ forma sub care aparatul de mǎsurat prezintǎ rezultatul mǎsurǎrii putem avea: mǎsurǎri analogice si mǎsurǎri numerice.

Mǎsurǎrile analogice sunt acelea la care rezultatul este o mǎrime continuǎ, care poate lua orice valoare în domeniul de mǎsurare si care poate fi cititǎ cu ajutorul unui element indicator care se deplaseazǎ în fata unei scǎri gradate.

Mǎsurǎrile numerice sunt acelea la care rezultatul poate avea numai anumite valori discrete, în functie de mǎrimea cuantei de mǎsurare (sau unitǎtii de cuantificare). Rezultatul mǎsurǎrii se afiseazǎ, într-un sistem de numeratie, pe un dispozitiv specializat sub forma unui numǎr. Mǎsurǎrile numerice se preferǎ celor analogice deoarece sunt mai precise, nu intervin erorile de citire, iar rezultatele se pot prelucra, transmite sau înregistra, prin mijloacele tehnicii de calcul.

d. Dupǎ regimul variatiei în timp a mǎrimilor mǎsurate putem avea: mǎsurǎri statice, mǎsurǎri dinamice si mǎsurǎri statistice.

Mǎsurǎrile statice se efectueazǎ asupra unor mǎrimi de regim permanent, care sunt constante în intervalul de timp în care se face mǎsurarea.

Mǎsurǎrile dinamice se realizeazǎ asupra unor mǎrimi rapid variabile în timp, care necesitǎ aparate cu timp mic de rǎspuns, care dispun de elemente specializate de înregistrare sau memorare discretǎ a datelor mǎsurate

Mǎsurǎrile statistice se efectueazǎ asupra unor mǎrimi aleatoare, cu variatie imprevizibilǎ în timp, care nu pot fi descrise de relatii matematice care sǎ stabileascǎ o lege de reproducere a anumitor valori, în anumite conditii experimentale.

1.5. METODE DE MǍSURARE

Orice mǎsurare se bazeazǎ pe un principiu de mǎsurare, care constituie baza stiintificǎ ce sustine metoda de mǎsurare folositǎ. Se numeste metodǎ de mǎsurare ansamblul relatiilor teoretice si al operatiilor experimentale pe care le presupune mǎsurarea, inclusiv ordinea de realizare a acestor operatii. Marea varietate a metodelor de mǎsurare provine din varietatea categoriilor de mǎsurare prezentate în paragraful anterior. Se poate spune cǎ metodele de mǎsurare se gǎsesc, în bunǎ parte, în corespondentǎ cu categoriile de mǎsurare. Totusi, se poate face si o clasificare specificǎ, partialǎ, pentru metodele de mǎsurare, în functie de tehnica de obtinere a rezultatului mǎsurǎrii. Din acest punct de vedere metodele de mǎsurare se împart în douǎ categorii: metode directe si metode de comparatie.

METODE DIRECTE

Metodele directe permit sǎ se evalueze mǎrimea de mǎsurat nemijlocit, fǎrǎ furnizarea unor valori ale altor mǎrimi fizice, pe baza indicatiilor aparatelor de mǎsurat folosite, cum ar fi ampermetrul, voltmetrul, wattmetrul, contorul etc. Metoda este consideratǎ directǎ chiar dacǎ în interiorul aparatului sunt mǎsurate una sau mai multe mǎrimi, dar în final se indicǎ o singurǎ mǎrime. De exemplu, la mǎsurarea puterii se mǎsoarǎ tensiunea, curentul si se face si produsul, dar se furnizeazǎ un singur rezultat. În cazul metodei directe rezultatul se obtine printr-o singurǎ operatie, iar bucla de mǎsurare este deschisǎ, adicǎ valoarea mǎsuratǎ nu este corectatǎ cu ajutorul instalatiei care participǎ la mǎsurare, în scopul obtinerii unei valori impuse.

Corespunzǎtor categoriilor de mǎsurare indirecte putem spune cǎ existǎ si metode de mǎsurare indirecte, în cazul în care valoarea mǎrimii mǎsurate se obtine prin mǎsurarea uneia sau mai multor mǎrimi, de care mǎrimea masuratǎ este legatǎ printr-o relatie functionalǎ, urmatǎ de un calcul în care intervin valorile obtinute. Totusi, mǎsurarea indirectǎ poate fi privitǎ ca o succesiune de mǎsurǎri directe, urmate de un calcul. De aceea, în clasificarea metodelor de mǎsurare nu mai este necesarǎ includerea metodelor indirecte.

