studiul deplasarilor prin metode energetice

1. La grinda cu zabrele din figura 1, se cere sa se determine deplasarea pe verticala a nodului 6, daca toate barle au aceeasi rigiditate EA.

Rezolvare

Se determina întâi eforturile din bare, conform schemei reale de încarcare din figura 1,a.

N₁₃ = N₂₄ = - 2P; N₅₆ = - 2P; N₁₆ = N₂ = 0.

Scriind ecgilibrul noduli 3, rezulta:

P + N₃₁ + N₃₆= 0; N₃₄+ N₃₅ = 0

N₃₆ = - (P + N₃₁) = -(P - 2P) = P

N₃₅ = -N₃ = - P

N₃₅ = N₄₅ = - P; N₃₆ = N₄₆ = P.

Figura 1

În mod analog, în baza schemei din figura 1,b, se determina eforturile n din bare:

n₁₃ = n₂₄ = - ˝ ; n₁₆ = n₂₆ = 0; n₅₆ = 0.

Se scrie echilibrul nodului 3:

n₃₁ + n₃₆ = 0; n₃₆ + n₃₅ = 0.

n₃₆ = -n₃₁ =

n₃₅ = n₄₆ = ; n₃₅ = n₄₅ = -˝

Se aplica relatia pentru toate barele, tinând seama ca diagonalele au lungimea a si lasând la o parte pe acelea la care N sau n este nul:   

La cadrul din figura 2,a, format din trei bare identice, se cere sa se calculeze sageata orizontala f₁ si unghiul de rotire în sectiunea unde se aplica forta P.

Figura 2

Rezolvare

Pentru calculul sagetii prin metoda Mohr-Maxwell se aplica sarcina unitara în figura 2,c, si se construieste diagrama m din figura 2,d . Se gaseste:

Pentru calculul unghiului servesc figurile 2,e, si 2,f.

3. La bara în forma de sfert de cerc (figura 3), se cere sa se determine, în punctul de aplicatie al fortei P: deplasarea v pe directia fortei, deplasarea h_, perpendiculara pe directia fortei, si rotirea θ.

Rezolvare

Într-o sectiune oarecare , momentul încovoietor este:

M = - PR sin

Pentru deplasarea v, forta unitara, de aceeasi directie cu P, da

m = - R sin

Se obtine:

Figura 3 Figura 4

Analog, folosind forta unitara orizontala rezulta

m = - R (1 - cos φ);

Unghiul de rotire se afla din relatiile:

4. Barele din figura 4 sunt echivalente din punctul de vedere al unei solicitari statice, ele având acelasi diametru minim d. Sa se compare energia de deformatie pe care o pot acumula cele doua bare, întinse cu aceeasi forta N.

Rezolvare

Pentru bara cu diametru constant (figura 4,a), energia este:

Pentru a doua bara, se aplica aceeasi relatie, pe intervale:

Se vede ca a doua bara, desi de volum mai mare, acumuleaza o energie mai mica. Raportul celor doua energii este:

Cum se va vedea ulterior, capacitatea de rezistenta la soc a unei bare depinde de energia de deformatie pe care o acumuleaza. Rezulta ca, din punctul de vedere al socului, bara cu variatie de diametru este inferioara celei de diametru constant.

5. Sa se calculeze deplasarea punctului 1 la bara din figura 5.

Rezolvare

Se traseaza diagrama de forte axiale N data de saecinile de pe bara si diagrama n data de forta unitate introdusa în 1.

Deplasarea punctului 1 este:

Sa se calculeze deplasarea punctului 1 la sistemul din figura 6, daca P = 80 kN, A = 600 mm², l₁ = 0,8 m, l₂ = 1 m, t = 5°C, a = 12 · 10^-6 °C^-1 , E = 21 · 10⁴ N/mm².

Figura 6

Rezolvare

Fortele axiale din barele sistemului produse de forta P si de fortele unitate (verticala si orizontala) sunt:

Deplasarile orizontala si verticala ale punctului 1 sunt:

Deplasarea totala este:

7. Sa se calculeze deplasarea punctului K la sistemul din figura 7, daca P = 10,8 kN, a = 0,5 m, l = 0,64 m, E = 21 · 10⁴ N/mm² . Se neglijeaza efectul fortei taietoare.

Figura 7

Rezolvare

Se traseaza diagramele de forte axiale si de momente încovoietoare produse de forta P si de forta unitate. Deplasarea punctului K este:

Sa se calculeze deplasarea punctului A la bara curba din figura 8. Se neglijeaza efectul fortelor axiale si taietoare.

Figura 8

Rezolvare

Momentele încovoietoare în sectiunea definita de unghiul produse de forta P si fortele unitare din A sunt:

M = -PR (1 - cos ); m_v = R (1 + sin ); m_H = R cos

astfel ca:

9. Sa se calculeze deplasarea punctului A la bara cotita în spatiu din figura 9, daca E = 2 G, I_y = I_z = 0,5 I_p = I. Se va tine seama numai de efectul încovoierii si rasucirii.

