STATICA STRUCTRILOR CONTINUE TIP SAIBA

1         Elemente si ansambluri structurale

1.1     Parametri proprii si structurali

Cazul structurilor modelabile cu saibe triunghiulare

Elementul de saiba triunghiulara plana este elemental structural plan, de grosime, constanta, t, avand modulul de elasticitate, constant, E, si coeficientul lui Poisson ν, la care deplasarile extremitatilor se produc, sub actiunea fortelor corespunzatoare, in planul median al acestuia (figura 1

Comportarea la deformare a elementului de saiba triunghiulara plana poate fi studiata prin raportarea parametrii proprii, d₁, d₂, d_3, d_4, d_5, d_6, f₁, f₂, f₃, f₄, f₅, f₆ la un reper propriu, definit de axele ortogonale x si y, dispuse in planul median al acestuia si, obisnuit, cu originea in extremitatea 1 (figura 1

Figura 1

Ecuatia de echilbru static a elementului de saiba triunghiulara plana trebuie sa fie data de relatia 1.1

sau in exprimare matriceala, compacta, de forma     (1.1)

                      

unde: este matricea de rigiditate a saibei raportata la parametrii proprii d₁, d₂, d_3, d_4, d_5, d_6, f₁, f₂, f₃, f₄, f₅, f₆;

 - vectorul deplasarilor extremitatilor saibei sau al parametrior proprii principali d₁, d₂, d₃, d₄, d₅, d₆;

 - vectorul fortelor ce actioneaza la extremitatile saibei sau al parametrilor proprii secundari f₁, f₂, f₃, f₄, f₅, f

Componenetele matricei de rigiditate a elementului de saiba triunghiulara plana se stabilesc aplicand principiile metodei elementului finit.

Structurile cu elemente de saiba triunghiulara plana se pot organiza dupa doua directii (cazul diafragmelor plane) si dupa trei directii (in spatiu), figura 2.

Figrura 2 Structura continua plana cu elemente de saiba triunghiulare

in sistemul de axe structural XY

Pentru fiecare nod i, al unei structuri plane cu elemente de saiba triunghiulara (cazul diafragmelor plane) se definesc cate doi parametri principali D_2i-1 si D_2i, primul fiind definit ca deplasare dupa prima axa a reperului structurii (obisniut X), al doilea ca deplasare dupa cea de a doua axa a reperului structurii (obisnuit Y); pentru o structura cu n noduri se definesc 2n parametri principali. Parametrii secundari corespunzatori sunt fortele nodale F_2i-1 si F_2i; pentru o structura cu n noduri se definesc 2n parametri secundari.

Compatibilitatea deplasarilor extremitatilor elementului cu deplasarile nodurilor de conectare ale structurii este asigurata.

1.2     Stabilirea prin MEF a ecuatiei matriceale de echilibru static a saibei cu raportare la parametrii proprii

In MEF, stabilirea ecuatiei matriceale de echilibru static, raportata la parametrii proprii, pentru elementul de saiba triunghiulara plana, implica un proces de calcul etapizat:

Etapa 1.1.1. Identificarea problemei.

Fie elementul de tip saiba triunghiulara de grosime, constanta, t, caracterizat de modulul de elasticitate, constant, E, si coeficientul lui Poisson ν, cu planul median dispus in planul sistemului de referinta propriu, xy cu originea in extremitatea 1, deplasarile si fortele actionand la extremitatile sale in acest plan (figura 1).

Problema consta in gasirea, in sistemul propriu de referinta, a unei relatii de legatura intre deplasarilor extremitatilor saibei (d₁, d₂, d₃, d₄, d₅, d₆) si fortele corespunzatoare (f₁, f₂, f₃, f₄, f₅, f₆), de forma data de relatia E.1.1.1:

                       (E1.1.1)

Etapa 1.1.2. Gasirea functiei, convenabile, de aproximare a deplasarilor, d(x,y).

Se face ipoteza ca pe toata suprafata saibei deplasarile punctuale d_x(x,y) si d_y(x,y) sunt date de functii cu variatie liniara (polinomiala), de forma data de relatia E1.1.2

sau in forma compacta,                  (E1.1.2)

               

unde este matricea functiilor de aproximare;

sunt coordonatele generalizate ale deplasarilor.

