Raspunsul sistemelor automate

Raspunsul în timp al sistemelor automate

Evaluarea performantelor în domeniul timp ale modelelor este importanta deoarece sistemele de control sunt studiate din doua puncte de vedere: performante în domeniul timp si în domeniul frecventei. Performantele sistemelor în domeniul timp pot fi definite în termeni ai raspunsului în timp la intrari standard de test. Una din cele mai frecvent întâlnite intrari într-un sistem automat este functia treapta (functia Heaviside). Daca raspunsul la o intrare treapta este cunoscut , matematic este posibil sa calculam raspunsul la orice intrare. Un alt tip de intrare, de o importanta majora, este functia sinusoidala. O iesire stabila sinusoidala este obtinuta când un sistem liniar asimptotic stabil este supus unei intrari sinusoidale. De aceea, daca cunoastem raspunsul unui sistem liniar invariant în timp la intrari sinusoidale pentru toate frecventele, avem o descrire completa a sistemului.

Raspunsul sistemelor de întârzie 959d37j re de ordinul doi

Forma standard a functiei de transfer de ordin doi este data de:

unde w_n este pulsatia naturala. Pulsatia naturala este pulsatia de excitatie, daca toate amortizarile sunt sterse. Valoarea sa ne da o indicatie asupra vitezei raspunsului. x este factorul de amortizare. Acesta ofera informatii despre natura raspunsului tranzitoriu.

Raspunsul în timp al unui sistem de întârziere de ordinul 2 este dat de:

unde j este un factor care depinde numai de x

Performantele în domeniul timp

Criteriile de performanta utilizate pentru a caracteriza raspunsul tranzitoriu la o intrare treapta sunt: suprareglajul, timpul de crestere, timpul de suprareglare, timpul de raspuns.

Vom defini timpul timpul de crestere t_c ca fiind timpul în care raspunsul sistemului creste de la 10% din valoarea de regim stationar la 90% din aceasta ( daca raspunsul nu atinge valoarea de regim stationar ) sau timpul dupa care raspunsul sistemului atinge prima data aceasta valoare. Timpul de suprareglare t_s este timpul la care se obtine valoarea maxima a raspunsului sistemului. Viteza raspunsului este masurata de t_c si t_s. Timpul de raspuns reprezinta timpul dupa care raspunsul sistemului intra definitiv într-o banda de 5% din valoarea de regim stationar.

Suprareglajul sistemelor este definit ca:

s =

Timpul de suprareglare este obtinut prin anularea derivatei expresiei lui y(t).

t_s=

Corespunzator acestui timp se obtine:

Deci, suprareglajul pentru un sistem de ordinul 2 este:

Timpul de raspuns este considerat ca fiind de ordinul a 4 constante de timp, ceea ce înseamna ca:

t_s=4/xw_n

Functia timespec(num, den) returneaza performantele în domeniul timp al sistemelor automate: suprareglajul ( overshoot ), timpul de suprareglare ( peak time ), timpul de crestere ( rise time ) si timpul de raspuns ( settling time ).

Efectele adaugarii polilor si zerourilor

Introducerea unui zerou suplimentar în functia de transfer

Zerourile unei functii de transfer afecteaza amplitudinea raspunsului , dar nu si natura acestuia. Daca zeroul este apropiat de polii dominanti ai sistemului, acesta va avea influente asupra raspunsului tranzitoriu al sistemului. Timpul de crestere si timpul suprareglare vor avea valori mai mici în timp ce suprareglajul va creste. Daca pozitia zeroului este departata de polii dominanti, atunci raspunsul este aproximativ identic cu cel al unui sistem de ordinul 2.

Adaugarea unui pol

Deoarece polii functiei de transfer în bucla închisa sunt radacinile ecuatiei caracteristice, ei controleaza direct raspunsul tranzitoriu al sistemului. Timpul de crestere si timpul de suprareglare vor avea valori marite, suprareglajul va fi mai mic, acestea ducând la obtinerea unui raspuns mai greoi al sistemului. Pe masura ce polul introdus se deplaseaza la stânga polilor dominanti, efectul acestuia scade, deoarece termenul exponential introdus de el se anuleaza cu atât mai repede cu cât este mai departat de polii dominanti. Daca este suficient de departat, atunci sistemul poate fi aproximat cu un sistem de întârziere de ordinul 2.