METODE DE COMPARAŢIE

Metodele de comparatie se bazeazǎ pe folosirea de etaloane, necesare la furnizarea mǎrimii de comparatie si pe utilizarea de aparate de mǎsurat, care pun în evidentǎ egalitatea dintre valoarea de mǎsurat si valoarea mǎrimii de comparatie. În acest caz bucla de mǎsurare este închisǎ deoarece rezultatul mǎsurǎrii se poate regla manual sau automat, pânǎ când diferenta dintre cele douǎ valori se anuleazǎ. Precizia de mǎsurare creste, fiind cel mult egalǎ cu aceea a etalonului folosit în procesul de mǎsurare. Ca variante ale metodei comparatiei se amintesc:

a. Comparatia directǎ, constǎ în compararea mǎrimii de mǎsurat X, cu o mǎrime de aceeasi specie Y, cunoscutǎ cu precizie, astfel încât se obtine relatia:

Egalitatea (1.21) se realizeazǎ fie manual de cǎtre un operator, fie automat de cǎtre sistemul de mǎsurare.

b. Metoda de substitutie constǎ în introducerea succesivǎ a mǎrimii de mǎsurat si de comparatie în aparatul de mǎsurat, urmǎrindu-se obtinerea aceluiasi rezultat la aparatul de mǎsurat. Valoarea mǎrimii de mǎsurat se obtine atunci când ea este egalǎ cu valoarea mǎrimii de comparatie.

c. Metoda de coincidentǎ constǎ în suprapunerea mǎrimii de mǎsurat peste mǎrimea de comparatie, care poate fi variatǎ pânǎ la obtinerea coincidentei dintre cele douǎ mǎrimi, în acel moment putându-se aprecia valoarea mǎrimii de mǎsurat.

d. Metoda de baleiaj, folositǎ în special în mǎsurǎrile numerice, constǎ în comparatia între mǎrimea de mǎsurat X si o mǎrime variabilǎ Y, dupǎ o lege cunoscutǎ (uzual liniarǎ) Sesizarea egalitǎtii X = Y se face atunci când diferenta D = X - Y trece prin zero sau schimbǎ de semn.

e. Metoda diferentialǎ este o metodǎ de comparatie combinatǎ care constǎ în mǎsurarea cu un mijloc de mǎsurare a diferentei D = X - Y, între mǎrimea de mǎsurat X si mǎrimea de comparatie etalon Y, cunoscutǎ cu exactitate. Rezultatul mǎsurǎrii este chiar mǎrimea de mǎsurat:

Observatie: Existǎ si alte criterii de clasificare ale metodelor de mǎsurare, asemǎnǎtoare cu criteriile de clasificare ale categoriilor de mǎsurare, cum ar fi:

Din punct de vedere al exactitǎtii sunt metode de laborator si metode industriale;

Din punct de vedere al variatiei în timp sunt metode statice si dinamice;

Din punct de vedere al obtinerii valorii mǎsurate sunt metode analogice si numerice (digitale)

1.6. ERORI DE MǍSURARE

DEFINIŢII

Într-o mǎsurare, oricât ar fi de precisǎ, valoarea mǎsuratǎ X_m diferǎ de valoarea adevǎratǎ X a mǎrimii respective. Se numeste valoare adevǎratǎ a unei mǎrimi valoarea fǎrǎ erori a acelei mǎrimi. Diferenta ΔX, dintre valoarea mǎsuratǎ si valoarea adevǎratǎ (realǎ), se numeste eroare absolutǎ de mǎsurare:

(1.23)

Valoarea adevǎratǎ a unei mǎrimi este imposibil de determinat, deoarece orice mǎsurare este afectatǎ, mai mult sau mai putin, de erori. În practicǎ se acceptǎ în locul valorii adevǎrate o valoare X', determinatǎ cu o incertitudine suficient de micǎ (ce diferǎ neglijabil de valoarea adevǎratǎ), numitǎ valoare conventional adevǎratǎ.

