MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE sI DINAMICE

Sistemul mecanic al unui robot este format dintr-o configuratie de corpuri rigide, elementele sistemului, legate între ele succesiv prin articulatii de rotatie sau translatie. Pozitiile relative ale acestor elemente determina pozitia pe ansamblu a bratului mecanic, aceasta pozitie reprezentând de fapt una din conditiile functionale ale robotului.

Cele mai cunoscute versiuni de articulatii mecanice întâlnite în sistemele robotice sunt reprezentate prin lanturi cinematice deschise în care pozitia viteza si acceleratia unui element pot fi obtinute recursiv din parametrii elementului precedent. În general, fiecare element contine un singur grad de libertate în raport cu elementul precedent astfel încât relatiile de transformare între elemente contin un singur parametru variabil. Legarea în cascada a tuturor transformarilor asociate fiecarui element permite determinarea parametrilor miscarii întregii configuratii mecanice si, în general, a elementului terminal.

2.1. Sisteme de coordonate

Operatiile de manipulare specifice unui robot cer, în primul rând, o pozitionare corespunzatoare a sistemului mecanic, deci atingerea unui punct din spatiul de lucru, si în al doilea rând impun o anumita orientare a elementului terminal. De exemplu, o operatie de montaj prin filetare cere atât atingerea gaurii cât si orientarea corecta a surubului pentru realizarea asamblarii. se impune deci adoptarea unui sistem de coordonate corespunzator descrierii acestor cerinte.

Un punct A, într-un sistem de coordonate S₁, poate fi reprezentat prin vectorul ce uneste originea sistemului de coordonate si punctul respectiv,

unde sunt versorii axelor X,Y,Z, respective. O alta modalitate de scriere este,

unde indicele superior 1 precizeaza sistemul de coordinate S₁.

În afara de aceasta, directia vectorului de pozitie se poate exprima prin cosinutii de directie,

; ;

Daca acum, originea sistemului de coordonate O₁ se exprima în raport cu un sistem S₂ prin coordonatele

Relatia (2.5) corespunde unei reprezentari între doua sisteme afectate de
operatii de translatie (axele sînt paralele, respectiv). Daca sistemele de
coordonate sînt supuse unor miscari de rotatie, pozitia unui punct în diferite
sisteme se poate obtine printr-o transformare corespunzatoare. Consideram,
de exemplu, sistemul S₂ obtinut prin rotatia cu unghiul în jurul axei a
sistemului Sj (figura 2.2).

Pozitia în noul sistem se obtine prin multiplicarea coordonatelor initiale cu o matrice de rotatie.

În foarte multe situatii este de preferat sa se utilizeze o transformare globala care sa comaseze atît efectul de translatie cît si pe cel de rotatie. O astfel de transformare se numeste omogena. Aceasta transformare poate fi definita ca rezultatul concatenarii a doua matrici, de orientare (4 3) si de pozitie, un vector (4x1).

De exemplu, translatia specificata în figura 2.1 b corespunde transfor­marii omogene definita prin

unde simbolul Trans este asociat functiei de translatie. 121c23b Calculul coordonatelor punctului A în sistemul S₂ definit prin componentele (2.2) în sistemul Sj se obtine imediat prin simpla aplicare a operatorului de translatie asupra jj vectorului coordonatelor în S₁

deci aceleasi rezultate ca cele date în relatia (2.5).

În mod similar, se pot defini operatori de rotatie, corespunzatori unei rotatii cu unghiul θ, în jurul fiecarei axe de coordonate,

Aplicarea succesiva a acestor operatori permite calculul coordonatelor pentru orice modificare a sistemului de coordonate. De exemplu, un punct de coordonate (7,3,2) în sistemul S! este supus succesiv urmatoarelor transformari: o rotatie în jurul axei Ζ cu 90° (sistemul S2 ), o rotatie în jurul axei Υ cu 90° (sistemul S3 ) si o translatie cu vectorul (4,-3,7) (sistemul S4).

Deci, în noul sistem, coordonatele punctului vor fi date de

sau

Trebuie subliniata necesitatea respectarii ordinei operatiilor efectuate. Evident,

(2.14)

Pentru generalizarea procedurilor de lucru, se va nota prin T. transformarea generala a sistemului de coordonate Sj în raport cu sistemul S,· . în acest context, functia de pozitionare a bratului unui robot se poate interpreta prin definirea corespunzatoare a operatorilor transformarilor.

