MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE sI DINAMICE

Sistemul mecanic al unui robot este format dintr-o configuratie de corpuri rigide, elementele sistemului, legate īntre ele succesiv prin articulatii de rotatie sau translatie. Pozitiile relative ale acestor elemente determina pozitia pe ansamblu a bratului mecanic, aceasta pozitie reprezentānd de fapt una din conditiile functionale ale robotului.

Cele mai cunoscute versiuni de articulatii mecanice īntālnite īn sistemele robotice sunt reprezentate prin lanturi cinematice deschise īn care pozitia viteza si acceleratia unui element pot fi obtinute recursiv din parametrii elementului precedent. Īn general, fiecare element contine un singur grad de libertate īn raport cu elementul precedent astfel īncāt relatiile de transformare īntre elemente contin un singur parametru variabil. Legarea īn cascada a tuturor transformarilor asociate fiecarui element permite determinarea parametrilor miscarii īntregii configuratii mecanice si, īn general, a elementului terminal.

2.1. Sisteme de coordonate

Operatiile de manipulare specifice unui robot cer, īn primul rānd, o pozitionare corespunzatoare a sistemului mecanic, deci atingerea unui punct din spatiul de lucru, si īn al doilea rānd impun o anumita orientare a elementului terminal. De exemplu, o operatie de montaj prin filetare cere atāt atingerea gaurii cāt si orientarea corecta a surubului pentru realizarea asamblarii. se impune deci adoptarea unui sistem de coordonate corespunzator descrierii acestor cerinte.

Un punct A, īntr-un sistem de coordonate S₁, poate fi reprezentat prin vectorul ce uneste originea sistemului de coordonate si punctul respectiv,

unde sunt versorii axelor X,Y,Z, respective. O alta modalitate de scriere este,

unde indicele superior 1 precizeaza sistemul de coordinate S₁.

Īn afara de aceasta, directia vectorului de pozitie se poate exprima prin cosinutii de directie,

; ;

Daca acum, originea sistemului de coordonate O₁ se exprima īn raport cu un sistem S₂ prin coordonatele

Relatia (2.5) corespunde unei reprezentari īntre doua sisteme afectate de
operatii de translatie (axele sīnt paralele, respectiv). Daca sistemele de
coordonate sīnt supuse unor miscari de rotatie, pozitia unui punct īn diferite
sisteme se poate obtine printr-o transformare corespunzatoare. Consideram,
de exemplu, sistemul S₂ obtinut prin rotatia cu unghiul īn jurul axei a
sistemului Sj (figura 2.2).

Pozitia īn noul sistem se obtine prin multiplicarea coordonatelor initiale cu o matrice de rotatie.

Īn foarte multe situatii este de preferat sa se utilizeze o transformare globala care sa comaseze atīt efectul de translatie cīt si pe cel de rotatie. O astfel de transformare se numeste omogena. Aceasta transformare poate fi definita ca rezultatul concatenarii a doua matrici, de orientare (4 3) si de pozitie, un vector (4x1).

De exemplu, translatia specificata īn figura 2.1 b corespunde transfor­marii omogene definita prin

unde simbolul Trans este asociat functiei de translatie. 121c23b Calculul coordonatelor punctului A īn sistemul S₂ definit prin componentele (2.2) īn sistemul Sj se obtine imediat prin simpla aplicare a operatorului de translatie asupra jj vectorului coordonatelor īn S₁

deci aceleasi rezultate ca cele date īn relatia (2.5).

Īn mod similar, se pot defini operatori de rotatie, corespunzatori unei rotatii cu unghiul θ, īn jurul fiecarei axe de coordonate,

Aplicarea succesiva a acestor operatori permite calculul coordonatelor pentru orice modificare a sistemului de coordonate. De exemplu, un punct de coordonate (7,3,2) īn sistemul S! este supus succesiv urmatoarelor transformari: o rotatie īn jurul axei Ζ cu 90° (sistemul S2 ), o rotatie īn jurul axei Υ cu 90° (sistemul S3 ) si o translatie cu vectorul (4,-3,7) (sistemul S4).

Deci, īn noul sistem, coordonatele punctului vor fi date de

sau

Trebuie subliniata necesitatea respectarii ordinei operatiilor efectuate. Evident,

(2.14)

Pentru generalizarea procedurilor de lucru, se va nota prin T. transformarea generala a sistemului de coordonate Sj īn raport cu sistemul S,· . īn acest context, functia de pozitionare a bratului unui robot se poate interpreta prin definirea corespunzatoare a operatorilor transformarilor.