Rezolvare

Deplasarile pe trei directii ale punctului A, calculate pe baza diagramelor de momente încovoietoare produse de sarcina q si de sarcinile unitare introduse în A sunt:

Deplasarea totala este:

Figura 9

Sa se determine eforturile din barele sistemuli din figura 10

Figura 10

Rezolvare

Sistemul este static nedeterminat întrucât apar trei reactiuni (N₁, N₂, N₃) iar pentru echilibru se pot scrie numai doua ecuatii (sistem de forte concurente). Se mentin reazemele B si C, iar reazemul A se înlocuieste cu necunoscuta static nedeterminata X₁ obtinându-se astfel sistemul fundamental (S.F.). eforturile produse în bare numai de forta P la sistemul fundamental (sistemul 0 - notat cu S.0.) sunt:

N

Forta X₁ = 1 produce eforturile (sistemul 1 - S.1.):

n₁₁ = 1;

Coeficientii (deplasarile) _ij sunt:

Din conditia X₁ = 0, rezulta X₁ = 0,428 P.

Eforturile rezultante sunt:

N₁ = N₁₀ + n₁₁X₁ = 0,428 P;

N₂ = N₂₀ + n₂₁X₁ = 0,687 P;

N₃ = N₃₀ + n₃₁X₁ = 0,129 P;

11. Sa se traseze diagramele de eforturi la sistemul de rigiditate constanta (EI = const.) din figura 11. La calculul necunoscutei static nedeterminate se neglijeaza efectul fort≥lor axiale si taietoare.

Figura 11

Rezolvare

În reazeme (articulatiile A si B) apar patru reactiuni, iar pentru echilibru se pot scrie trei ecuatii. Sistemul fundamental se obtine transformând una din articulatii (în cazul de fata, articulatia din A) în reazem simplu, necunoscuta static nedeterminata fiind reactiunea H_A = X₁.

Se traseaza diagramele M₀ (produsa de P) si m₁ (produsa de X₁ = 1) si se calculeaza coeficientii _ij . Astfel,

Conditia de deformatie este: X₁ = 0, astfel ca

X

Cunoscând toate fortele la sistemul fundamental (static determinat) se traseaza diagramele de eforturi.

12. Sa se traseze diagrama de momente încocoietoare la cadrul de rigiditate constanta din figura 12, încastrat la ambele capete si cu articulatie interioara în 1.

Figura 12

Rezolvare

În reazeme apar sase reactiuni. Ţinând seama ca se pot scrie trei ecuatii de echilibru si conditia ca momentul încovoietor în articulatia din I sa fie nul, rezulta ca sistemul este de doua ori static nedeterminat.

Sectionând cadrul în articulatia 1 se obtine sistemul fundamental (S.F.) forma dintr-o bara curba si una cotita, având ca necunoscute static nedeterminate eforturile din sectiune (forta axiala X₁ si forta taietoare X₂ , momentul încovoietor în articulatie fiind nul). Forta P se poate împarti în orice raport celor doua bare, sau se poate stabili numai pe una din bare (pe bara cotita, în cazul de fata).

Se traseaza diagramele M₀ (data de P), m₁ (data de X₁ = 1) si m₂ (data de X₂ = 1) si se calculeaza coeficientii _ij Astfel,

EI = - PR·2·R·0,5 (2R) = - 2PR³;

EI = 0,5 PR·R R + PR·2·R·R = PR³;

Rezolvând sistemul:

δ₁₀ + δ₁₁X₁ + δ₁₂X₂ = 0;

δ₂₀ + δ₂₁X₁ + δ₂₂X₂ = 0,

rezulta: X₁ = 0,073 P; X₂ = -0,458 P.

Diagrama de momente se traseaza dupa regulile cunoscute.

13. Sa se calculeze sageata si unghiul fibrei medii defomate în capatul 1 al barei din figura 13, încarcata cu forta P₁ si cuplul M₁.

Figura 13

Rezolvare

Scriind momentul încovoietor într-o sectiune si aplicând teorema lui Castigliano, se gaseste:

M = - M₁ - P₁x

14. Sa se determine aceleasi deplasari de la problema 2, folosind teorema lui Castigliano (figura 2).

Rezolvare

Pentru aplicarea teoremei lui Castigliano, se ia originea în punctul 1 si se parcurge cadrul în sensul 1,2,3,4.

M₁₂ = - P_x; M₂₃ = - Pl; M₃₄ = - P(l - x)

;

Pentru calculul unghiului, se aplica în capatul liber cuplul fictiv M₀ = 0, care da o diagrama de momente similara celei din figura 2, si se scriu derivatele partiale:

Se gaseste unghiul:

15. La sistemul articulat din figura 14, format din trei bare identice, de sectiune A, sa se calculeze cu cât coboara punctul 1 sub efectul fortei P.

Rezolvare

Se determina întâi eforturile în bare. În nodul 1 exista doua eforturi de compresiune:

P + 2 N₁₂ cos 30° = 0

N

Figura 14 Figura 15

În nodul 2 exista fortele aratate în figura 15. Ecuatia de proiectii pe orizontala este

N₂₁ cos 60° + N₂₃ = 0

N₂₃ = - N₂₁ cos 0° =

Energia totala de deformatie este:

Deplasarea punctului 1 pe directia fortei P va fi data de teorema lui Castigliano: