SOLICITARI COMPUSE

solicitari compuse

1. Un arbore de sectiune circulara, cu diametrul d = 4 cm, este solicitat prin doua momente, unul de încovoiere M_i si altul de rasucire M_t , egale în valoare numerica. Sa se afle valoarea acestor doua momente, asa ca sa nu se depaseasca rezistenta admisibila _a = 800 kgf/cm² , dupa teoriile I si II de rezistenta.

Rezolvare

Fie M valoarea comuna a celor doua momente. Momentul încovoietor echivalent, în cele doua ipoteze, este dat de formulele:

(I)

(II)

Modulul de rezistenta la încovoiere este:

Se gaseste valoarea momentului echivalent capabil:

Valoarea M a celor doua momente, în cele doua ipoteze, este:

(I)

(II)

Se vede ca valoarea obtinuta dupa prima teorie este cu 5,5% mai mare decât cea calculata cu a doua. Diferenta este neglijabila si se poate lua o valoare medie:

M = M_i = M_t = 4000 kgcm.

2. Se cere sa se dimensioneze arborele din figura 1, solicitat cum se vede pe desen, diametrele rotilor de c 19319i814t urea si tensiunile în curele fiind egale. Se da _a = 800 kgf/cm² , iar dimensionarea se va face folosind teoria a III-a de rezistenta.

Figura 1 Figura 2

Rezolvare

Se considera în figura 2 una din rotile de cura, si anume cea solicitata prin fortele orizontale. Daca se face reducerea în raport cu centrul O al rotii, sistemul celor doua forte se poate înlocui printr-o rezultanta P, aplicata în O, si un moment de rasucire M_t, având valorile:

P = S₁ + S₂ = 900 kgf; M = (S₁ - S₂)·R = (700 - 200)·75 = 37500 kgcm.

Fortele verticale de pe cealalta roata se compun la fel, dând o rezultanta si un moment de rasucire de aceleasi valori. Arborele este deci solicitat printr-un moment de rasucire constant M_t între cele doua roti, o forta verticala de 900 kgf pe roata din drepata si una orizontala de 900 kgf pe roata in stânga. Se construiesc, separat, diagramele de momente încovoietoare pentru fortele verticale si pentru cele orizontale. Forta orizontala P din figura 3,a da în reazemul 1 un moment

M_1H = 900 x 30 = 27000 kgcm

si în reazemul 2 un moment nul, ceea ce da diagrama momentelor fortelor orizontale din figura 3,b. Forta verticala P din figura 3,c cu momentul maxim:

da diagrama din figura 3,d.

Se compun apoi diagramele M_H si M_V, spre a gasi sectiunea în care momentul încovoietor M_i este maxim. Se calculeaza momentul încovietor rezultant în sectiunea 3

Figura 3

Se traseaza diagrama din figura 3,e, care arata ca momentul încovietor este maxim în reazemul 1. Se poate calcula acum momentul încovoietor echivalent si se face dimensionarea arborelui

d = 7,7 cm ≈ 80 mm.

Sa se refaca problema precedenta daca în locul rotilor de curea sunt doua tobe, fiecare de greutate G = 100 kgf, si câte un cablu cu tensiunea S = 500 kgf.

Rezolvare

De pe toba se desfasoara un singur fir si tensiunea lui S, aplicata tangential, se înlocuieste prin o forta S în centrul rotii si un moment de rasucire

M_t = S · R = 500 x 75 = 37500 kgcm.

Diagrama momentelor fortelor orizontale este cea din figura 4,b.

100 x 110 - V₁ x 80 + 600 x 40 = 0 ; V₁ = 437,5 kgf.

Momentele în punctele 1 si 3 sunt:

M₁ = - 100 x 30 = - 3000 kgcm

M₃ = - 100 x 70 + 437,5 x 40 = 10500 kgcm.

Se obtine diagrama din figura 4,d. Prin compunere, rezulta figura 4,e, care arata ca momentul maxim este în reazemul 1. Se determina momentul încovoietor echivalent

si se face dimensionarea

Se observa ca la constructia cu tobe, pentru aceeasi valoare a momentului de rasucire este necesar un diametru de arbore mai mic, cu toate ca s-a luat în considerare si greutatea tobelor.

4. Pentru grinda având schema de calcul din figura 5,a , se cere: 1) dimensionarea grinzii, stiind ca este alcatuita dintr-un profil I, iar materialul este OL 37, având _a = 150 N/mm² ; 2) trasarea diagramei de variatie a tensiunii _x , în sectiunea x = 1 m.

Rezolvare

1) Grinda fiind de sectiune constanta, dimensionarea ei se face având în vedere sectiunea periculooasa a grinzii, sectiune în care se dezvolta eforturile cu valorile maxime. Aflarea acesteia presupune trasarea diagramelor de eforturi.