Se numeste incertitudine de mǎsurare intervalul în care se estimeazǎ, cu o anumitǎ probabilitate, cǎ se aflǎ valoarea adevǎratǎ a mǎsurandului. Precizarea incertitudinii de mǎsurare, atunci când se face o mǎsurǎtoare, face utilizabil rezultatul mǎsurǎrii. Valoarea unei mǎrimi obtinutǎ printr-o singurǎ mǎsurare se numeste valoare individualǎ mǎsuratǎ. În Fig. 1.4 se prezintǎ o schemǎ cu precizarea unora dintre elementele prezentate.

Eroarea absolutǎ de mǎsurare se mǎsoarǎ în aceeasi unitate ca si mǎrimea mǎsuratǎ. Erorile se pot exprima si în unitǎti relative, fiind mǎrimi adimensionale. În acest caz, se definesc douǎ tipuri de erori:

eroarea relativǎ e, care reprezintǎ raportul dintre eroarea absolutǎ si valoarea adevǎratǎ a mǎrimii:

(1.24)

eroarea raportatǎ e_R, care reprezintǎ raportul dintre eroarea absolutǎ si o valoare conventionalǎ X_c:

Erorile relative se pot exprima si în procente asa cum rezultǎ din relatiile (1.24) si (1.25).

Fig. 1.4. Repartitia valorilor care intervin în procesul de mǎsurare.

CLASIFICAREA ERORILOR DE MǍSURARE

În cazul în care se repetǎ mǎsurarea unei mǎrimi în conditii identice (aceleasi mijloace de mǎsurare, acelasi operator, aceleasi conditii de mediu) se constatǎ cǎ nu se obtin aceleasi valori, valorile mǎsurate fiind diferite. Dacǎ se repetǎ mǎsurarea, atât pentru un mumǎr foarte mare de mǎsurǎri, cât si pentru un numǎr mic de mǎsurǎri se obtin douǎ siruri distincte de valori mǎsurate. Reprezentând grafic frecventele de aparitie a valorilor mǎsurate în functie de valorile mǎsurate se obtin douǎ dependente care diferǎ între ele, asa cum se observǎ din Fig. 1.5.

În functie de modul de manifestare al erorilor la repetarea unei mǎsurǎri, se poate face o clasificare a acestor erori. Astfel, din acest punct de vedere erorile se împart în 3 categorii: erori aleatoare (de fidelitate), erori sistematice (de justete) si erori grosolane (greseli).

a. Erorile aleatoare îsi manifestǎ existenta în cazul în care mǎsurǎrile se repetǎ, rezultatele fiind, în mod imprevizibil, diferite. Aceste erori pot fi pozitive sau negative si nu pot fi cunoscute ca mǎrime. Cauzele acestor erori se gǎsesc în modificarea unor parametrii sau a unor mǎrimi care influenteazǎ procesul de mǎsurare.

b. Erorile sistematice sunt erorile care nu variazǎ la repetarea mǎsurǎrii în aceleasi conditii, sau variazǎ în mod determinabil în functie de modificarea conditiilor de mǎsurare. Ele se datoreazǎ unor cauze bine determinate, se produc întotdeauna în acelasi sens si pot fi compensate sau eliminate prin aplicarea unor corectii.

Erorile sistematice sunt datorate erorilor de aparat sau instrumentale (etalonare incorectǎ, uzurǎ), metodei de mǎsurare (la introducerea unor simplificǎri, la folosirea unor relatii empirice), factorilor de mediu (temperaturǎ, umiditate, presiune, radiatii, câmpuri magnetice), sau operatorului (obosealǎ, modul subiectiv de citire).

c. Erorile grosolane sunt abateri foarte mari, cu probabilitate micǎ de aparitie, care produc denaturǎri puternice ale rezultatelor mǎsurǎrilor. Ele pot proveni din manipulǎri gresite, din aplicarea unor metode calcul inexacte, din citiri eronate, din eroarea de selectie a scalelor de mǎsurare. Aceste erori trebuie eliminate si refǎcute mǎsurǎtorile, eventual prin schimbarea operatorului.

Fig. 1.5. Definirea erorilor aleatoare si sistematice: n = numǎrul de mǎsurǎri efectuate.