Raspunsul unui sistem de ordinul 3 cu un zerou suplimentar poate fi exprimat prin:

Aplicând tranformata Laplace inversa se obtine:

unde:

Functia y=stepzwn(z,w_n, R, a,T, t) determina raspunsul pentru sistemul de ordinul 3 descris anterior, unde z este factorul de amortizare, w_n pulsatia naturala, R este amplitudinea treptei de intrare. Pentru un sistem de ordinul 2, a si T sunt setate la 0. Control System Toolbox ofera utilizatorului functiile y=impuls(num, den, t), y=step(num, den, t) si y=lsim(num, den, u, t) pentru determinarea raspunsului în timp al sistemului.

Exemplul 1. Sa se determine raspunsul în timp al sistemului de ordinul 2, cu w_n=5 si x

num = [10, 25];

den = [0.16 1.96 10 25];

t=0:0.02:2;

y = step(num, den, t);

plot(t, y),

xlabel('t - sec. ')

ylabel('y(t)'), grid, pause

timespec(num, den)

Rezultatele obtinute sunt:

Peak time = 0.553333 Percent overshoot = 37.9675

Rise time = 0.206667

Settling time = 1.59

Fig.3.1. Raspunsul în timp al sistemului.

Exemplul 2.

Sa se determine raspunsul indicial, precum si performantele în domeniul timp ale sistemului descris de functia de transfer:

Programul scris în Matlab este urmatorul:

num = [10,25];

den =[0.16 1.96 10 25];

t=0:0.02:2;

c=step(num,den,t);

plot(t,c), xlabel('t-sec'), ylabel('y(t)'), grid, pause

timespec(num, den)

iar reprezentarea raspunsului indicial este prezentata în figura urmatoare. Performantele în domeniul timp ale sistemului sunt date de:

Peak time = 0.553333

Percent overshoot = 37.9675

Rise time = 0.206667

Settling time = 1.59

Fig.3.2. Raspunsul în timp al sistemului.

Exemplul 3. Schema bloc a unui servomecanism este reprezentata în figura urmatoare:

Fig.3.3. Schema bloc functionala.

Sa se determine valorile constantelor d si e astfel încât suprareglajul maxim al sistemului sa fie de 40% si timpul de suprareglare sa fie 0.8 secunde.

Programul scris în Matlab consta în urmatoarele linii:

sigma = 40; tmax=.80;

z= log(100/sigma)/sqrt( pi^2 +(log(100/sigma))^2 )

wn = pi/(tmax*sqrt(1-z^2))

num = wn^2;

den =[1 2*z*wn wn^2];

t=0:0.02:4;

timespec(num, den)

Rezultatul executiei programului este:

z =

wn =

Peak time = 0.803239

Percent overshoot = 39.9965

Rise time = 0.314311

Settling time = 3.37011

Din schema bloc rezulta functia de transfer a sistemului:

G(s)=d / [s²+(de+1)s+d]

Ecuatia caracteristica este:

s²+(de+1)s+d=s²+2xw_ns+w_n

Din valorile determinate anterior se deduce:

d=w_n

de+1=2(0.28)(4.0906)

deci

e=0.077

Raspunsul în frecventa al sistemelor

Raspunsul în frecventa al sistemului este definit ca raspunsul sistemului atunci când la intrarea acestuia se aplica un semnal de tip sinusoidal. Sa consideram un sistem cu functia de transfer G(s) si o intrare sinusoidala u(t)=Asinwt.

Utilizând transformata lui r(t), transformata Y(s) a iesirii sistemului este:

Dezvoltarea în frectii simple este:

termeni generati de polii lui G(s).