Astfel, reactiunile grinzii au valorile:

V₂ = 56,2 kN; V₅ = 0,8 kN; H₅ = 43,3 kN,

iar diagramele de eforturi sunt conform figurii 5,b.

Figura 5

Se observa ca sectiunea periculoasa a grinzii este sectiunea 2, în care se dezvolta eforturile maxime, ale caror valori absolute sunt:

N = 77,94 kN, M_z = 54 kNm. R

Reprezentarea acestora în sectiune este conform figurii 6.

Operatia de dimensioanre se poate face prin încercari, alegând un profil I oarecare si efectuând operatia de verificare, sau, facând abstractie de unul din cele doua eforturi din sectiune, se efectueaza o predimensionare la solicitarea simpla axiala sau de încovoiere, urmând apoi operatia de verificare, având în vedere existenta simultana în sectiune a celor doua eforturi.

Alegând cea de-a doua posibilitate si considerând initial, N = 0 se calculeaza

W_{z nec} = M_max/ _a = (54 · 10⁶)/150 = 36 · 10⁴ mm³

Se alege profilul I 26, având:

W_{z ef} = 442 cm³ ; A_ef = 53,4 cm² ; i_{z ef} = 10,4 cm.

Se efectueaza operatia de verificare, considerând situatia reala. Se observa (figura 6), ca punctele periculoase ale sectiunii, puncte în care se dezvolta tensiunea σ_max sunt cele situate în extremitatea talpii superioare si deci:

Rezulta ca este îndeplinita conditia de rezistenta, profilul fiind astfel ales corespunzator.

2) Eforturile din sectiunea x = 1 m, eforturi carora le corespund tensiuni au valorile: N = 43,3 kN, M_z = -15,2 kNm, iar reprezentarea lor în sectiune este conform figurii 7.

Figura 7

Se calculeaza valorile tensiunii _x în punctele extreme ale sectiunii, rezultând:

xII = 8,1 - 34,4 = - 26,3 N/mm²;

Diagrama de variatie a tensiunii _x pe sectiune are reprezentarea din figura 7, fiind suma diagramelor _x^(N) si _x^(Mz)

Axa neutra a sectiunii este paralela cu axa z. taietura ei pe axa y se determina astfel:

a = - (N/M_z)i_z²

Pentru profilul I 26, raza de inertie i_z = 10,4 cm si deci

5. Grinda simplu rezemata din figura 8, asezata la 45° fata de orizontala si alcatuita din doua profile U 22 este încarcata cu o sarcina uniform distribuita, de tip gravitational, pe lungimea 2l. Sa se calculeze valoarea sarcinii capabile, q_cap , cunoscând l = 1,2 m si _a = 150 N/mm².

Rezolvare

Pentru rezolvarea schemei de calcul se poate roti grinda cu 45° (figura 9), componentele sarcinii q dupa axa longitudinala a barei, respectiv dupa normala la aceasta fiind

Figura 8   Figura 9

Sarcina capabila a grinzii se determina din conditia de rezistenta, pusa în punctele cele mai solicitate ale sectiunii periculoase a grinzii. Aflarea acesteia necesita trasarea diagramelor de eforturi.

Astfel, reactiunile grinzii sunt:

iar diagramele de eforturi au reprezentarile conform figurii 9.

Se observa ca, pentru determinarea sarcinii capabile, trebuie luate în considerare doua sectiuni: sectiunea în care momentul încovoietor este maxim, M_max = 0,6 ql² , forta axiala fiind N = 0,943 ql si sectiunea în care forta axiala este maxima, N_max = 1,41 ql , iar momentul încovoietor este M = 0,47 ql².

Astfel, determinând caracteristicile geometrice ale sectiunii:

A = 2 · 37,4 = 74,8 cm² ; W_z = 2·W_z1 = 2 · 245 = 490 cm³,

si punând conditia de rezistenta, în punctul periculos al sectiunii, în care momnetul încovoietor este maxim, se obtine:

rezultând:

q_cap = 74,9 N/mm = 74,9 kN/m.

Efectuând acelasi calcul, însa luând în considerare sectiunea în care forta axiala este maxima, deci:

rezulta:

q_cap = 93,32 kN/m

Comparând cele doua valori este evident ca trebuie sa se considere drept sarcina capabila, valoarea cea mai mica. Astfel:

Q_cap = 74,9 kN/m.

6. Pentru grinda static nedeterminata din figura 10, având sectiunea constanta, tip cheson se cere: 1) verificarea sectiunii grinzii la fibra extrema, cunoscuta _a = 160 N/mm² ; 2) trasarea diagramei de variatie a tensiunii _x , în sectiunea din încastrare.