Orice eroare de mǎsurare este generatǎ de modificarea unor mǎrimi de influentǎ. Dacǎ aceste mǎrimi se modificǎ rapid atunci ele genereazǎ erori aleatoare, dacǎ se modificǎ foarte lent (sau sunt constante) ele genereazǎ erori sistematice. De aici se trage concluzia cǎ nu existǎ o deosebire esentialǎ între erorile aleatoare si erorile sistematice. Totusi pentru scopuri practice, este util ca erorile aleatoare sǎ fie tratate distinct de cele sistematice deoarece în cazul erorilor aleatoare este necesarǎ o repetare a mǎsurǎrilor si prelucrarea rezultatelor obtinute, pe când în cazul erorilor sistematice trebuie cunoscute si alte elemente suplimentare referitoare la metoda de mǎsurare sau la procedeul folosit în procesul de mǎsurare.

PRELUCRAREA DATELOR MǍSURATE sI ESTIMAREA

ERORILOR DE MǍSURARE

a. Indicatori statistici utilizati la prelucrarea datelor experimentale

Dacǎ la mǎsurarea unei valori a unei mǎrimi fizice se efectueazǎ un numǎr n de mǎsurǎri, în aceleasi conditii, se obtin valorile mǎsurate X_m1, X_m2, . , X_mn. Cu ajutorul acestor mǎrimi se poate deduce o valoare cât mai exactǎ a mǎrimii mǎsurate. Pentru a realiza acest lucru se folosesc indicatorii statistici. Acestia sunt de douǎ categorii: indicatori statistici de pozitie (de localizare) si indicatori statistici de dispersie (de variatie).

a₁. Indicatorii statistici de pozitie se utilizeazǎ pentru pozitionarea mǎrimii mǎsurate pe o scarǎ ordonatǎ de valori, care sǎ permitǎ estimarea mǎrimii mǎsurate la o distantǎ cât mai apropiatǎ de valoarea adevǎratǎ a mǎrimii. Cei mai importanti indicatori statistici de pozitie sunt:

media aritmeticǎ este un indicator foarte important în estimarea preciziei de mǎsurare, adoptându-se adesea ca mǎrime de referintǎ, deoarece la un numǎr foarte mare de mǎsurǎri media aritmeticǎ tinde cǎtre valoarea adevǎratǎ a mǎrimii mǎsurate. Media aritmeticǎ , se calculeazǎ cu relatia cunoscutǎ:

(1.26)

media pǎtraticǎ X_p este un indicator analog valorii efective a unei mǎrimi alternative, care se calculeazǎ cu relatia:

(1.27)

mediana M este valoarea care împarte în douǎ pǎrti egale, sirul crescǎtor al valorilor mǎsurate X_m1, X_m2, . , X_mn. Dacǎ sirul are numǎr impar de termeni, mediana este valoarea de ordin (n + 1)/2 si dacǎ sirul are un numǎr par de termeni mediana este egalǎ cu media aritmeticǎ a valorilor centrale.

a₂. Indicatorii statistici de dispersie se folosesc în prelucrǎrile statistice ale rezultatelor experimentale. Dintre acestia cei mai importanti s unt:

Amplitudinea de dispersie w, este definitǎ ca diferenta dintre valorile maximǎ si minimǎ din sirul de valori mǎsurate:

Abaterea d_i este diferenta dintre valoarea obtinutǎ într-o mǎsurǎtoare si media aritmeticǎ a valorilor tuturor mǎsurǎrilor:

Abaterea medie pǎtraticǎ s este o mǎsurǎ a dispersiei rezultatelor în jurul mediei, adicǎ a erorilor aleatoare, care se calculeazǎ cu relatia:

(1.29)

b. Repartitia Gauss (normalǎ) a rezultatelor experimentale

Repartitia (distributia) Gauss este foarte importantǎ în stiinta mǎsurǎrilor si este folositǎ pentru determinarea valorii unei mǎrimi fizice, folosind un sir de mǎsurǎri riguros efectuate, în aceleasi conditii experimentale, sau pentru determinarea unor elemente caracteristice unei multimi apartinând unei anumite clase specifice.

Densitatea de probabilitate de repartitie a rezultatelor, considerate ca variabile aleatoare, ale unui sir de mǎsurǎri efectuate asupra unei mǎrimi fizice, sau asupra unui esantion de obiecte, se scrie sub urmǎtoarea formǎ:

în care f(X_m) este frecventa relativǎ cu care rezultatul X_m apare în sirul de mǎsurǎri.