Etapa 1.1.3. Stabilirea relatiei matriceale dintre deplasarile punctuale si deplasarile extremitatilor saibei.

Se face afirmatia ca relatia E1.1.2 este valabila inclusiv in extremitatile saibei; aceasta se poate scrie simultan sub forma matriceala:

de unde rezulta:

care prin inlocuire in relatia E1.1.2, conduce la relatia E.1.1.3

sau in forma compacta                   (E1.1.3)

                    

unde N₁(x,y), N₂(x,y), N₃(x,y), N₄(x,y), N₅(x,y), N₆(x,y) sunt functiile de forma ale saibei.

Functiile de forma sunt functii de pondere, avand proprietatea de a lua valoare maxima (unitara) in extremitatea in care actioneaza parametrul principal aferent, restul functiilor de forma, aferente celorlalati parametri principali, avand valoare minima (zero); suma tuturor functiilor de forma are valoare unitara.

In implementarea pe calculator a programelor bazate pe metoda elementului finit este importanta exprimarea functiei deplasarilor prin intermediul functiilor de forma.

Etapa 1.1.4. Stabilirea relatiei matriceale dintre componentele ce definesc starea de deformatie punctuala si deplasarile extremitatilor saibei.

Se pleaca de la definitia starii de deformare din teoria elasticitatii aplicata saibei:

sau in forma compacta                   (E1.1.4)

 

Etapa 1.1.5. Stabilirea relatiei matriceale dintre componentele ce definesc starea de tensiune punctuala si deplasarile extremitatilor saibei.

Se pleaca de la legea fizica a deformarii din teoria elasticitatii aplicata saibei, care este:

- in cazul starii plane de tensiune

- in cazul starii plane de deformare

sau in forma compacta, unitara    (E1.1.5)

 

Etapa 1.1. Stabilirea relatiei matriceale dintre deplasarile extremitatilor saibei si fortele corespunzatoare.

Se pleaca de la definitia lucrului mecanic virtual, exprimarea in deplasari virtuale (aplicat intregului volum al saibei), pentru cel interior:

respectiv exterior:

si se impune egalitatea lor pentru existenta echilibrului static (L_int, L_ext).

Dupa egalarea celor doi termeni si efectuarea simplificarilor (considerand ca nu toate deplasarile virtuale sunt egale cu zero), precum si scoaterea ca factor comun a grosimii t, considerate constante pe toata suprafata saibei, se obtine relatia:

sau in forma compacta                   (E1.1.6)

                                    

Integralele, continute de relatia E1.1.6, pot fi rezolvate fie aproximativ, prin integrari numerice dupa doua directii, fie exact (si in aceasta situatie este posibil), prin inlocuirea termenilor si efectuarea operatiilor indicate, in final obtinandu-se:

unde reprezinta aria elementului finit triunghiular, care poate fi calculata prin aflarea valorii determinantului construit cu ajutorul coordonatelor extremitatilor elementului:

Element finit tip saiba triunghiulara face parte din categoria elementelor finite bidimensionale (2D).

2         Statica matriceala pentru analiza diafragmelor

2.1     Stabilirea ecuatiei matriceale de echilibru static a saibei

Cazul structurilor modelabile cu saibe triunghiulare

Stabilirea ecuatiei de echilibru static pentru elemental finit curent, e, al unei saibe implica parcurgerea unui proces etapizat de calcul.

Etapa 1.1. Stabilirea ecuatiei maticeale de echilbru static prin raportare la parametrii proprii, cu proiectia acestora in sistemul de referinta propriu, xy, (in aceasta etapa notatiile utilizeaza minuscule si indici referitori la sistemul de referinta

sau                                                        (E1.1)

Etapa 1.2. Stabilirea ecuatiei matriceale de echilibru static prin raportare la parametrii structurali aferenti, cu proiectia acestora in sistemul de referinta unic, XY (in aceasta etapa notatiile utilizeaza majuscule si indici referitori la sistemul de referinta sau apartenenta la elementul curent

sau                                                        (E1.2)

unde indicele inferior e indica apartenenta parametrului la elemental curent iar indicele superior e cota parte corespunzand elementului curent.