Īn figura 2.3. este prezentat un robot ce executa o operatie tehnologica (sudura, gaurire, etc) asupra piesei P. Miscarile robotului sīnt definite prin transformari corespunzatoare īn raport cu un sistem de referinta absolut · Elementele bratului mecanic, prin articulatiile sale, permit determinarea unei transformari generale a sistemului de referinta a elementului terminal (māna) īn raport cu baza , transformare desemnata prin, care la rīndul ei este definita īn raport cu sistemul de referinta absolut prin transformarea .Deci, pozitia absoluta a māinii este redata prin produsul transformarilor. Se va nota: -transformarea implicata de operatia tehnologica exercitata de mīna asupra piesei Ρ īn punctul 1 si , , transformarile ce desemneaza pozitia punctului 1 fata de referinta piesei si fata de sistemul de referinta absolut, respectiv.

Īn conditiile realizarii unei functii tehnologice corecte, coordonatele punctului prelucrat trebuie sa satisfaca transformarea de-a lungul lantului cinematic al robotului, deci

Īntrucāt scopul final al oricarei prelucrari matematice de acest fel consta īn gasirea unui control adecvat al bratului mecanic, deci transformarea , din relatia (2.15) se obtine,

Desi formula stabilita da pur formal conditiile functionale ale robotului, ea sintetizeaza exact principalele cerinte ce se impun pentru acoperirea unei functii tehnologice date de catre o anumita configuratie mecanica. Aceste deziderate pot fi rezumate īn urmatoarele:

si un vector de pozitie

Matricea este o matrice ortonormala iar elementele ei au o serie de proprietati care simplifica considerabil prelucrarile matematice.

Īn plus, matricea de orientare T_M admite o inversa de forma,

unde pn, po, pa desemneaza produsele scalare ai vectorilor respective.

2.2. Modele cinematice

Dupa cum s-a vazut īn paragraful precedent, prima conditie necesara functionarii robotului este determinarea transformarii ce asigura atingerea unui punct dorit. Dar definit de (2.16) este numai o reprezentare matematica formala. Ea trebuie corelata cu structura mecanica a robotului astfel īncāt sa poata fi determinate toate transformarile individuale pe fiecare articulatie controlata a bratului mecanic

Dupa cum s-a mai aratat, sistemul mecanic al robotului este realizat prin legarea succesiva a unor articulatii simple de rotatie si translatie, pozitia fiecarui element putīnd fi definita īn raport cu elementul precedent printr-o singura variabila de rotatie (unghi) sau de translatie (deplasare).Daca se noteaza cu matricea transformarii ce descrie translatia si rotatia relativa īntre sistemul de coordonate al elementului i si al elementului i-1, atunci transformarea asociata māinii robotului se poate scrie ca,

=... (2.20)

unde n reprezinta numarul de elemente al bratului.

Calculul matricei de transformare pentru o articulatie data este riguros prezentat īntr-un numar mare de lucrari de specialitate. īn cadrul acestui capitol se va utiliza metoda Denavit-Hartenberg datorita avantajelor deosebite privind atāt simplitatea tratarii cāt si posibilitatile mari de generalizare pe care le ofera.

Conventiile impuse de aceasta metoda sunt [4,5,24,25]

se aliniaza axele X ale tuturor sistemelor de referinta ale articulatiilor īn aceeasi directie cu cea a sistemului de baza.

axa Zi coincide cu axa de rotatie a articulatiei i;

se roteste cu un unghi īn jurul axei

se translateaza cu marimea , īn lungul axei

se translateaza cu marimea īn lungul axei

se roteste cu un unghi īn sensul orar, īn jurul axei , axa spre

Īn figura 2.5. sīnt reprezentati parametrii Denavit-Hartenberg pentru o articulatie de forma generala.Īn practica, configuratia geometrica a unei articulatii este reprezentata printr-o serie de parametri constanti, lungimea si unghiul parametrii variabili fiind unghiul la o articulatie de rotatie sau lungimea la o articulatie de translatie. 121c23b

Deci, matricea transformarii omogene īntre articulatia i si i-1 va fi,

Utilizānd formulele stabilite (2.8), (2.10) - (2.12) si substituind īn (2.21) rezulta,

sau

Pentru exemplificarea procedeurilor de calcul privind constructia modelului cinematic, se va analiza robotul din figura (2.6)[17,62] al carui lant cinematic contine numai articulatii de rotatie.

Robotul prezentat īn figura 2.6 a are sase grade de libertate. Pentru determinarea parametrilor de transformare, īn figura 2.6, b este reprezentat simbolic lantul cinematic orientat pentru respectarea conditiilor expuse mai sus (axele au aceeasi directie).

Īn figura 2.7. sunt reprezentate axele de coordonate pentru fiecare pereche de articulatii. De exemplu, pentru sistemele de referinta

alinierea axelor X si Χ determina urmatorii parametri: unghiul de rotatie īn jurul axei Z este parametrul , distanta masurata pe axa Z īntre cele doua origini este parametrul d , parametrul este unghiul masurat īn sens orar īntre Zsi Zo , deci = 90° , iar abaterea masurata pe axele X īntre cele doua origini da a=0.