În Fig. 1.6. se prezintǎ graficul functiei distributiei de probabilitate, în abscisǎ apǎrând diferenta X_m - X si în ordonatǎ frecventa relativǎ cu care rezultatul X_m apare în sirul de mǎsurǎri.

Fig. 1.6. Curba de repartitie Gauss a densitǎtii de probabilitate de distributie a rezultatelor.

Functia (1.30) are câteva proprietǎti fundamentale printre care se amintesc:

;

Maximul curbei lui Gauss, obtinut prin operatia de derivare, are valoarea , iar punctele de inflexiune au abscisele X_m - X = ± s;

Functia f(X_m) este o functie parǎ (graficul ei este simetric fatǎ de axa ordonatelor), având doar valori pozitive.

Probabilitatea ca variabila aleatoare X_m sǎ se afle în intervalul (x₁, x₂) are valoarea:

Folosirea curbei lui Gauss se face cu bune rezultate pentru un numǎr mare de mǎsurǎri. Cea mai mare frecventǎ de aparitie o are mǎsrarea pentru care X_m - X = 0. Mǎsurǎrile pentru care X_m - X = s au frecventa de aparitie 0,606 din frecventa maximǎ (Fig. 1.6).

Eroarea absolutǎ probabilǎ asupra valorii medii a n mǎsurǎri se calculeazǎ cu expresia:

(1.32)

iar rezultatul mǎsurǎrilor este dat de relatia:

(1.33)

c. Eliminarea erorilor grosolane

Eliminarea erorilor grosolane se face pe baza criteriului Grubbs - Smirnov, care constǎ în urmǎtoarele operatii:

se ordoneazǎ toate mǎsurǎrile în ordine crescǎtoare X₁, X₂, . , X_n si se cerceteazǎ valoarea cea mai mare X_n

se calculeazǎ valoarea medie si abaterea pǎtraticǎ medie s, a celor n valori mǎsurate, apoi se calculeazǎ raportul , dat de relatia:

(1.34)

si se comparǎ acest raport cu valoarea , datǎ de tabelul 1.3, corespunzǎtor numǎrului n de valori ale sirului de mǎsurǎri si riscului α ales (de obicei 0,05 sau 0,01). Dacǎ valoarea X_n trebuie exclusǎ din sirul de rezultate deoarece reprezintǎ o eroare grosolanǎ. Dacǎ valoarea X_n se pǎstreazǎ ca mǎsurare valabilǎ.

se continuǎ acelasi procedeu cu valoarea X_n-1 si asa mai departe, pânǎ se eliminǎ toate erorile grosolane (dacǎ mai existǎ).

Tabelul 1.3  

d. Compunerea erorilor în mǎsurǎrile indirecte

În cazul mǎsurǎrilor indirecte, mǎrimea de mǎsurat se calculeazǎ în functie de mǎrimile indirecte X₁, X₂, . , X_n, mǎsurate separat, cu ajutorul functiei:

X = f(X₁, X₂, . , X_n,) (1.35)

Se presupune cǎ erorile absolute cu care se mǎsoarǎ mǎrimile indirecte sunt constante si egale cu ΔX₁, X₂, . , ΔX_n. În functie de aceste erori relative sǎ determinǎm eroarea absolutǎ ΔX cu care se determinǎ mǎrimea X, datǎ de relatia (1.35). Aceastǎ eroare absolutǎ se calculeazǎ cu relatia:

Se dezvoltǎ în serie functia si se neglijeazǎ termenii de ordinul 2, 3, ., deoarce erorile absolute ΔX₁, X₂, . , ΔX_n sunt foarte mici gǎsindu-se relatia:

Eroarea absolutǎ maximǎ probabilǎ la mǎsurarea mǎrimii X va fi:

(1.37)

care se exprimǎ cu ajutorul erorilor absolute maxime probabile cu care se mǎsoarǎ fiecare mǎrime indirectǎ X_k.

Eroarea relativǎ maximǎ probabilǎ se obtine împǎrtind relatia (1.37) la X dat de relatia (1.35):

(1.38)

Relatia (1.38) ne permite calculul erorii relative maxime probabile a mǎrimii X în functie de erorile relative maxime probabile ale mǎrimilor indirecte X_k.