În figura 2.3. este prezentat un robot ce executa o operatie tehnologica (sudura, gaurire, etc) asupra piesei P. Miscarile robotului sînt definite prin transformari corespunzatoare în raport cu un sistem de referinta absolut · Elementele bratului mecanic, prin articulatiile sale, permit determinarea unei transformari generale a sistemului de referinta a elementului terminal (mâna) în raport cu baza , transformare desemnata prin, care la rîndul ei este definita în raport cu sistemul de referinta absolut prin transformarea .Deci, pozitia absoluta a mâinii este redata prin produsul transformarilor. Se va nota: -transformarea implicata de operatia tehnologica exercitata de mîna asupra piesei Ρ în punctul 1 si , , transformarile ce desemneaza pozitia punctului 1 fata de referinta piesei si fata de sistemul de referinta absolut, respectiv.

În conditiile realizarii unei functii tehnologice corecte, coordonatele punctului prelucrat trebuie sa satisfaca transformarea de-a lungul lantului cinematic al robotului, deci

Întrucât scopul final al oricarei prelucrari matematice de acest fel consta în gasirea unui control adecvat al bratului mecanic, deci transformarea , din relatia (2.15) se obtine,

Desi formula stabilita da pur formal conditiile functionale ale robotului, ea sintetizeaza exact principalele cerinte ce se impun pentru acoperirea unei functii tehnologice date de catre o anumita configuratie mecanica. Aceste deziderate pot fi rezumate în urmatoarele:

si un vector de pozitie

Matricea este o matrice ortonormala iar elementele ei au o serie de proprietati care simplifica considerabil prelucrarile matematice.

În plus, matricea de orientare T_M admite o inversa de forma,

unde pn, po, pa desemneaza produsele scalare ai vectorilor respective.

2.2. Modele cinematice

Dupa cum s-a vazut în paragraful precedent, prima conditie necesara functionarii robotului este determinarea transformarii ce asigura atingerea unui punct dorit. Dar definit de (2.16) este numai o reprezentare matematica formala. Ea trebuie corelata cu structura mecanica a robotului astfel încât sa poata fi determinate toate transformarile individuale pe fiecare articulatie controlata a bratului mecanic

Dupa cum s-a mai aratat, sistemul mecanic al robotului este realizat prin legarea succesiva a unor articulatii simple de rotatie si translatie, pozitia fiecarui element putînd fi definita în raport cu elementul precedent printr-o singura variabila de rotatie (unghi) sau de translatie (deplasare).Daca se noteaza cu matricea transformarii ce descrie translatia si rotatia relativa între sistemul de coordonate al elementului i si al elementului i-1, atunci transformarea asociata mâinii robotului se poate scrie ca,

=... (2.20)

unde n reprezinta numarul de elemente al bratului.

Calculul matricei de transformare pentru o articulatie data este riguros prezentat într-un numar mare de lucrari de specialitate. în cadrul acestui capitol se va utiliza metoda Denavit-Hartenberg datorita avantajelor deosebite privind atât simplitatea tratarii cât si posibilitatile mari de generalizare pe care le ofera.

Conventiile impuse de aceasta metoda sunt [4,5,24,25]

se aliniaza axele X ale tuturor sistemelor de referinta ale articulatiilor în aceeasi directie cu cea a sistemului de baza.

axa Zi coincide cu axa de rotatie a articulatiei i;

se roteste cu un unghi în jurul axei

se translateaza cu marimea , în lungul axei

se translateaza cu marimea în lungul axei

se roteste cu un unghi în sensul orar, în jurul axei , axa spre

În figura 2.5. sînt reprezentati parametrii Denavit-Hartenberg pentru o articulatie de forma generala.În practica, configuratia geometrica a unei articulatii este reprezentata printr-o serie de parametri constanti, lungimea si unghiul parametrii variabili fiind unghiul la o articulatie de rotatie sau lungimea la o articulatie de translatie. 121c23b

Deci, matricea transformarii omogene între articulatia i si i-1 va fi,

Utilizând formulele stabilite (2.8), (2.10) - (2.12) si substituind în (2.21) rezulta,

sau

Pentru exemplificarea procedeurilor de calcul privind constructia modelului cinematic, se va analiza robotul din figura (2.6)[17,62] al carui lant cinematic contine numai articulatii de rotatie.

Robotul prezentat în figura 2.6 a are sase grade de libertate. Pentru determinarea parametrilor de transformare, în figura 2.6, b este reprezentat simbolic lantul cinematic orientat pentru respectarea conditiilor expuse mai sus (axele au aceeasi directie).

În figura 2.7. sunt reprezentate axele de coordonate pentru fiecare pereche de articulatii. De exemplu, pentru sistemele de referinta

alinierea axelor X si Χ determina urmatorii parametri: unghiul de rotatie în jurul axei Z este parametrul , distanta masurata pe axa Z între cele doua origini este parametrul d , parametrul este unghiul masurat în sens orar între Zsi Zo , deci = 90° , iar abaterea masurata pe axele X între cele doua origini da a=0.

Matricea transformarii între cele doua sisteme, pentru aceasta prima articulatie, se obtine înlocuind parametrii determinati în relatia (2.23). Rezulta,

Parametrii celorlalte articulatii se pot obtine în aceeasi maniera din figura 2.7, iar matrlcele corespunzatoare vor fi

O tratare similara poate fi obtinuta pentru lanturi cinematice care contin si articulatii de translatie. 121c23b În figura 2.8 este prezentat un astfel de robot cu trei grade de libertate.Din analiza parametrilor asociati celor trei articulatii de translatie, rezulta:

Transformarea generala asociata întregului lant cinematic va fl:

Variabilele miscarii sunt cele trei deplasari liniare a₁, d₂, d₃, de si ele apar, în mod firesc, în cadrul coloanei vectorului de pozitie.

Modelele prezentate s-au referit la roboti cu articulatii numai de rotatie sau numai de translatie. 121c23b Procedura se poate aplica în aceeasi maniera pentru lanturi cinematice cu diverse tipuri de articulatii. Structurile mecanice uzuale întîlnite la cele mai cunoscute familii de roboti industriali se grupeaza, dupa coordonatele ce descriu pozitiile bratului, în: roboti de coordonate carteziene, cilindrice, sferice, de rezolutie etc. Indiferent de tipul utilizat, calculul cinematic se realizeaza dupa metoda expusa, determinînd parametrii D.H. ai fiecarei articulatii si formînd cu acestia matricele de transformare.

2.3. Problema controlului pozitiei

Paragraful anterior a stabilit procedurile de determinare a transformari­lor omogene Af pentru diferite tipuri de brate mecanice. Pe baza lor se obtine, prin multiplicare succesiva, transformarea generala ce exprima pozitia elementului final (terminalul sau mîna robotului) în raport cu sistemul de referinta al bazei.

Nu trebuie sa uitam însa ca scopul final al oricarei aplicatii robotice este de a realiza o anumita functie tehnologica si, în cadrul ei, o prima cerinta este pozitionarea corecta a bratului mecanic într-un punct sau de-a lungul unei traiectorii impuse.

Aceasta înseamna implicit ca transformarea generala trebuie sa
verifice coordonatele punctului de lucru. Se poate formula, deci urmatoarea
problema de control: "care sunt parametrii variabili asociati fiecarei articulatii
pentru ca coordonatele elementului "terminal sa verifice un punct dat în
spatiul de operare, asigurînd totodata si o anumita orientare a mâinii
robotului.

În acest fel, relatiile ce definesc transformarile cinematice devin ecuatii de control cinematic.

Rezolvarea ecuatiilor cinematice reprezinta în general o problema dificila. Acest lucru este determinat nu atît de numarul ecuatiilor cît de neliniaritatea lor.

Pentru ilustrarea dificultatilor ce apar în ecuatiile de acest tip vom aborda problema controlului cinematic al modelelor deduse în paragraful precedent.

În cazul robotului în coordonate carteziene din figura (2.8) ecuatia generala a bratului este data de produsul celor trei matrici în formula (2.25). Deci, pozitia - orientarea bratului va fi din (2.19).

Este evident ca un astfel de robot va controla numai pozitia elementului terminal nu si orientarea, calculul vectorial de pozitie fiind obtinut direct

unde,

Simplitatea solutiei este datorata absentei neliniaritatii la aceste transformari specifice articulatiilor de translatie, dar apare clar faptul ca un astfel de robot nu asigura functia de orientare a bratului. t

Se va considera acum robotul cu articulatii de rotatie prezentat în figura 2.6. Modelul cinematic al bratului se obtine prin multiplicarea matricilor A_i din (2.23),

Efectuând înmultirea matricilor si identificînd componentele generale ale matricei de orientare - pozitia (2.19) se obtine [62]

Ecuatiile stabilite pun în evidenta foarte bine complexitatea problemei controlului cinematic. Pentru o pozitie si orientare a elementului terminal al robotului impuse, deci p_x, p_y, p_z, n_x, n_y, n_z, o_x, o_y, o_z, a_x, a_y, i luînd valori prescrise, se cere calcularea valorilor unghiurilor care satisfac ecuatiile (2.30).

Este evident ca determinarea variabilelor de control pentru asigurarea atît a pozitiei dorite, cît si a orientarii mîinii nu este posibila, în principiu, se impune numai o pozitionare riguroasa si o orientare partial satisfacuta (care se presupune ca, totusi, acopera cerintele tehnologice impuse). Chiar în acest caz, o solutionare analitica este evident extrem de dificila. Tratarea numerica pe un calculator adecvat implica si ea dificultati serioase si în orice caz efortul de calcul este extrem de mare, problema de control neputînd fi abordata ca o problema în timp real. O tratare off-line pe un calculator numeric este practic singura modalitate de utilizare a controlului cinetic. Pentru diferite puncte, de-a lungul traiectoriei impuse, se calculeaza aprioric valorile variabilelor de control ale articulatiilor, ele urmînd sa reprezinte marimile de referinta în sistemul propiu-zis de conducere al miscarii.

În literatura de specialitate se pot mentiona eforturile diversilor autori pentru solutionarea acestei probleme. Mentionam metoda propusa de Paul Shimano si Meyer [5,25] care izoleaza seccesiv fiecare variabila de elementul terminal prin premultiplicarea cu inversele matricilor A_i. Lee si Siegler [24] separa problema controlului general în problema pozitionarii bratului de cea a orientarii mâinii. Într-o asemenea abordare, transformarea totala poate fi rescrisa ca, , unde s-a considerat baza robotului ca sistem de referinta absolut, sistemul O, iar si desemneaza transformarile ce definesc pozitionarea bratului robotului fata de baza si respectiv mâna robotului în raport cu bratul [24]. De exemplu, pentru robotul discutat mai sus, aceasta partajare a transformarilor impune urmatoarea rescriere a relatiei (2.19)

unde prima submultime desemneaza pozitionarea bratului,

iar a doua orientare,

Pe de alta parte, atît transformarea globala , cât si cele partiale, si , pot fi rescrise în termenii matricei pozitie - orientare (2.10).

Înlocuind expresiile (2.35) - (2.37) in (2.31) rezulta,

Deci, din (2.35) se obtine,

În aceasta ultima relatie, vectorul , defineste pozitia mâinii fata de punctul terminal al bratului. Prin multiplicarea cu exprima acelasi vector fata de sistemul absolut (figura 2.9, a).

Acest vector va fi deci reprezentat prin

deci, din (2.40) se obtine

sau, astfel spus, translatia totala este obtinuta prin însumarea translatiilor bratului si mîinii. În aceasta relatie vectorul coincide cu versorul a al matricei de orientare (2.35) (figura 2.4), deci componentele acestui vector pot fi determinate relativ usor. Într-o prima faza se determina unghiurile si

,

iar ulterior, componentele vectorului

Ţinînd cont de faptul ca vectorul este dat prin matricea generala a robotului (2.35), din (2.42) si (2.43) se pot calcula componentele vectorului de pozitie al bratului

Pe de alta parte, din formula (2.34) se obtine,

unde P[A] desemneaza vectorul de pozitie din transformarea A.

Aceasta ultima relatie constituie ecuatia de baza ce permite calculul unghiurilor φ_1, φ_2, φ₃ ce definesc articulatiile bratului.

Pentru calculul unghiurilor mâinii φ_4, φ_5, φ₆ se utilizeaza componenta de rotatie care poate fi exprimata din relatia (2.39) sub forma,

Cele doua matrici si R sînt usor obtinute ca matrici de rotatie din transformarile respective. În plus, inversa lui se calculeaza conform regulilor matricelor de orientare. Introducînd aceste rezultate în matricea de orientare a transformarii (2.34), rezulta,

(2.47)

unde R[A] desemneaza matricea de orientare a transformarii A.

Relatia (2.47) reprezinta ecuatia ce permite calculul unghiurilor ce definesc pozitia mâinii. Procedura expusa permite deci calculul decuplat al parametrilor geometrici ai robotului, analizând separat ecuatiile de pozitie de cele de orientare. Cu toate ca aceasta metoda simplifica si faciliteaza, în mare masura, efortul de calcul, abordarea analitica a solutiilor de control cinematic ramâne în continuare o problema complexa.

În ciuda dificultatilor prezentate, controlul cinematic este cea mai utilizata metoda de control a miscarii unui robot, solutionare problemei fiind data, în mod paradoxal, chiar de robot, de implementarea sa fizica. Conceptul de baza în aceasta abordare îl constituie faptul ca rezolvarea ecuatiilor (2.30) implica evident modelarea lor (numerica sau analogica), ori cea mai buna modelare, cea mai exacta, o reprezinta robotul însusi. În acest sens, robotul este "fortat" sa execute o anumita traiectorie în spatiul sau de lucru. În punctele prestabilite, dorite, sunt masurate valorile variabilelor de control, aceste valori reprezentând solutiile exacte ale ecuatiilor cinetice asociate punctelor respective. Valorile astfel obtinute vor constitui marimi de control impuse în faza de operare propriu - zisa a robotului. Procedura este curent cunoscuta sub denumirea de " instruirea robotului" si va fi discutata pe larg într-unul din capitolele ulterioare.

2.4. Controlul cinematic diferential

Analiza precedenta s-a axat pe problema determinarii variabilelor de control pe fiecare articulatie astfel încât comportarea cinematica a întregului brat, ca pozitie si orientare, sa fie cea dorita, insistându-se în special asupra cerintelor de calcul si complicatiilor care deriva din acestea într-o conducere în timp real.