Matricea transformarii īntre cele doua sisteme, pentru aceasta prima articulatie, se obtine īnlocuind parametrii determinati īn relatia (2.23). Rezulta,

Parametrii celorlalte articulatii se pot obtine īn aceeasi maniera din figura 2.7, iar matrlcele corespunzatoare vor fi

O tratare similara poate fi obtinuta pentru lanturi cinematice care contin si articulatii de translatie. 121c23b Īn figura 2.8 este prezentat un astfel de robot cu trei grade de libertate.Din analiza parametrilor asociati celor trei articulatii de translatie, rezulta:

Transformarea generala asociata īntregului lant cinematic va fl:

Variabilele miscarii sunt cele trei deplasari liniare a₁, d₂, d₃, de si ele apar, īn mod firesc, īn cadrul coloanei vectorului de pozitie.

Modelele prezentate s-au referit la roboti cu articulatii numai de rotatie sau numai de translatie. 121c23b Procedura se poate aplica īn aceeasi maniera pentru lanturi cinematice cu diverse tipuri de articulatii. Structurile mecanice uzuale īntīlnite la cele mai cunoscute familii de roboti industriali se grupeaza, dupa coordonatele ce descriu pozitiile bratului, īn: roboti de coordonate carteziene, cilindrice, sferice, de rezolutie etc. Indiferent de tipul utilizat, calculul cinematic se realizeaza dupa metoda expusa, determinīnd parametrii D.H. ai fiecarei articulatii si formīnd cu acestia matricele de transformare.

2.3. Problema controlului pozitiei

Paragraful anterior a stabilit procedurile de determinare a transformari­lor omogene Af pentru diferite tipuri de brate mecanice. Pe baza lor se obtine, prin multiplicare succesiva, transformarea generala ce exprima pozitia elementului final (terminalul sau mīna robotului) īn raport cu sistemul de referinta al bazei.

Nu trebuie sa uitam īnsa ca scopul final al oricarei aplicatii robotice este de a realiza o anumita functie tehnologica si, īn cadrul ei, o prima cerinta este pozitionarea corecta a bratului mecanic īntr-un punct sau de-a lungul unei traiectorii impuse.

Aceasta īnseamna implicit ca transformarea generala trebuie sa
verifice coordonatele punctului de lucru. Se poate formula, deci urmatoarea
problema de control: "care sunt parametrii variabili asociati fiecarei articulatii
pentru ca coordonatele elementului "terminal sa verifice un punct dat īn
spatiul de operare, asigurīnd totodata si o anumita orientare a māinii
robotului.

Īn acest fel, relatiile ce definesc transformarile cinematice devin ecuatii de control cinematic.

Rezolvarea ecuatiilor cinematice reprezinta īn general o problema dificila. Acest lucru este determinat nu atīt de numarul ecuatiilor cīt de neliniaritatea lor.

Pentru ilustrarea dificultatilor ce apar īn ecuatiile de acest tip vom aborda problema controlului cinematic al modelelor deduse īn paragraful precedent.

Īn cazul robotului īn coordonate carteziene din figura (2.8) ecuatia generala a bratului este data de produsul celor trei matrici īn formula (2.25). Deci, pozitia - orientarea bratului va fi din (2.19).

Este evident ca un astfel de robot va controla numai pozitia elementului terminal nu si orientarea, calculul vectorial de pozitie fiind obtinut direct

unde,

Simplitatea solutiei este datorata absentei neliniaritatii la aceste transformari specifice articulatiilor de translatie, dar apare clar faptul ca un astfel de robot nu asigura functia de orientare a bratului. t

Se va considera acum robotul cu articulatii de rotatie prezentat īn figura 2.6. Modelul cinematic al bratului se obtine prin multiplicarea matricilor A_i din (2.23),

Efectuānd īnmultirea matricilor si identificīnd componentele generale ale matricei de orientare - pozitia (2.19) se obtine [62]

Ecuatiile stabilite pun īn evidenta foarte bine complexitatea problemei controlului cinematic. Pentru o pozitie si orientare a elementului terminal al robotului impuse, deci p_x, p_y, p_z, n_x, n_y, n_z, o_x, o_y, o_z, a_x, a_y, i luīnd valori prescrise, se cere calcularea valorilor unghiurilor care satisfac ecuatiile (2.30).

Este evident ca determinarea variabilelor de control pentru asigurarea atīt a pozitiei dorite, cīt si a orientarii mīinii nu este posibila, īn principiu, se impune numai o pozitionare riguroasa si o orientare partial satisfacuta (care se presupune ca, totusi, acopera cerintele tehnologice impuse). Chiar īn acest caz, o solutionare analitica este evident extrem de dificila. Tratarea numerica pe un calculator adecvat implica si ea dificultati serioase si īn orice caz efortul de calcul este extrem de mare, problema de control neputīnd fi abordata ca o problema īn timp real. O tratare off-line pe un calculator numeric este practic singura modalitate de utilizare a controlului cinetic. Pentru diferite puncte, de-a lungul traiectoriei impuse, se calculeaza aprioric valorile variabilelor de control ale articulatiilor, ele urmīnd sa reprezinte marimile de referinta īn sistemul propiu-zis de conducere al miscarii.