Polii lui G(s), pentru situatia în care sistemul este stabil, au valori reale negative sau, daca sunt complecsi conjugati au partea reala negativa. Ca urmare ei nu au aport la raspunsul sistemului, y(t). Deci, raspunsul în spatiul sistemului este dat de transformata Laplace inversa a primilor doi termeni ai lui Y(s).

y(t)=A G(jw sin(wt+q

Din aceasta ecuatie se poate vedea ca iesirea sistemului are aceeasi frecventa ca si intrarea, si poate fi obtinuta prin multiplicarea marimii de intrare cu G(jw si modificarea fazei cu argumentul lui G(jw . Marimea G(jw si unghiul q pentru toate w , constituie raspunsul în frecventa al sistemului. Corelarea între raspunsul în frecventa si raspunsul tranzitoriu este indirecta, exceptând cazul sistemelor de ordin doi. În practica caracteristica raspunsului în frecventa este pusa la punct prin utilizarea unor criterii diferite de proiectare, care vor avea ca rezultat obtinerea unui raspuns tranzitoriu acceptabil.

Sa consideram raspunsul în frecventa al unui sistem de ordin întâi cu urmatoarea functie de transfer:

Pentru s = jw se poate scrie:

unde

M_pw este:

Raspunsul în frecventa este obtinut utilizând functia MATLAB g=freqs(num,den,w). Aceasta functie evalueaza g pentru domeniul specificat al frecventei w. num si den sunt vectori linie continând coeficientii numaratorului si numitorului functiei de transfer. Ultima versiune de MATLAB pune la dispozitia utilizatorului functia bode(num, den) care permite trasarea caracteristicilor Bode.

Functia frqspec(w,mag) este dezvoltata pentru returnarea lui w_r, M_pw si w_B bazata pe argumentele w, mag.

Exemplu. Se da sistemul descris de functia de transfer de ordinul 3:

1. Sa se determine polii dominanti ai sistemului.

2. Sa se gaseasca un model de ordin redus al sistemului. Sa se determine timpul de crestere, de suprareglare si suprareglarea în procente pentru raspunsul indicial. De asemenea, sa se determine pulsatia de rezonanta, modulul maxim si largimea de banda pentru sistem.

3. Sa se determine valoarea exacta a parametrilor si sa se compare cu valorile de la punctul 2.

Comenzile:

a=[ 1 36 205 750]

r=roots(a)

vor determina polii functiei de transfer, care sunt: s1= -3+j4, s2= -3-j4, s3=-30. Deci functia de transfer poate fi scrisa ca:

G(s)=750/[(s+30)(s²+6s+25)]=25/[(1+0.333s)(s²+6s+25)]

Deoarece polul s3 este destul de departat de polii dominanti s1 si s2, efectul lui poate fi neglijat. Deci un sistem echivalent pentru sistemul initial este cel descris de functia de transfer:

G(s)=25/( s²+6s+25)

num1 = 25;

den1 = [1 6 25]; % Sistemul de ordinul II

t=0:.02:2;

y1 = step(num1, den1, t);

timespec(num1, den1)

w=0:.02:8;

g=freqs(num1, den1, w);

mag1=abs(g);

frqspec(w, mag1)

num2 =750;

den2 =[1 36 205 750]; % Sistemul initial

y2= step(num2, den2, t);

timespec(num2, den2)

g=freqs(num2, den2, w);

mag2=abs(g); frqspec(w, mag2)

subplot(121), plot(t,y1,t,y2), xlabel('t - sec.'), grid

title(' Raspunsurile indiciale ale celor 2 sisteme')

subplot(122), plot(w,mag1,w,mag2), xlabel('w - rad/s'), grid

title(' Modulele functiilor de transfer')

subplot(111)

Raspunsurile indiciale si modulele functiilor de transfer ale celor doua sisteme sunt reprezentate în fig.3.5.

Comparând cele rezultate se poate concluziona ca aproximarea facuta duce la schimbari neesentiale în evolutia celor 2 sisteme.

Specificatiile pentru performantele celor doua sisteme sunt urmatoarele:

Peak time = 0.786667

Percent overshoot = 9.47783

Rise time = 0.373333

Settling time = 1.18667

Peak Mag. = 1.04 wr = 2.64 Bandwidth = 5.75

Peak time = 0.823333

Percent overshoot = 9.32926

Rise time = 0.376667

Settling time = 1.22333

Peak Mag. = 1.04 wr = 2.58 Bandwidth = 5.67

Fig.3.5. Raspunsurile indiciale si modulele functiilor de transfer.

Dupa cum se poate observa din figura urmatoare, aproximarile facute sunt suficient de bune.