Figura 10

Rezolvare

Rezolvarea problemei necesita mai întâi, ridicarea nedeterminarii statice a grinzii si trasarea diagramelor de eforturi.

Astfel, gradul de nedeterminare statica este n = 2, iar forma de baza se alege conform figurii 11.

Figura 11

Ecuatia celor trei momente, scrisa în punctele 4 si 6, conduce la sistemul:

M₂l₄ + 2M₄ (l₄ + l₆) + M₆l₆ + m₄₂l₄ + m₄₆l₆ = 0

M l M l M m l m

Dar M₂ = -20 · 1 · 0,5 = -10 kNm;

si deci:

- 10 · + 12 M₄ + 3M₆ + 7,2 · 3 + 24 · 3 = 0

3M₄ + 6M₆ + 48 · 3 = 0

sau:

4M₄ + M = -21,2

M₄ + 2M₆ = - 48

de unde:

M₄ = 0,8 kNm; M₆ = -24,4 kNm.

Se traseaza diagramele de eforturi, care au reprezentarile din figura 11.

Caracteristicle geometrice ale sectiunii, necesare rezolvarii problemei, au valorile:

A = 220 · 160 - 204 · 144 = 5824 mm²;

I_z = 160 · 220³/12 - 144 · 204³/12 = 4,0097 · 10⁷ mm⁴

W_z = 4,0097 · 10⁷/110 = 36,4522 · 10⁴ mm³.

1) Din diagramele de eforturi rezulta ca trebuie sa se efectueze operatia de verificare în doua sectiuni: sectiunea 3^st , în care exista moment încovoietor cu valoare maxima, dar forta axiala este nula si în sectiunea 5^dr , în care forta axiala are valoare maxima si exista si moment încovoietor.

Astfel, efectuând verificarea în sectiunea 3^st se obtine

iar pentru sectiunea 5^dr ,

conditia de rezistenta fiind deci satisfacuta în ambele sectiuni.

2) În sectiunea din încastrare, eforturile au valorile: N = 120 kN ; M_z = -24,4 kNm, iar reprezentarea lor în sectiune este conform figurii 12.

Figura 12

Diagrama tensiunii _x are o distributie liniara (figura 12), valorile în punctele extreme ale sectiuni fiind:

Axa neutra este paralela cu axa z , iar taietura ei pe axa y se determina în baza relatiilor (15.3) sau din ecuatia axei neutre, care, în acest caz se scrie:

si deci:

Stâlpul metalic din figura 13 este alcatuit din doua profile I, sudate si este asezat pe o fundatie din beton simplu. Se cere: 1) dimensionarea stâlpului, fara a lua în considerare eventualitatea producerii fenomenului de flambaj; 2) verificarea fundatiei stâlpului. Materialul din care se realizeaza stâlpul este otel Ol 37, având _a = 150 N/mm² , terenul în care se executa fundatia are _{a teren} = 2,1 daN/cm² , iar _beton 2200 daN/m³.

Rezolvare

1) Se observa ca, sectiunea periculoasa a stâlpului este sectiune din încastrare, în care momentul încovoietor din sarcina uniform distribuita are valoarea cea mai mare. Se observa ca, forta axiala excentrica conduce la aceleasi efecte (N, M), în oricare sectiune transversala situata sub consola.

N = 300 + 14 = 314 kN;

M_y = 14 · 0,5 + 5 · 6 · 3 = 97 kNm.

Diagramele de distributie ale tensiunilor , corespunzatoare celor doua eforturi, trasate calitativ (figura14), permit depistarea punctelor periculoase ale sectiunii, puncte în care tensiunea are expresia

sau, deoarece σ_at = σ_ac = σ_a ,

Considerând N = 0 se efectueaza o predimensionare la încovoiere. Astfel:

Pentru un profil,

Se alege I 26, având

Se efectueaza operatia de verificare, considerând situatia reala, deci în sectiune existând eforturile N si M. Se obtine

Se observa, ca este îndeplinita conditia de rezistenta, deci operatia de dimensionare este încheiata.

2) Verificarea fundatiei se face la eforturile, care se dezvolta sub talpa de fundatie. La forta axiala trebuie sa se adauge si greutatea proprie a fundatiei, greutatea proprie a stâlpului putându-se neglija. Astfel:

N = 314 + 2,4 · 1,5 · 1,1 · 22 = 401,12 kN;

M_y = 14 · 0,5 + 5 · 6 · 4,1 = 130 kNm.

Eforturile sun reprezentate în figura 15.

