stabilitatea echlibrului elastic

1. Sa se dimensioneze tija pistonului unei masini, daca forta maxima de compresiune este P = 10 tf, iar lungimea tijei l = 1,20 m. Tija se considera articulata la mabele capete. Coeficientul de siguranta, conform tabelelor, are valoarea c = 10. Materialul este un otel cu = 105 si _c = 2400 kgf.cm².

Rezolvare

Tija pistonului se face de sectiune circulara, deci ca:

I_min = I =

Tija fiind considerata articulata la ambele capete, lungimea de flambaj este l_f = 1.

Rezulta:

Se alege o valoare rotunda:

d = 6 cm.

Se verifica daca formula lui Euler era aplicabila sau nu:

Se vede ca nu era cazul sa fie aplicata formula lui Euler. Vom verifica cu formula lui Tetmajer, cautând sa obtinem aceeasi valoare c = 10 a coeficientului de siguranta. Se iau valorile din prima linie a tabelului care contine coeficientii din formulele Tetmajer - Iasinski:

f = 3100 - 11,4 x 80 = 2188 kgf /cm²

Întrucât a rezultat o valoare mult mai mica decât cea impusa, se reface calculul, încercând o sectiune de piesa ceva mai mare. Se alege valoarea:

D = 80 mm = 8 cm; i = = 2 cm;

f = 3100 - 11,4 x 60 = 2417 kgf /cm².

Se limiteaza _f la valoarea limitei de curgere _c . În continuare rezulta

A = 50,3 cm² ; = 198,5 kgf /cm²

S-a tinut o valoare prea mare si se încearca cu:

d = 73 mm; i = = 1,825 cm; λ = = 66

σ_f = 3100 - 11,4 x 66 = 2348 kgf /cm².

A = 41,8 cm² ; = 239 kgf /cm²

Aceasta valoare este multumitoare, deci d = 73 mm.

2. Sa se dimensioneze tija bielei unui motor, sectiunea având forma schematica din figura 1, cunoscând urmatoarele date: diametrul pistonului d = 100 mm; presiunea maxima pe piston p_max = 40 kgf /cm² ; lungimea bielei l = 320 mm; materialul bielei este otel cu 5% Ni ; coeficientul de siguranta c = 5.

Rezolvare

Se aplica initial formula lui Euler

l_f = l = 32 cm.

Conform figurii, rezulta:

Se alege o valoare rotunda:

a = 7 mm

si rezulta:

I_min = 4,75 x 0,7⁴ = 1,16 cm⁴

A = 9a² = 9 x 0,7² = 4,41 cm²

= 86, corespunzatoare otelului cu nichel. Se verifica cu formula lui Tetmajer, punând conditia de a obtine cel putin

c

Dupa tabel, se scrie

f x kgf cm

kgf cm

Rezulta ca dimensiunea aleasa este buna.

3. O teava de condensator, încastrata la ambele capete, este rezemata la mijloc printr-o diafragma, spre a mari forta critica la flambajul datorit efectului de dilatare. Sa se calculeze valoarea fortei critice de flambaj, daca teava are: D = 20 mm, d = 18 mm, lungimea totala l = 2m, iar materialul este alama, cu E = 1,05 x 10⁶ kgf /cm².

Rezolvare

Forta critica de flambaj, data fiind rezemarea de la mijlocul barei, corespunde celei de-a doua solutii a ecuatiei trigonometrice, adica:

;

Aceasta forta produce în teava un efort unitar:

Daca se presupune ca placile în care este încastrata teava sunt fixe, se poate calcula variatia de temperatura necesara a produce acest efort unitar, cu relatia:

f = E t,

unde:

= 19 x 10^-6

este coeficientul de dilatare liniara al alamei, deci:

Acest calcul arata ca la o crestere relativ mica a temperaturii se atinge forta critica de flambaj, deci tevile vor fi, în timpul functionarii condensatorului, încovoiate.

4. Sa se dimensioneze, prin metoda coeficientului , stâlpul cu sectiune compusa ca în figura 2, confectionat din lemn, cu _a = 100 kgf /cm² , având lungimea l = 5 m si încarcat cu o sarcina P = 30 tf. Stâlpul se considera încastrat la un capat si liber la celalalt..

Rezolvare

Pentru primul calcul se ia o valoare oarecare a lui , de exemplu = 0,6, cu care se face dimensionarea:

Pentru un singur element din cele cinci ce formeaza sectiunea se gaseste:

a = 10 cm.

Figura 2

Momentul de inertie fata de axa z este:

Raza de inertie si coeficientul de zveltete sunt:

Conform tabelelor, se gaseste φ = 0,15, care da:

σ_af = φ σ_a = 0,15 x 100 = 15 kgf /cm².

Întrucât dimensionarea cu aceasta valoare va da o sectiune mult mai mare, deci valoare mai mica a lui si valori mai mari pentru si _af , se încearca cu = 0,3 , deci:

Σ_af = 30 kgf /cm²

; A₁ = 200 cm²; a ≈ 14 cm

Acestei valori îi corespunde, dupa tabele:

Se reface calculul, pornind de la aceasta valoare:

af _a = 0,285 x 100 = 28,5 kgf /cm².

A₁ = 210 cm²; a ≈ 14,5 cm

Acestei valori îi corespunde = 0,31, deci _af = 31 kgf /cm² , ceea ce duce din nou la a = 14 cm. Daca se adopta valoarea a = 14 cm, formula de verificare da:

adica o depasire de 7% a rezistentei admisibile.

Alegând a = 14,5 cm, la care corespunde = 0,31, rezulta:

Se alege ca dimensiune de constructie a = 14 cm.