Parametrii proprii ai extremitatilor zabrelei sunt proiectati pe directiile parametrilor structurali aferenti ai nodurilor corespunzatoare cu ajutorul matricei de transformare prin rotire, T, care are ca elemente componente cosinusii directori ai axelor proprii (xy) definiti functie de reperul structurii (XY). In cazul diafragmelor plane matricea de transformare prin rotire este de forma:

unde α este unghiul masurat (in sens pozitiv, antiorar) de la axa de referinta X catre axa de referinta x.

Matricea T este o matrice ortogonala si are proprietatea ca inversa este egala cu transpusa:

Relatiile de legatura pentru parametrii raportati la sistemul propriu si parametrii raportati la sistemul  structurii sunt:

care, inlocuite in relatia E1.1 si operat corespnzator, conduc la stabilirea matricei de rigiditate a saibei raportata la parametrii structurali aferenti:

Etapa 1.3. Stabilirea ecuatiei matriceale de echilbru static prin raportare la parametrii structurii, completand cu ecuatii fictive corespunzatoare parametrilor structurii ce nu sunt aferenti sau nu apartin saibei (in aceasta etapa notatiile utilizeaza majuscule sau indici referitori la apartenenta la elementul curent):

sau                                                        (E1.3)

unde:[K] este matricea de rigiditatea a elementului finit de tip saiba raportata la parametrii structurali.

2.1     Analiza statica a diafragmei plane

Enuntarea problemei: Sa se efecteze analiza statica a diafragmei plane modelata cu elemente finite tip saiba aflate in stare plana de tensiune (determinarea deplasarilor, fortelor din rezemari si a tensiunilor), schema statica, caracteristicile geometrice si mecanice, precum si incarcarile fiind precizate pe figura 2.1.

Rezolvarea problemei

Exceptand modul in care este stabilita ecuatia de echilibru static a saibei raportata la parametrii proprii, Etapa 1, restul etapelor de calcul pentru rezolvarea problemei, urmaresc procesul etapizat, al metodei staticii matriceale clasice, pentru analiza structurilor cu bare, asa cum se va putea observa parcurgand aplicatia la problema enuntata

Aplicatia utilizeaza notatii pentru variabile si operatori specifice programului de calcul matematic Mathcad (simbolul := are intelesul de atribuire).

Sistemul de referinta propriu a fost ales acelasi pentru toate elementele finite si identic cu sistemul de referinta al intregii structuri.

Figura 2.1

Etapa 1, stabilirea ecuatiei maticeale de echilbru static pentru fiecare saiba

Saiba 1 (figura 3.1)

Figura 3.1

                      

unde Nex1, …, Nex3 sunt indecsii nodurilor corespunzand extremitatilor elementului finit;

x1, y1, …, x3, y3 - coordonatele extremitatilor elementului finit;

Dex1, …, Dex1 - indecsii deplasarilor din nodurile corespunzatoare extremitatilor elementului finit.

Etapa 1.1 - prin raportare la parametrii proprii

Etapa 1.2 - prin raportare la parametrii structurali aferenti

Etapa 1.3 - prin raportare la parametrii structurali

Saiba 2 (figura 3.2)

Figura 3.2

Etapa 1.1 - prin raportare la parametrii proprii

Etapa 1.2 - prin raportare la parametrii structurali aferenti

Etapa 1.3 - prin raportare la parametrii structurali

Etapa 2 stabilirea ecuatiei matriceale de echilibru static a structurii:

Etapa 3 introducerea conditiilor la limita (cl):

Etapa 4, determinarea deplasarilor necunoscute (nec):

- generarea vectorului deplasarilor:

Etapa 5 (auxiliara), determinarea fortelor din rezemari:

- generarea vectorului fortelor:

Etapa 6 (auxiliara), determinarea eforturilor din elementele finite:

Saiba 1

Saiba 2