Īn literatura de specialitate se pot mentiona eforturile diversilor autori pentru solutionarea acestei probleme. Mentionam metoda propusa de Paul Shimano si Meyer [5,25] care izoleaza seccesiv fiecare variabila de elementul terminal prin premultiplicarea cu inversele matricilor A_i. Lee si Siegler [24] separa problema controlului general īn problema pozitionarii bratului de cea a orientarii māinii. Īntr-o asemenea abordare, transformarea totala poate fi rescrisa ca, , unde s-a considerat baza robotului ca sistem de referinta absolut, sistemul O, iar si desemneaza transformarile ce definesc pozitionarea bratului robotului fata de baza si respectiv māna robotului īn raport cu bratul [24]. De exemplu, pentru robotul discutat mai sus, aceasta partajare a transformarilor impune urmatoarea rescriere a relatiei (2.19)

unde prima submultime desemneaza pozitionarea bratului,

iar a doua orientare,

Pe de alta parte, atīt transformarea globala , cāt si cele partiale, si , pot fi rescrise īn termenii matricei pozitie - orientare (2.10).

Īnlocuind expresiile (2.35) - (2.37) in (2.31) rezulta,

Deci, din (2.35) se obtine,

Īn aceasta ultima relatie, vectorul , defineste pozitia māinii fata de punctul terminal al bratului. Prin multiplicarea cu exprima acelasi vector fata de sistemul absolut (figura 2.9, a).

Acest vector va fi deci reprezentat prin

deci, din (2.40) se obtine

sau, astfel spus, translatia totala este obtinuta prin īnsumarea translatiilor bratului si mīinii. Īn aceasta relatie vectorul coincide cu versorul a al matricei de orientare (2.35) (figura 2.4), deci componentele acestui vector pot fi determinate relativ usor. Īntr-o prima faza se determina unghiurile si

,

iar ulterior, componentele vectorului

Ţinīnd cont de faptul ca vectorul este dat prin matricea generala a robotului (2.35), din (2.42) si (2.43) se pot calcula componentele vectorului de pozitie al bratului

Pe de alta parte, din formula (2.34) se obtine,

unde P[A] desemneaza vectorul de pozitie din transformarea A.

Aceasta ultima relatie constituie ecuatia de baza ce permite calculul unghiurilor φ_1, φ_2, φ₃ ce definesc articulatiile bratului.

Pentru calculul unghiurilor māinii φ_4, φ_5, φ₆ se utilizeaza componenta de rotatie care poate fi exprimata din relatia (2.39) sub forma,

Cele doua matrici si R sīnt usor obtinute ca matrici de rotatie din transformarile respective. Īn plus, inversa lui se calculeaza conform regulilor matricelor de orientare. Introducīnd aceste rezultate īn matricea de orientare a transformarii (2.34), rezulta,

(2.47)

unde R[A] desemneaza matricea de orientare a transformarii A.

Relatia (2.47) reprezinta ecuatia ce permite calculul unghiurilor ce definesc pozitia māinii. Procedura expusa permite deci calculul decuplat al parametrilor geometrici ai robotului, analizānd separat ecuatiile de pozitie de cele de orientare. Cu toate ca aceasta metoda simplifica si faciliteaza, īn mare masura, efortul de calcul, abordarea analitica a solutiilor de control cinematic ramāne īn continuare o problema complexa.

Īn ciuda dificultatilor prezentate, controlul cinematic este cea mai utilizata metoda de control a miscarii unui robot, solutionare problemei fiind data, īn mod paradoxal, chiar de robot, de implementarea sa fizica. Conceptul de baza īn aceasta abordare īl constituie faptul ca rezolvarea ecuatiilor (2.30) implica evident modelarea lor (numerica sau analogica), ori cea mai buna modelare, cea mai exacta, o reprezinta robotul īnsusi. Īn acest sens, robotul este "fortat" sa execute o anumita traiectorie īn spatiul sau de lucru. Īn punctele prestabilite, dorite, sunt masurate valorile variabilelor de control, aceste valori reprezentānd solutiile exacte ale ecuatiilor cinetice asociate punctelor respective. Valorile astfel obtinute vor constitui marimi de control impuse īn faza de operare propriu - zisa a robotului. Procedura este curent cunoscuta sub denumirea de " instruirea robotului" si va fi discutata pe larg īntr-unul din capitolele ulterioare.

