Stabilitatea circuitelor cu reactie

Reactia negativa are foarte multe aplicatii īn procesarea analogica a semnalelor . Proprietatile reactiei negative permit o functionare precisa a circuitelor datorita atenuarii variatiilor performantelor transferului pe bucla .

Īn acest capitol vom discuta stabilitatea si compensarea īn frecventa a sistemelor liniare cu reactie . Vom īncepe cu o descriere a criteriilor de stabilitate a conceptelor de rezerva de faza si amplificare ; vom discuta compensarea īn frecventa si apoi cīteva tehnici dedicate compensarii amplificatoarelor .

3.1. Consideratii generale

Sa consideram sistemul cu reactie negativa din figura 4.1. , īn care este considerat constant . Īn bucla īnchisa functia de transfer (amplificarea cu reactie) este data de relatia

(3.2.)

∟˚ (3.3.)

care sīnt numite "conditii Barkhausen" . Precizam ca defazajul total dealungul buclei la frecventa este 360˚ deoarece reactia negativa introduce un defazaj de 180˚ . Defazajul de 360˚este obligatoriu pentru aparitia oscilatiei deoarece semnalul adus de reteaua de reactie trebuie sa se sumeze īn faza cu zgomotul initial pentru a permite cresterea amplitudini oscilatiei . Aparitia oscilatiei este determinata si de realizarea unui cīstig pe bucla unitar sau mai mare ca unu .

Īn concluzie un circuit cu reactie negativa poate oscila pe frecventa daca :

1.defazajul la transferul pe bucla , la frecventa f₁ este atīt de mare īncīt reactia sa devina pozitiva ;

2.amplificarea pe bucla este suficient de mare īncīt sa permita cresterea īn timp a semnalului .

Īn figura 3.2.a se remarca existenta unei amplificarii pe bucla excesiv de mare la frecventa la care defazajul are valoarea -180˚ sau echivalent existenta unui defazaj excesiv la frecventa la care cīstigul pe bucla cade la unu . Deci pentru a evita instabilitateatrebuie sa se minimizeze defazajul pe bucla astfel īncīt pentru │a·│= 1 faza transferului pe bucla sa fie mai pozitiva decīt -180˚ . Īn discutiile care vor urma vom considera ca ≤ 1 si nu depinde de frecventa .

Figura 3.2. Diagramele Bode pentru cīstigul pe bucla īn cazul unui sistem instabil respectiv stabil

Frecventa la care amplificarea si faza transferului pe bucla sunt egale cu unu respectiv -180˚ joaca un rol important īn stabilitate si sunt numite "punct de tranzitie a cīstigului si respectiv punct de tranzitie al fazei " . Īntr-un sistem stabil punctul de tranzitie al cīstigului treubuie sa fie īnainte de punctul de tranzitie al fazei . Vom nota īn cele ce urmeaza punctul de tranzitie al cīstigului pe bucla prin GX si punctul de tranzitie al fazei prin PX . Se observa ca daca scade caracteristica cīstigului din figura 3.2. se deplaseaza īn jos determinīnd apropierea punctului de tranzitie a cīstigului pe bucla de origine ceea ce face ca sistemul sa fie stabil . Deducem ca cel mai defavorabil caz din punct de vedere al stabilitatii corespunde valorii = 1 deci amplificatorului cu reactie de cīstig unitar . Din acest motiv adeseori vom analita valoarea cīstigului si fazei urmarind cantitatea ·a = 1·a = a .

2. existenta unui pol īn functia de transfer a cīstigului pe bucla va determina īn diagrama fazei un cīstig de -90˚ (daca polul este īn semiplanul stīng) pe un interval de doua decade de frecvente , una la stīnga si una la dreapta frecventei zeroului . La frecventa zeroului defazajul este 45˚ .

Este de asemenea util sa trasam localizarea polilor sistemului īn bucla īnchisa īn planul complex , exprimīnd pulsatia fiecarui pol ca s_p=j_p+ σ_p si notīnd ca raspunsul la impuls a unui sistem conaine termeni de forma exp(j_p+ σ_p) .Observam ca daca s_p este īn semiplanul drept (ceea ce īnseamna σ_p > 0 ) atunci sistemul sete posibil sa oscileze deoarece raspunsul īn timp arata ca o exponentiala crescatoare (σ_p > 0)(figura 3.3.a) chiar daca σ_p = 0 sistemul poate īntretine oscilatia figura 3.3.b . Constatam ca daca toti polii sunt īn semiplanul stīng al planului complex toti termeni ce contin exponentiale decad īn timp la zero figura 3.3.c . Īn practica se traseaza pozitia polilor cīnd cīstigul pe bucla varieaza . Aceasta arata cīt de aproape de oscilatie este sistemul . O astfel de diagrama este numita "locul radacinilor" .

Figura 3.3. Raspunsul īn functie de pozitia polilor

a)instabilitate cu cresterea amplitudinii ; b)instabilitate cu amplitudine constanta a oscilatiei ; c) stabil ;

Vom studia īn continuare circuitul cu reactie care are un amplificator cu un singur pol īn caracteristica . Considerīnd a(s) = a₀/(1 + ) obtinem relatia 3.4.

Pentru studiul stabilitatii vom trasa caracteristica││si∟() (notatia pentru faza folosita este ∟ )

Vezi figura 3.4.

Figura 3.4. Diagramele Bode ale cīstigului pe bucla pentru un circuit cu un singur pol .