Caracteristicile geometrice ale sectiunii fundatiei au valorile:

A = 150 · 240 = 36 · 10³ cm² ;

W_y = = 144 · 10 ⁴ cm³.

În punctele periculoase ale sectiunii, tensiunea are valoarea

conditia de rezistenta fiind deci îndeplinita.

Determinând valoarea tensiunii σ, în punctele situate în celalalta extremitate a sectiunii si anume:

se poate trasa diagrama de variatie a tensiunii sub talpa de fundatie, conform figurii 15.

Figura 15

Se observa ca diagrama are un singur semn si anume (-), axa neutra fiind în afara sectiunii. Deci forta excentrica este situata în interiorul sâmburelui central. Având în vedere ca betonul simplu lucreaza numai la compresiune, înseamna ca întreaga sectiune a fundatiei este activa.

8. Pentru grinda static nedeterminata în plan vertical, cu sectiunea tip cheson, din figura 16 se cere: 1) verificarea sectiunii grinzii, în ipoteza ca asupra ei actioneaza fortele H = 150 kN si P = 40 kN; 2) determinara valorii fort≥i excentrice H₁ , pe care o poate prelua grinda, în ipoteza ca asupra ei actioneaza simultan toate cele trei forte. Se cunoaste _a = 200 N/mm².

Figura 16

Rezolvare

1) Verificarea sectiunii grinzii implica gasirea sectiunii periculoase, ceea ce presupune rezolvarea grinzii si trasarea diagramelor de eforturi.

Grinda fiind static nedeterminata în plan vertical, pentru rezolvarea ei se utilizeaza ecuatia celor trei momente, schema de calcul a grinzii fiind conform figurii 17,a.

Forma de baza este reprezentata în figura 17,b, iar ecuatia celor trei momente se scrie:

M l M l M m l m

unde:

M₁ = 0; M_3′ = 0;

si deci:

2M₃ + m₃₁ = 0.

Termenul de încarcare, determinat pe baza diagramei M ⁰ (figura 17,c) are valoarea:

si deci, pentru necunoscuta M₃, rezulta:

M₃ = 38,4 kNm.

Din diagramele de eforturi, trasate conform figurii 17, d se observa, ca sectiunea periculoasa a grinzii este sectiunea din încastrare, în care se dezvolta eforturile.

N = 150 kN (+) ; M_z = 38,4 kNm (-), reprezentate în sectiune conform figurii 18.

Figura 18

Figura 17

Tensiunea normala maxima, care se dezvolta în punctele periculoase ale sectiunii are expresia:

Caracteristicile geometrice ale sectiunii au valorile:

A = 2 · (180 · 12 + 200 · 10) = 8320 mm²;

I_z = 2 · (180 ·12³/12 + 180 ·12 ·106² + 10 ·200³/12) = 6,1925 ·10⁷ mm⁴;

W_z = 6,1925 · 10⁷/112 = 5,529 · 10⁵ mm³

si deci:

Se observa, ca este îndeplinita conditia de rezistenta.

2) Se considera initial, grinda încarcata numai cu foKrta excentrica H₁ , care se reduce în raport cu centrul de greutate al sectiunii, obtinându-se (figura 19, a):

= H₁ (+); = 0,112 H₁ (-);   = 0,09 H₁ (+).

Grinda fiind static nedeterminata în planul xOy se rezolva separat în acest plan, forma de baza fiind conform figurii 19, b. Se observa ca, deschiderea griKnzii nefiind încarcata, momentul din încastrare are valoarea

,

iar diagramele de eforturi au reprezentarea din figura 19, c.

Presupunând sectiunea 1, ca fiind sectiunea periculoasa se considera eforturile din aceasta sectiune (figura 20):

N = (150 + H₁) kN (+);

M_z = (0,112 H₁) kNm (-);

M_y = (0,09 H₁) kNm (+),

se scrie expresia tensiunii normale maxime, în punctul periculos al sectiunii (punctul A),

si se pune conditia _{max a}

Pentru modulul de rezistenta în raport cu axa y se obtine:

si deci, la limita,

,

de unde,

H₁ = 300,3 kN.

Valorile momentului încovoietor M_z din sectiunile 1, 2 si 3 sunt:

M_z,1 = -33,63 kNm; M_z,2 = 21,6 kNm; M_z,3 = -21,58 kNm.

Presupunând apoi, pe rând, sectiunile 2 si 3 ca fiind periculoase si efectuând aceleasi operatii ca în cazul anterior se obtin alte doua valori pentru forta H₁ . Acestea nu pot fi însa acceptate, deoarece conduc la valori ale momentului încovoietor M_z , în sectiunile considerate periculoase, mai mici comparativ cu cele din celelalte sectiuni.

Se considera deci:

H₁^cap = 300,3 kN.