2.4. Controlul cinematic diferential

Analiza precedenta s-a axat pe problema determinarii variabilelor de control pe fiecare articulatie astfel īncāt comportarea cinematica a īntregului brat, ca pozitie si orientare, sa fie cea dorita, insistāndu-se īn special asupra cerintelor de calcul si complicatiilor care deriva din acestea īntr-o conducere īn timp real.

O alta modalitate de tratare a controlului cinematic poate fi obtinuta daca nu se iau īn consideratie valorile totale ale parametrilor miscarii ci variatiile acestora īn raport cu anumite marimi de referinta. O astfel de abordare este desemnata ca analiza cinematica diferentiala.

Modelul diferential al unui robot este deci un model care permite calculul diferential dx a coordonatelor operationale (variabilele ce definesc pozitia īn spatiul de lucru) īn functie de diferentiala dq a coordonatelor generalizate (variabilele asociate fiecarei articulatii mecanice). Īntr-o transpunere analitica, aceasta dependenta se poate scrie printr-o matrice iacobian, īn forma:

(2.48)

Daca, pentru un anumit model cinematic, coordonatele operationale si generalizate variaza īn cantitati mici, atunci diferentialele pot fi īnlocuite cu variatiile corespunzatoare si modelul (2.48) se scrie sub forma,

(2.49)

Īn cazul īn care acestor variatii li se asociaza si variatii īn timp, diferentialele pot fi īnlocuite cu derivate,

(2.50)

Indiferent de modul de scriere, īntr-o analiza diferentiala, o etapa importanta o constituie calculul matricei iacobiene J(q). Considerānd modelele cinematice stabilite īn paragrafele anterioare, redate analitic īn forma,

(2.51)

atunci matricea iacobian este matricea derivatelor partiale ale functiei īn raport cu coordonatele generalizate.

(2.52)

sau, pe componente

(2.53)

Daca coordonatele operationale utilizate sunt date de vectorul,

(2.54)

atunci relatia (2.50) poate fi scrisa ca,

(2.55)

unde pentru o articulatie de rotatie, pentru o articulatie de translatie iar .

Pentru exemplificare, sa consideram robotul cu articulatii de translatie prezentat īn figura 2.8. Coordonatele elementului terminal īn raport cu sistemul de referinta (X₀, Y₀, Z₀) sunt date de,

(2.56)

unde exprima īn acelasi timp si coordonatele generalizate . Īn consecinta, utilizānd o formula de tipul (2.53) se obtine iacobianul sistemului,

(2.57)

Pentru sisteme mecanice mari, procedurile de calcul ale matricei, desi mai complexe, se bazeaza pe o tehnica similara sau prin derivate ale celei prezentate īn (5.25).

Īn forma definita mai sus, iacobianul permite calcului variatiilor coordonatelor operationale īn functie de variatiile coordonatelor generalizate (din articulatii).

De fapt, o problema de conducere impune o procedura inversa: "dāndu-se variatii impuse ale coordonatelor operationale se cer variatiile coordonatelor generalizate corespunzatoare". O astfel de formulare conduce la o relatie de forma,

(2.58)

Calculul inversei iacobianului este īn general o problema complexa, dificultatea fiind determinata de faptul ca matricea iacobian este foarte rar o matrice patrata. Īn general se va impune deci calculul unei pseudoinverse J^-1 dupa proceduri specifice (38,25,62). De exemplu, pentru iacobianul obtinut mai sus,

(2.59)

prin transpunere rezulta

(2.60)

unde admite o pseudoinversa (J^T)^-1 de forma

(2.61)

admite o pseudoinversa de forma

(2.62)

Se verifica usor ca

(2.63)

Multiplicānd cu ambii membri ai relatiei (2.60), rezulta

(2.64)

Desigur ca aceasta metoda poate fi aplicata numai pentru forme particulare ale matricei J. Pentru o forma generala a acesteia se poate utiliza procedura specificata īn (12,17). Īn acest sens, se īnmultesc ambii membrii ai relatiei (2.59) cu J^T,

(2.65)

Se determina inversa matricei J^TJ si prin multiplicarea rezultatului cu (2.65) se obtine

(2.66)

Īn acest caz poate fi definita ca o pseudoinversa a matricei J.

Exemplul pe care l-am analizat se bazeaza pe o matrice iacobian cu coeficienti constanti. Īn cele mai multe cazuri, coeficientii matricei depind de coordonatele generalizate q_i, ceea ce impune o recalculare a elementelor ei la orice modificare a acestor parametrii.

Calculul variatilor Dq_i, asociate fiecarei articulatii a structurii mecanice, pe baza variatiilor Dx_i impuse īn sistemul operational, sugereaza introducerea unei structuri de conducere specifice. Īn figura 2.10 este prezentat un astfel de sistem.

Traiectoria, īn spatiul de operare al robotului, este data prin multimea de puncte x_di. Aceste valori sunt comparate cu cele realizate efectiv de sistemul mecanic x_i. Parametrii operationali reali x_i sunt obtinuti la rāndul lor din coordonatele generalizate q­_i pe baza modelului cinematic direct (2.51). Abaterile obtinute,

(2.67)
sunt aplicate unui bloc de calcul ce implementeaza pe J^-1(q) la iesirea caruia se genereaza noile variatii Dq_i ce asigura corectarea traiectoriei. Evident, dependenta iacobianului de parametrii q_i determina recalcularea sa la fiecare pas de operare.

Avantajul principal al unui astfel de sistem de conducere este dat de simplitatea legii de conducere utilizate, modelul cinematic diferential asociat fiind un model liniar. Spre deosebire de modelele cinematice propriu-zise prezentate anterior si de cele dinamice, care vor fi studiate ulterior, modele caracterizate prin neliniaritati deosebit de complexe, modelele diferentiale ofera avantajul liniarizarii.

Din nefericire, acest avantaj este, īn mare masura, anulat de efortul de calcul cerut, īn special pentru calculul inversei matricei iacobiene, calcul ce nu poate fi realizat off-line datorita dependentei coeficientilor matricei de parametrii q_i. Cu toate ca īn literatura s-au dezvoltat o serie de metode [4,6] care permit calculul rapid al lui J^-1(q), ele cer, īn general, sisteme hardware de mare viteza, cu un pret de cost īntotdeauna prohibitiv, pentru o operare eficienta īn timp real.

2.5. Modele dinamice

Modelele geometrice si cinematice discutate īn prima parte a capitolului pornesc de la premiza ca pentru orice configuratie obtinuta de robot este atinsa o stare de echilibru. Este evident ca aceste modele devin putin reprezentative la viteze si acceleratii mari cānd fortele de inertie, centrifugale si de cuplaj capata marimi semnificative. La aceste regimuri de lucru se impune luarea īn considerare a unui nou model, modelul dinamic asociat sistemului mecanic.

Modelul dinamic al unei structuri mecanice este reprezentat analitic printr-un sistem de ecuatii diferentiale ce definesc legaturile ce apar īntre coordonatele generalizate q_i sau derivatele lor si fortele, atāt disipative, cāt si ne J^-1(q) nedisipative, ce actioneaza asupra fiecarui element al configuratiei mecanice. Metodele si procedurile pentru determinarea ecuatiilor diferentiale asociate dinamicii unui brat mecanic sunt numeroase. Metodele Lagrange - Euler, Newton - Euler, principiul generalizat al lui d'Alembert sunt cāteva din procedurile clasice de calcul ale modelului dinamic. Īmbunatatiri si tehnici de calcul mai rapide au fost obtinute de diversi autori din care se pot cita Mahil [7] Megahed si Renaud [7], Watters [3] si Hollerbach [12] etc.

Īn ciuda acestei lucrari, modelul dinamic al unui robot va fi determinat utilizānd metoda lui Lagrange care are avantajul unei abordari simple, sistematice si permite elaborarea unor algoritmi eficienti īn calculul numeric.

Utilizānd notatiile curente [116], functia Lagrangian L este definita ca diferenta īntre energia cinetica E_cin si energia potentiala E_pot a sistemului.

(2.68)

Ecuatiile sistemului dinamic, īn functie de Lagrangian vor fi

, i=1,2,.,n

unde n sunt gradele de libertate ale sistemului, q_i sunt coordonatele generalizate īn care energiile cinetica si potentiala sunt exprimate, q sunt vitezele generalizate, iar F_i sunt fortele generalizate corespunzatoare, definite īn sensul urmator: daca articulatia este de translatie, deci variabila q­_i asociata este o deplasare, atunci F_i este forta din articulatie ce determina dinamica dorita, iar daca articulatia este de rotatie si q_i reprezinta, deci, o marime unghiulara, atunci F_i este momentul aplicat articulatiei.

Pe baza formulelor (2.68), (2.69), procedura de calcul se poate sistematiza īn urmatoarele faze:

Pentru exemplificare, etapele de mai sus vor fi dezvoltate pe cāteva structuri mecanice.

Se va considera bratul īn coordonate cilindrice din figura 2.11. Coordonatele generalizate ale miscarii vor fi rotatia j si cele doua translatii d₂ si d₃.