O alta modalitate de tratare a controlului cinematic poate fi obtinuta daca nu se iau în consideratie valorile totale ale parametrilor miscarii ci variatiile acestora în raport cu anumite marimi de referinta. O astfel de abordare este desemnata ca analiza cinematica diferentiala.

Modelul diferential al unui robot este deci un model care permite calculul diferential dx a coordonatelor operationale (variabilele ce definesc pozitia în spatiul de lucru) în functie de diferentiala dq a coordonatelor generalizate (variabilele asociate fiecarei articulatii mecanice). Într-o transpunere analitica, aceasta dependenta se poate scrie printr-o matrice iacobian, în forma:

(2.48)

Daca, pentru un anumit model cinematic, coordonatele operationale si generalizate variaza în cantitati mici, atunci diferentialele pot fi înlocuite cu variatiile corespunzatoare si modelul (2.48) se scrie sub forma,

(2.49)

În cazul în care acestor variatii li se asociaza si variatii în timp, diferentialele pot fi înlocuite cu derivate,

(2.50)

Indiferent de modul de scriere, într-o analiza diferentiala, o etapa importanta o constituie calculul matricei iacobiene J(q). Considerând modelele cinematice stabilite în paragrafele anterioare, redate analitic în forma,

(2.51)

atunci matricea iacobian este matricea derivatelor partiale ale functiei în raport cu coordonatele generalizate.

(2.52)

sau, pe componente

(2.53)

Daca coordonatele operationale utilizate sunt date de vectorul,

(2.54)

atunci relatia (2.50) poate fi scrisa ca,

(2.55)

unde pentru o articulatie de rotatie, pentru o articulatie de translatie iar .

Pentru exemplificare, sa consideram robotul cu articulatii de translatie prezentat în figura 2.8. Coordonatele elementului terminal în raport cu sistemul de referinta (X₀, Y₀, Z₀) sunt date de,

(2.56)

unde exprima în acelasi timp si coordonatele generalizate . În consecinta, utilizând o formula de tipul (2.53) se obtine iacobianul sistemului,

(2.57)

Pentru sisteme mecanice mari, procedurile de calcul ale matricei, desi mai complexe, se bazeaza pe o tehnica similara sau prin derivate ale celei prezentate în (5.25).

În forma definita mai sus, iacobianul permite calcului variatiilor coordonatelor operationale în functie de variatiile coordonatelor generalizate (din articulatii).

De fapt, o problema de conducere impune o procedura inversa: "dându-se variatii impuse ale coordonatelor operationale se cer variatiile coordonatelor generalizate corespunzatoare". O astfel de formulare conduce la o relatie de forma,

(2.58)

Calculul inversei iacobianului este în general o problema complexa, dificultatea fiind determinata de faptul ca matricea iacobian este foarte rar o matrice patrata. În general se va impune deci calculul unei pseudoinverse J^-1 dupa proceduri specifice (38,25,62). De exemplu, pentru iacobianul obtinut mai sus,

(2.59)

prin transpunere rezulta

(2.60)

unde admite o pseudoinversa (J^T)^-1 de forma

(2.61)

admite o pseudoinversa de forma

(2.62)

Se verifica usor ca

(2.63)

Multiplicând cu ambii membri ai relatiei (2.60), rezulta

(2.64)

Desigur ca aceasta metoda poate fi aplicata numai pentru forme particulare ale matricei J. Pentru o forma generala a acesteia se poate utiliza procedura specificata în (12,17). În acest sens, se înmultesc ambii membrii ai relatiei (2.59) cu J^T,

(2.65)

Se determina inversa matricei J^TJ si prin multiplicarea rezultatului cu (2.65) se obtine

(2.66)

În acest caz poate fi definita ca o pseudoinversa a matricei J.

Exemplul pe care l-am analizat se bazeaza pe o matrice iacobian cu coeficienti constanti. În cele mai multe cazuri, coeficientii matricei depind de coordonatele generalizate q_i, ceea ce impune o recalculare a elementelor ei la orice modificare a acestor parametrii.

Calculul variatilor Dq_i, asociate fiecarei articulatii a structurii mecanice, pe baza variatiilor Dx_i impuse în sistemul operational, sugereaza introducerea unei structuri de conducere specifice. În figura 2.10 este prezentat un astfel de sistem.

Traiectoria, în spatiul de operare al robotului, este data prin multimea de puncte x_di. Aceste valori sunt comparate cu cele realizate efectiv de sistemul mecanic x_i. Parametrii operationali reali x_i sunt obtinuti la rândul lor din coordonatele generalizate q­_i pe baza modelului cinematic direct (2.51). Abaterile obtinute,

(2.67)
sunt aplicate unui bloc de calcul ce implementeaza pe J^-1(q) la iesirea caruia se genereaza noile variatii Dq_i ce asigura corectarea traiectoriei. Evident, dependenta iacobianului de parametrii q_i determina recalcularea sa la fiecare pas de operare.

Avantajul principal al unui astfel de sistem de conducere este dat de simplitatea legii de conducere utilizate, modelul cinematic diferential asociat fiind un model liniar. Spre deosebire de modelele cinematice propriu-zise prezentate anterior si de cele dinamice, care vor fi studiate ulterior, modele caracterizate prin neliniaritati deosebit de complexe, modelele diferentiale ofera avantajul liniarizarii.

Din nefericire, acest avantaj este, în mare masura, anulat de efortul de calcul cerut, în special pentru calculul inversei matricei iacobiene, calcul ce nu poate fi realizat off-line datorita dependentei coeficientilor matricei de parametrii q_i. Cu toate ca în literatura s-au dezvoltat o serie de metode [4,6] care permit calculul rapid al lui J^-1(q), ele cer, în general, sisteme hardware de mare viteza, cu un pret de cost întotdeauna prohibitiv, pentru o operare eficienta în timp real.

2.5. Modele dinamice

Modelele geometrice si cinematice discutate în prima parte a capitolului pornesc de la premiza ca pentru orice configuratie obtinuta de robot este atinsa o stare de echilibru. Este evident ca aceste modele devin putin reprezentative la viteze si acceleratii mari când fortele de inertie, centrifugale si de cuplaj capata marimi semnificative. La aceste regimuri de lucru se impune luarea în considerare a unui nou model, modelul dinamic asociat sistemului mecanic.

Modelul dinamic al unei structuri mecanice este reprezentat analitic printr-un sistem de ecuatii diferentiale ce definesc legaturile ce apar între coordonatele generalizate q_i sau derivatele lor si fortele, atât disipative, cât si ne J^-1(q) nedisipative, ce actioneaza asupra fiecarui element al configuratiei mecanice. Metodele si procedurile pentru determinarea ecuatiilor diferentiale asociate dinamicii unui brat mecanic sunt numeroase. Metodele Lagrange - Euler, Newton - Euler, principiul generalizat al lui d'Alembert sunt câteva din procedurile clasice de calcul ale modelului dinamic. Îmbunatatiri si tehnici de calcul mai rapide au fost obtinute de diversi autori din care se pot cita Mahil [7] Megahed si Renaud [7], Watters [3] si Hollerbach [12] etc.

În ciuda acestei lucrari, modelul dinamic al unui robot va fi determinat utilizând metoda lui Lagrange care are avantajul unei abordari simple, sistematice si permite elaborarea unor algoritmi eficienti în calculul numeric.

Utilizând notatiile curente [116], functia Lagrangian L este definita ca diferenta între energia cinetica E_cin si energia potentiala E_pot a sistemului.

(2.68)

Ecuatiile sistemului dinamic, în functie de Lagrangian vor fi

, i=1,2,.,n

unde n sunt gradele de libertate ale sistemului, q_i sunt coordonatele generalizate în care energiile cinetica si potentiala sunt exprimate, q sunt vitezele generalizate, iar F_i sunt fortele generalizate corespunzatoare, definite în sensul urmator: daca articulatia este de translatie, deci variabila q­_i asociata este o deplasare, atunci F_i este forta din articulatie ce determina dinamica dorita, iar daca articulatia este de rotatie si q_i reprezinta, deci, o marime unghiulara, atunci F_i este momentul aplicat articulatiei.

Pe baza formulelor (2.68), (2.69), procedura de calcul se poate sistematiza în urmatoarele faze:

Pentru exemplificare, etapele de mai sus vor fi dezvoltate pe câteva structuri mecanice.

Se va considera bratul în coordonate cilindrice din figura 2.11. Coordonatele generalizate ale miscarii vor fi rotatia j si cele doua translatii d₂ si d₃.

Energia potentiala a întregului sistem, se poate raporta la referinta bazei sub forma,

(2.70)

unde m^' este masa totala echivalenta în articulatia 3. Energia cinetica a masei este determinata de: o componenta produsa de translatia masei (d₃) si o componenta datorita rotatiei (j ) deci,

(2.71)

Analog, energia cinetica a masei m₃ va fi determinata de rotatia bratului m₃ prin momentul de inertie,

(2.72)

si de translatia acestuia prin viteza de translatie, deci,

(2.73)

De asemenea, celelalte articulatii determina o energie

(2.74)

Din (2.71) - (2.74) se obtine energia cinetica a sistemului mecanic

(2.75)

Functia Lagrangian va fi,

(2.76)

Pentru obtinerea modelului dinamic este necesara determinarea derivatelor partiale ale lui L în raport cu parametrii miscarii j , d₂, d₃ si derivatele acestora j, , ,

(2.77)

Substituind rezultatele de mai sus în formula (2.69) se obtine,

(2.78)

Separând partile liniare în relatiile (2.78) si (2.79) rezulta,

(2.79)

(2.80)

Separând partile liniare în relatiile (2.78) si (2.79) rezulta,

(2.81)

(2.82)

Ecuatiile (2.78) - (2.80) definesc modelul dinamic al robotului. Se remarca în primul rând neliniaritatea acestora, neliniaritate pusa în evidenta în rescrierea lor în forma (2.81), (2.82). În aceste ultime relatii, termenii neliniari B₁ si B₂ definesc momente Cariolis sau componente de forte de frecare.

O reprezentare sugestiva a ecuatiilor de mai sus se poate obtine printr-o simulare analogica a acestora (figura 2.12).

Modelul analogic obtinut defineste numai coordonatele j , d₂, d₃ prin integrarea succesiva a integratelor lor de ordin doi, obtinute, la rândul lor prin operatori liniari si neliniari corespunzatori. Trebuie remarcata decuplarea componentei d₂ (independenta acesteia de celelalte variabile) precum si puternica interconditionare a parametrilor j si d₃.

Se va analiza în continuare modelul dinamic al unei configuratii mecanice cu elemente articulate prin cuple de rotatie, configuratie des întâlnita într-o gama larga de familii de roboti industriali. Sistemul este reprezentat în figura 2.12 si este desemnat frecvent sub denumirea de brat mecanic de revolutie.

Conform procedurii expuse mai sus se vor calcula energiile potentiale si cinetice asociate fiecarui element. Pentru calculul energiilor potentiale s-a considerat dispunerea centrelor de greutate ca în figura, elementul 2 având practic toata masa (inclusiv sarcina) echivalata în capat, m₂.

(2.83)

(2.84)

unde viteza v₂ a masei m₂ este data prin coordonatele punctului

(2.85)

iar,

deci,

sau, dupa câteva transformari

(2.86)

Din aceste rezultate se poate construi functia Lagrangian L a sistemului

(2.87)

care poate fi rescrisa într-o forma compacta,

(2.88)

unde, J^'_1, J^'₂, J^*, M^'₁, M^'₂ desemneaza momente de inertie sau mase echivalente.

Din formula (2.88) se obtin succesiv,

(2.89)

Înlocuind aceste rezultate în ecuatia Lagrange se obtin fortele generalizate M₁, M₂,

(2.90)

(2.91)

Ecuatiile (2.90) si (2.91) stabilesc mecanica configuratiei mecanice sau mai bine-zis legile ce determina evolutiile în timp ale celor doua variabile j si j pentru anumite valori ale momentelor M₁, M₂ aplicate articulatiilor. În cele doua ecuatii, variabilele sunt raportate la un sistem de referinta absolut. Daca acest lucru este acceptabil pentru coordonate, j , a carei masura este întotdeauna raportata la axa X, pentru variabila j acest lucru nu este valabil, întrucât în practica se masoara întotdeauna unghiul elementului2 în raport cu elementul 1. Deci, variabila asociata acestei articulatii este j

(2.92)

În raport cu aceasta noua variabila, Lagrangianul (2.88) devine

(2.93)

Înlocuind în ecuatia (2.69) se obtin relatiile

(2.94)

(2.95)

Modelul dinamic stabilit mai sus poate fi rescris într-o forma compacta [62]

(2.96)

(2.97)

O reprezentare analogica sugestiva a dinamicii obtinute este redata în figura 2.14.

Modelul analogic abtinut pune în evidenta foarte bine atât interdependenta celor doua coordonate j si j cât si caracterul neliniar extrem de pronuntat al ecuatiilor sistemului dinamic. Apare clar faptul ca un astfel de model nu poate fi utilizat eficient într-o aplicatie practica de conducere. Aprecieri cantitative asupra diversilor coeficienti ce intervin în ecuatiile (2.96), (2.97) permit simplificarea lor. Folosind câteva din specificatiile formulate în [41], ecuatiile de mai sus devin,

(2.98)

(2.99)

Daca termenii neliniari A^', B^' corespunzatori unor cupluri de frecare pot fi aproximati prin marimi liniare de forma

(2.100)

atunci ecuatiile (2.98), (2.99) reprezinta un model dinamic liniar ce poate fi utilizat cu rezultate bune într-o structura de conducere conventionala.

Structura mecanica discutata se bazeaza pe luarea în considerare a unor forte generalizate, momente aplicate în articulatiile sistemului. De cele mai multe ori, acest momente sunt obtinute indirect prin sisteme speciale de actionare, hidraulice sau electrice. Un astfel de sistem este prezentat în figura 2.15 [62].

Cele doua elemente ale bratului sunt actionate separat cu sisteme liniare (definite prin variabilele de translatie s_A1 si s_A2), în punctele A si C, prin fortele corespunzatoare F_A, F_C. Parametrii sistemului mecanic sunt specificati în figura, variabilele de deplasare liniara sau rotatie fiind desemnate prin s_A, s_B1, s_B2, s_C, s₂, s₁, j j în punctele sau articulatiile respective.

Pentru determinarea modelului dinamic în aceasta noua distributie de forte si variabile se va utiliza principiul lui d'Alambert. Aplicarea acestui principiu la elementul superior, pentru miscarea de translatie, da pe fiecare din axele de coordonate,

(2.101)

iar pentru miscarea de rotatie,

(2.102)

Ecuatiile (2.101) si (2.102) determina coordonatele miscarii, (s₂, j ) ale centrului de masa al elementului superior. Coordonatele celorlalte puncte ale bratului pot fi determinate în functie de (s₂, j

De exemplu, coordonatele punctului B₂ (variabila s_B2) se pot obtine conform figurii 2.16.

(2.103)

Calculând variatiile corespunzatoare se obtin

(2.104)

În mod similar se determina variabilele de deplasare s_C si s_D.

(2.105)

Pentru determinarea ecuatiilor asociate elementului 1, în figura 2.17 sunt prezentati parametrii si marimile principale ce guverneaza dinamica sa.

(2.106)

unde r_A, r_B sunt bratele fortelor respective în raport cu articulatia O.

Deplasarile punctelor A si B₁, unde se racordeaza sistemul de actionare 1 si respectiv elementul 2 al bratului, se obtin din variabila j , prin relatiile,

(2.107)

Cuplajul între cele doua elemente este dat de forta F_B care poate fi evaluata prin

(2.108)

unde C este o constanta de proportionalitate.

Simularea analogica a modelului dinamic definit prin ecuatiile (2.101) - (2.108) este prezentata în figura 2.18. Marimile de intrare în model sunt cele doua forte generate de sistemul de actionare F_A si F_C, iar la iesirea modelului se obtin variabilele unghiulare j j si de deplasare s_A1, s_A2, s_Dx, s_Dy.

Ultimele doua variabile s_Dx, s_Dy se pot cupla la o alta articulatie în cazul modelarii unui sistem mecanic mai complex. Marimile s_A1, s_A2, j j se utilizeaza frecvent în buclele de reglaj ale configuratiei mecanice. Coeficientii utilizati în definirea modelului sunt în general dependenti de pozitia sistemului mecanic si se obtin direct din ecuatiile stabilite mai sus fie prin proiectiile anumitor parametrii pe axele de coordonate.

Tratarea de mai sus a modelului dinamic prin principiul lui d'Alambert pune în evidenta foarte bine avantajele utilizarii formalismului lui Lagrange, avantaj concretizat în: simplitatea abordarii problemei, algoritmizarea simpla si eficienta a etapelor de calcul, precum si posibilitatea generalizarii procedurilor utilizate pentru sisteme mult mai complexe.

Indiferent de modul de tratare, exemplele de mai sus permit stabilirea unui model matematic general ce caracterizeaza dinamica unui brat mecanic [12,15,16,36].

FBx

FBy

FC

FB

FA

k4

k2

k3

k1

l21x

l21y

m1g

FCx

m2g

l22x

l22y

l23x

l23y

l21x

l21y

l23x

l23y

rB

l11x

rA

k6

FB

c

k5

OA

OB

f2

f1

sA2

sB1x

sA1

sB1y

sB2x

sB2y

sDx

sDy

sCx

sBx

sBy

sB1

Figura 2.18

(2.109)

unde q este vectorul coordonatelor generalizate (nxl) pentru cele n articulatii ale sistemului mecanic, J(q) este matricea (nxn) de inertie, V este o matrice de frecare vâscoasa (nxn), F( , ,q); i,j=1,.,n este vectorul fortelor Coriclis si centrifugale (nx1), G(q) este vectorul (nx1) asociat termenilor dependenti de gravitatie iar M este un vector (nx1) al fortelor de intrare generalizate.

Modelul generalizat (2.109) pune bine în relief complexitatea problemelor ce stau în fata proiectantului sistemului de conducere, probleme ce în mare pot fi formulate în: neliniaritati complexe ce apar în sistemul de ecuatii diferentiale ce descriu dinamica robotului, modificarea continua a parametrilor si coeficientilor acestor ecuatii cu pozitia mecanismului si puternica corelare, interconditionarea generala a parametrilor si coordonatelor sistemului mecanic.