1.7. PROBLEME APLICATIVE

PROBLEMA 1.1

Cu ajutorul unui ampermetru de având valoarea maximǎ de 20 A si indicele clasei de exactitate c = 0,5 se mǎsoarǎ curentul de 14 A. Sǎ se calculeze: a. eroarea relativǎ care se face la mǎsurarea curentului; b. intervalul de încadrare al valorii mǎsurate.

Solutie

a. Eroarea relativǎ comisǎ la mǎsurarea curentului de 14 A se determinǎ utilizând relatia (1.12):

b. Eroarea limitǎ de mǎsurare cu ampermetrul este datǎ de relatia (1.12):

Intervalul de încadrare al curentului mǎsurat este:

PROBLEMA 1.2

Dacǎ la mǎsurǎrile indirecte erorile cu care se mǎsoarǎ mǎrimile indirecte X₁ si X₂ sunt ΔX₁ si ΔX₂ sǎ se calculeze eroarea relativǎ care se face: a. în cazul produsului X₁X₂; b. în cazul sumei X₁ + X₂ si în cazul expresiei .

Solutie:

a.      Se aplicǎ relatia (1.36) functiei X = X₁X₂ si avem:

din care se deduce cǎ eroarea relativǎ a unui produs este egalǎ cu suma erorilor relative ale compomentelor produsului

b. Se aplicǎ aceeasi relatie (1.36) functiilor X = X₁ + X₂ ,respectiv si gǎsim expresiile:

PROBLEMA 1.3

Printr-un rezistor cu rezistenta de 50 ± 0,2 Ω, trece un curent 5 ± 0,01 A. Cu ce eroare se determinǎ puterea disipatǎ în rezistor ?

Solutie

Se aplicǎ relatiile deduse în problema 1.2. pentru functia care dǎ puterea disipatǎ P = RI² si avem:

Erorile relative cu care se calculeazǎ rezistenta si curentul sunt:

Prin urmare, eroarea relativǎ cu care se determinǎ puterea are valoarea:

Puterea disipatǎ are valoarea:

PROBLEMA 1.4

Într-un sir de 8 mǎsurǎri a unui curent, s-au obtinut valorile din coloana a doua a tabelului 1.4. a. Sǎ se calculeze: media aritmeticǎ a mǎsurǎrilor, abaterea medie pǎtraticǎ (standard), eroarea probabilǎ a valorii medii si rezultatul mǎsurǎrilor. b. Sǎ se cerceteze dacǎ dintre cele 8 rezultate ale mǎsurǎrilor existǎ o mǎsurare care are erori grosolane si care trebuie eliminatǎ.

Solutie

În tabelul 1.4 s-au calculat abaterea fiecǎrei mǎsurǎri si pǎtratul acesteia.

Tabelul 1.4

a. Cu ajutorul datelor calculate în tabel s-au determinat urmǎtoarele elemente caracteristice sirului de mǎsurǎri:

Media aritmeticǎ a mǎsurǎrilor, conform relatiei (1.26):

Abaterea pǎtraticǎ medie, conform relatiei (1.29):

Eroarea probabilǎ a valorii medii, conform relatiei (1.32):

Rezultatul mǎsurǎrii este:

sau altfel scris:

b. Se cerceteazǎ dacǎ existǎ erori grosolane în sirul de mǎsurǎri înscrie în coloana a doua a tabelului 1.4, folosind criteriul de eliminare Grubbs - Smirnov, prezentat în paragraful 1.6.3.c. Se ordoneazǎ crescǎtor rezultatele celor 8 mǎsurǎri si se constatǎ cǎ cea mai mare valoare este 5,03 A. Pentru a vedea dacǎ aceastǎ valoare este afectatǎ de o eroare grosolanǎ se calculeazǎ coeficientul ν, dat de relatia (1.34) gǎsindu-se valoarea ν = 1,759. Se comparǎ aceastǎ valoare cu valoarea lui ν_n,α = 2,323 obtinutǎ din tabelul 1.3, pentru riscul 0,01 si pentru un numǎr de 8 mǎsurǎri. Se constatǎ cǎ ν < ν_n,α, deci valoarea cea mai mare din sirul de valori din tabelul 1.4. nu este afectatǎ de o eroare grosolanǎ si rǎmâne mǎsurare valabilǎ.