rasucirea si încovoierea peretilor subtiri
1. Un profil [ are forma din figura 1, cu dimensiunile: h = 20 cm, b = 8 cm, = 2 mm. Se cere distributia eforturilor unitare tangentiale, produse de o forta taietoare Ty = 500 kgf, paralela cu axa y.
Rezolvare
Momentul de inertie al sectiunii este:
În coltul profilului, momentul static este:
iar efortul unitar tangential:
În axa neutra, momentul static este:
iar efortul unitar:
Pe talpa, efortul unitar variaza liniar, iar pe inima parabolic, valorile maxime fiind cele calculate mai sus.
2. Sa se studieze variatia eforturilor unitare , produse de o forta taietoare Ty (paralela cu Oy) în sectiunea unui inel taiat (figura 2).
Rezolvare
Alegând un element de arie dA = · R · d , a carui pozitie este data de unghiul , respectiv a carui ordonata este y = R sin , se calculeaza momentul de inertie al întregii suprafete.
precum si momentul static al partii de sectiune hasurata, cuprinsa între limitele 0 ≤
Ca urmare, efortul unitar în sectiunea definita de unghiul este:
Variatia acestui effort este data în figura 2; maximul are loc pentru α = π, în sectiunea opusa crestaturii:
Sa se afle pozitia centrului de încovoiere al profilului din figura 3, a, care are pe toata lungimea aceeasi grosime
Rezolvare
Pentru rezolvare se ia polul auxiliar P pe axa Oz, care duce la construirea diagramei P din figura 3, b. se construieste apoi diagrama y din figura 3, c.
Centrul de încovoiere se afla pe axa Oz, la distanta data de formula urmatoare:
Figura 3
Facând înlocuirea dA = · ds, se calculeaza integrala:
cu ajutorul regulii lui Veresceaghin. Se observa ca, din cauza antisimetriei ambelor diagrame, calculul se poate face pentru jumatate din profil. Pentru laturile scurte ale profilului, diagrama P se împarte într-un dreptunghi si un triunghi, carora li se aplica, regula lui Veresceaghin.
Momentul de inertie al profilului este:
Ca urmare, abscisa centrului de încovoiere este:
Sa se construiasca diagrama ariilor sectoriale , fata de centrul de încovoiere, pentru profilul din figura 4.
Figura 4 Figura 5
Rezolvare
Ţinând seama de dimensiunile din figura 3, a si de faptul ca a = -0,59 a , se afla suprafetele-sector în cele trei colturi ale profilului
= - 0,59 a · a = - 0,59 a2
= - 0,59 a2 + a · a = 0,41 a2
= 0,41 a2 + 1,59 a · 0,5 a = 1,205 a2
Cu aceste valori, se construieste diagrama din figura 5.
5. Sa se construiasca diagrama 
pentru
profilul din figura 3, a. Cu ajutorul
diagramei din figura 5 se calculeaza valoarea lui în punctele
3,2,1,P, stiind ca în
fiecare punct este egal
cu marimea suprafetei , masurata începând
din punctul 3, înmultita cu
. Ca urmare:
Figura 6
Se determina pozitia punctului 4, în care suprafata-sector se anuleaza, scriind asemanarea celor doua triunghiuri:
Prin urmare:
; 
Cu aceste valori, se deseneaza diagrama din figura 6, având peste tot traseu parabolic.
6. Sa se construiasca diagrama suprafetelor-sector la profilul subtire în forma de inel, taiat ca în figura 7. Centrul de încovoiere se afla în sens opus taieturii, la distanta 2R de centrul inelului. Pentru calculul suprafetelor-sector se foloseste relatia de definitie:
unde originea arcelor este în punctul B. pentru a calcula suprafata-sector într-un punct curent a, definit de unghiul , se ia o variabila intermediara , care defineste un punct D, precum si un unghi d , care defineste punctul infinit vecin E. Ducând tangenta la linia mediana (cerc) în punctul D si normala pe ea din centrul de încovoiere se afla raza r = AC = FD. Conform desenului:
Rezolvare
R = FD = OF - OD = 2 R cos - R
ds = DE = R d
Se înlocuieste în expresia lui
Cu ajutorul acestei relatii se construieste diagrama suprafet≥lor-sector. Suprafata-sector este maxima la taietura profilului, pentru , si nula în B. Semnele rezulta din conventia cunoscuta. Suprafata-sector se anuleaza când:
2 sin
Prin încercari se gaseste solutia
7. O bara cu pereti subtiri este încastrata la un capat si încarcata în capatul liber prin un cuplu de rasucire Mx = 600 kgcm. Lungimea barei este l = 100 cm, iar sectiunea are forma din figura 8, cu h = 20 cm, b = 10 cm, t = = 0,1 cm. Se cere sa se calculeze valorile maxime ale eforturilor unitare normale si tangentiale, produse în sectiune.
Se afla pozitia centrului de încovoiere cu formula:
Suprafetele-sector în punctele C si D din figura (cu zA în valoare absoluta) sunt:
Rigiditatea la rasucire pura a barei este:
Momentul static sectorial maxim este dat de relatia urmatoare:
Momentul de inertie sectorial se calculeaza cu formula:
Se determina coeficientul din ecuatia diferentiala:
Se scrie ecuatia diferentiala a deformatiei de rasucire a barei:
care are solutia:
Considerând originea în încastrare, se scrie conditia initiala:
x = 0; u = 0,
respectiv:
x = 0;
Se substituie în ecuatie:
În
capatul liber al barei nu exista eforturi unitare 
, caci deplasarea este libra, deci:
x =
1; 
Se deriveaza ecuatia deformatiei:
si se înlocuieste conditia data:
Prin urmare, ecuatia deformatiei este:
Se scriu cele doua derivate ale lui
Ecuatia momentului de încovoiere-rasucire este data de formula:
respectiv, înlocuind pe α2, rezulta:
(1)
Momentul de rasucire pura este:
(2)
Bimomentul de încovoiere-rasucire este:
(3)
Relatiile (1), (2), (3) permit construirea diagramelor de variatie a marimilor M , Mt, B în lungul barei.
Din relatia (1) se observa ca M este maxim în încastrare, la x = 0, unde sh x = 0 si ch x = 1
M max = Mx = 600 kgcm.
Prin urmare, în sectiunea de încastrare, momentul de rasucire pura Mt, este nul, întrucât M = Mx.
Bimomentul este, de asemenea, maxim în încastrare, la x = 0
Se calculeaza:
l = 0,00132 x 100 = 0,132; th l
Cele mai mari eforturi unitare au loc în încastrare, fiind produse de eforturile M max si Bmax.
Astfel, în coltul D din figura 9, are loc:
iar în coltul de jos, simetric, max = 1280 kgf /cm2.
Figura 9 Figura 10
În punctul R din figura 10 are loc efortul unitar
În alte puncte ale sectiunii de încastrare, respectiv în alte sectiuni, eforturile unitare sunt mai mici.
Înlocuind în (1) si (2) valorile:
th l = 0,131; sh l = ch l
se afla M si Mt în capatul liber
M = 0,9914 Mx = 595 kgcm ≈ Mx
Mt = 0,0086 Mx = 5 kgcm ≈ 0
Efortul unitar tangential suplimetar în capatul liber se afla cu relatia
în care se înlocuiesc:
M = 595 kgcm; = 19,5 cm4,
= 0,1 cm, I = 2920 cm6
Rezulta:
Se vede ca în cazul problemei alese, data fiind rigiditatea de rasucire mica, în capatul liber cuplul exterior este preluat de bara ca moment M
|