Energia potentiala a īntregului sistem, se poate raporta la referinta bazei sub forma,

(2.70)

unde m^' este masa totala echivalenta īn articulatia 3. Energia cinetica a masei este determinata de: o componenta produsa de translatia masei (d₃) si o componenta datorita rotatiei (j ) deci,

(2.71)

Analog, energia cinetica a masei m₃ va fi determinata de rotatia bratului m₃ prin momentul de inertie,

(2.72)

si de translatia acestuia prin viteza de translatie, deci,

(2.73)

De asemenea, celelalte articulatii determina o energie

(2.74)

Din (2.71) - (2.74) se obtine energia cinetica a sistemului mecanic

(2.75)

Functia Lagrangian va fi,

(2.76)

Pentru obtinerea modelului dinamic este necesara determinarea derivatelor partiale ale lui L īn raport cu parametrii miscarii j , d₂, d₃ si derivatele acestora j, , ,

(2.77)

Substituind rezultatele de mai sus īn formula (2.69) se obtine,

(2.78)

Separānd partile liniare īn relatiile (2.78) si (2.79) rezulta,

(2.79)

(2.80)

Separānd partile liniare īn relatiile (2.78) si (2.79) rezulta,

(2.81)

(2.82)

Ecuatiile (2.78) - (2.80) definesc modelul dinamic al robotului. Se remarca īn primul rānd neliniaritatea acestora, neliniaritate pusa īn evidenta īn rescrierea lor īn forma (2.81), (2.82). Īn aceste ultime relatii, termenii neliniari B₁ si B₂ definesc momente Cariolis sau componente de forte de frecare.

O reprezentare sugestiva a ecuatiilor de mai sus se poate obtine printr-o simulare analogica a acestora (figura 2.12).

Modelul analogic obtinut defineste numai coordonatele j , d₂, d₃ prin integrarea succesiva a integratelor lor de ordin doi, obtinute, la rāndul lor prin operatori liniari si neliniari corespunzatori. Trebuie remarcata decuplarea componentei d₂ (independenta acesteia de celelalte variabile) precum si puternica interconditionare a parametrilor j si d₃.

Se va analiza īn continuare modelul dinamic al unei configuratii mecanice cu elemente articulate prin cuple de rotatie, configuratie des īntālnita īntr-o gama larga de familii de roboti industriali. Sistemul este reprezentat īn figura 2.12 si este desemnat frecvent sub denumirea de brat mecanic de revolutie.

Conform procedurii expuse mai sus se vor calcula energiile potentiale si cinetice asociate fiecarui element. Pentru calculul energiilor potentiale s-a considerat dispunerea centrelor de greutate ca īn figura, elementul 2 avānd practic toata masa (inclusiv sarcina) echivalata īn capat, m₂.

(2.83)

(2.84)

unde viteza v₂ a masei m₂ este data prin coordonatele punctului

(2.85)

iar,

deci,

sau, dupa cāteva transformari

(2.86)

Din aceste rezultate se poate construi functia Lagrangian L a sistemului

(2.87)

care poate fi rescrisa īntr-o forma compacta,

(2.88)

unde, J^'_1, J^'₂, J^*, M^'₁, M^'₂ desemneaza momente de inertie sau mase echivalente.

Din formula (2.88) se obtin succesiv,

(2.89)

Īnlocuind aceste rezultate īn ecuatia Lagrange se obtin fortele generalizate M₁, M₂,

(2.90)

(2.91)

Ecuatiile (2.90) si (2.91) stabilesc mecanica configuratiei mecanice sau mai bine-zis legile ce determina evolutiile īn timp ale celor doua variabile j si j pentru anumite valori ale momentelor M₁, M₂ aplicate articulatiilor. Īn cele doua ecuatii, variabilele sunt raportate la un sistem de referinta absolut. Daca acest lucru este acceptabil pentru coordonate, j , a carei masura este īntotdeauna raportata la axa X, pentru variabila j acest lucru nu este valabil, īntrucāt īn practica se masoara īntotdeauna unghiul elementului2 īn raport cu elementul 1. Deci, variabila asociata acestei articulatii este j

(2.92)

Īn raport cu aceasta noua variabila, Lagrangianul (2.88) devine

(2.93)

Īnlocuind īn ecuatia (2.69) se obtin relatiile

(2.94)

(2.95)

Modelul dinamic stabilit mai sus poate fi rescris īntr-o forma compacta [62]

(2.96)

(2.97)

O reprezentare analogica sugestiva a dinamicii obtinute este redata īn figura 2.14.

Modelul analogic abtinut pune īn evidenta foarte bine atāt interdependenta celor doua coordonate j si j cāt si caracterul neliniar extrem de pronuntat al ecuatiilor sistemului dinamic. Apare clar faptul ca un astfel de model nu poate fi utilizat eficient īntr-o aplicatie practica de conducere. Aprecieri cantitative asupra diversilor coeficienti ce intervin īn ecuatiile (2.96), (2.97) permit simplificarea lor. Folosind cāteva din specificatiile formulate īn [41], ecuatiile de mai sus devin,

(2.98)

(2.99)

Daca termenii neliniari A^', B^' corespunzatori unor cupluri de frecare pot fi aproximati prin marimi liniare de forma

(2.100)

atunci ecuatiile (2.98), (2.99) reprezinta un model dinamic liniar ce poate fi utilizat cu rezultate bune īntr-o structura de conducere conventionala.

Structura mecanica discutata se bazeaza pe luarea īn considerare a unor forte generalizate, momente aplicate īn articulatiile sistemului. De cele mai multe ori, acest momente sunt obtinute indirect prin sisteme speciale de actionare, hidraulice sau electrice. Un astfel de sistem este prezentat īn figura 2.15 [62].

Cele doua elemente ale bratului sunt actionate separat cu sisteme liniare (definite prin variabilele de translatie s_A1 si s_A2), īn punctele A si C, prin fortele corespunzatoare F_A, F_C. Parametrii sistemului mecanic sunt specificati īn figura, variabilele de deplasare liniara sau rotatie fiind desemnate prin s_A, s_B1, s_B2, s_C, s₂, s₁, j j īn punctele sau articulatiile respective.

Pentru determinarea modelului dinamic īn aceasta noua distributie de forte si variabile se va utiliza principiul lui d'Alambert. Aplicarea acestui principiu la elementul superior, pentru miscarea de translatie, da pe fiecare din axele de coordonate,

(2.101)

iar pentru miscarea de rotatie,

(2.102)

Ecuatiile (2.101) si (2.102) determina coordonatele miscarii, (s₂, j ) ale centrului de masa al elementului superior. Coordonatele celorlalte puncte ale bratului pot fi determinate īn functie de (s₂, j

De exemplu, coordonatele punctului B₂ (variabila s_B2) se pot obtine conform figurii 2.16.

(2.103)

Calculānd variatiile corespunzatoare se obtin

(2.104)

Īn mod similar se determina variabilele de deplasare s_C si s_D.

(2.105)

Pentru determinarea ecuatiilor asociate elementului 1, īn figura 2.17 sunt prezentati parametrii si marimile principale ce guverneaza dinamica sa.

(2.106)

unde r_A, r_B sunt bratele fortelor respective īn raport cu articulatia O.

Deplasarile punctelor A si B₁, unde se racordeaza sistemul de actionare 1 si respectiv elementul 2 al bratului, se obtin din variabila j , prin relatiile,

(2.107)

Cuplajul īntre cele doua elemente este dat de forta F_B care poate fi evaluata prin

(2.108)

unde C este o constanta de proportionalitate.

Simularea analogica a modelului dinamic definit prin ecuatiile (2.101) - (2.108) este prezentata īn figura 2.18. Marimile de intrare īn model sunt cele doua forte generate de sistemul de actionare F_A si F_C, iar la iesirea modelului se obtin variabilele unghiulare j j si de deplasare s_A1, s_A2, s_Dx, s_Dy.

Ultimele doua variabile s_Dx, s_Dy se pot cupla la o alta articulatie īn cazul modelarii unui sistem mecanic mai complex. Marimile s_A1, s_A2, j j se utilizeaza frecvent īn buclele de reglaj ale configuratiei mecanice. Coeficientii utilizati īn definirea modelului sunt īn general dependenti de pozitia sistemului mecanic si se obtin direct din ecuatiile stabilite mai sus fie prin proiectiile anumitor parametrii pe axele de coordonate.

Tratarea de mai sus a modelului dinamic prin principiul lui d'Alambert pune īn evidenta foarte bine avantajele utilizarii formalismului lui Lagrange, avantaj concretizat īn: simplitatea abordarii problemei, algoritmizarea simpla si eficienta a etapelor de calcul, precum si posibilitatea generalizarii procedurilor utilizate pentru sisteme mult mai complexe.

Indiferent de modul de tratare, exemplele de mai sus permit stabilirea unui model matematic general ce caracterizeaza dinamica unui brat mecanic [12,15,16,36].

FBx

FBy

FC

FB

FA

k4

k2

k3

k1

l21x

l21y

m1g

FCx

m2g

l22x

l22y

l23x

l23y

l21x

l21y

l23x

l23y

rB

l11x

rA

k6

FB

c

k5

OA

OB

f2

f1

sA2

sB1x

sA1

sB1y

sB2x

sB2y

sDx

sDy

sCx

sBx

sBy

sB1

Figura 2.18

(2.109)

unde q este vectorul coordonatelor generalizate (nxl) pentru cele n articulatii ale sistemului mecanic, J(q) este matricea (nxn) de inertie, V este o matrice de frecare vāscoasa (nxn), F( , ,q); i,j=1,.,n este vectorul fortelor Coriclis si centrifugale (nx1), G(q) este vectorul (nx1) asociat termenilor dependenti de gravitatie iar M este un vector (nx1) al fortelor de intrare generalizate.

Modelul generalizat (2.109) pune bine īn relief complexitatea problemelor ce stau īn fata proiectantului sistemului de conducere, probleme ce īn mare pot fi formulate īn: neliniaritati complexe ce apar īn sistemul de ecuatii diferentiale ce descriu dinamica robotului, modificarea continua a parametrilor si coeficientilor acestor ecuatii cu pozitia mecanismului si puternica corelare, interconditionarea generala a parametrilor si coordonatelor sistemului mecanic.