Observam ca existenta unui singur pol īn carecteristica introduce un defazaj de maxim 90˚ si sistemul este neconditionat stabil pentru toate valorile nenegative a lui . Pentru circuitul cu un singur pol īn figura 3.5 este trasat locul radacinilor . Aceasta se construieste tinīnd seama ca pozitia lui varieaza īn functie de valoarea lui fiind īntotdeauna plasat īn semiplanul stīng s_p = -. Cresterea luidetermina deplasarea polului pe axa negativa spre - ∞ .

Figura 3.5.

Circuitele contin de obicei mai multi poli . Fiecare etaj dintr-un amplificator are un pol dominant . Amplificatorul complet va putea fi caracterizat printr-o functie de transfer cu mai multi poli .

Sa consideram un circuit cu doi poli . Pentru aprecierea stabilitatii vim trasa │a·│ si ∟a· īn functie de frecventa . Īn figura 3.6. se arata ca amplitudinea scade cu 20dB/dec īncepīnd de la primul pol si cu 40dB/dec īncepīnd de la . De asemenea faza īncepe sa se modifice de la devine devine - 45˚ la si -90˚ la , se schimba apoi din nou la (daca    0,1) devine -135˚ la si asimptotic se apropie de -180˚ . Sistemul este stabil deoarece │a·│ ajunge la unu la o frecventa la care ∟a· < -180˚ .

Figura 3.6. Diagrame bode pentru transferul pe bucla ale unui circuit cu doi poli .

Daca reactia devine mai slaba (scade) vom obtine o deplasare īn jos a caracteristici remarcīnd ca punctul de tranzitie a modulului transferului pe bucla se deplaseaza spre origine . Deplasarea spre frecvente mici a punctului de tranzitie a cīstigului īn timp ce punctul de tranzitie al fazei ramīme fix determina un sistem mai stabil . Stabilitatea este īn acest caz obtinuta prin slabirea reactiei . Locul radacinilor īn cazul unui sistem cu doi poli cu functia de transfer pentru amplificator data de relatia 3.5.

H(s) = (3.5.)

Circuitul cu reactie va avea finctia de transfer 3.6.

(3.6.)

Polii vor fi determinati de relatia 3.8.

s_1,2 (3.8.)

Asa cum ne asteptam pentru = 0 polii sistemului cu reactie coincid cu polii amplificatorului s_1,2 = -,-. Pe masura ce creste termenul de sub radical scade luīnd valoarea zero pentru dat de relatia 3.9.

(3.9.)

Asa cum se observa din relatia 3.7. polii se deplaseaza de la - si unul spre celalant , coincid pentru = si devin complexi pentru >

Figura 3.7.

Īn cazul sistemului cu trei poli diagramele Bode pentru cīstig si faza sunt date īn figura 3.8. Al treilea pol determina aparitia unui defazaj suplimentar care poate face ca frecventa de tranzitie a fazei sa fie mai mica decīt frecventa de tranzitie a cīstigului ceeace va determina aperitia oscilatiilor .

Se observa din diagrama ca cel de-al treilea pol determina scaderea puternica a cīstigului pe bucla īncepīnd cu frecventa lui īn timp ce faza īncepe sa se modifice de la o frecventa de zece ori mai mica decīt frecventa sa .

Figura 3.8. Diagrame Bode ale cīstiguluipe bucla pentru un circuit cu trei poli .

Ca si īn cazul sistemului cu doi poli scaderea valori lui determina ca circuirul sa fie mai stabil , punctul de tranzitie a cīstigului deplasīndu-se spre origine iar punctul de tranzitie al fazei ramīnīnd constant .

Margine de faza

Analiza anterioara a aratat ca pentru stabilitate │a·│trebuie sa cada la unu īnainte ca ∟a· sa ajunga -180˚ . Este natural sa ne īntrebam : cīt de departe trebuie sa fie frecventa de tranzitie a fazei si cīstigului ? Sa consideram īntīi un caz extrem aratat īn figura 3.9. īn care punctul de tranzitie al cīstigului (GX) este foarte apropiat de punctul de tranzitie al fazei (PX) ; de exemplu īn punctul GX defayajul este -175˚ . Cum va raspunde sistemul īn bucla īnchisa īn acest caz ? Precizam ca īn punctul de tranzitie al cīstigului = 1·exp(-j·175˚) , si deci :

(3.10.)

(3.11.)

= (3.12.)

si deci : ││ (3.13.)

(3.14.)

Figura 3.9.Raspunsul īn timp si īn frecventa īn bucla īnchisa pentru : a)diferenta mica īntre punctul de tranzitie al fazei si frecventei ; b)diferenta mare ;

Deoarece la frecvente joase │ │ raspunsul īn frecventa cu bucla īnchisa are o supracrestere (un vīrf ascutit) īn vecinatatea pulsatiei . Cu alte cuvinte sistemul īn bucla īnchisa este aproape de oscilatie iar raspunsul la un semnal treapta contine o oscilatie ce se amortizeaza lent . Aceasta arata ca īntrun circuit cu doi poli pot aparea oscilatii amortizate chiar daca el este stabil .

Sa consideram asa cum se arata īn figura 3.9.b , Gx īnainte de PX la o distanta considerabila . Īnacest caz se va obtine un raspuns bun atīt īn timp cīt si īn frecventa . Īn consecinta este plauzibil sa deducem ca o departare mai mare īntre GX si PX (GX fiind mai mic decīt PX) determina un sistem cu reactie mai stabil . Cu alte cuvinte faza transferului pe bucla la frecventa de tranzitie a cīstigului poate servi ca o masura a stabilitati .

Aceste observatii ne conduc la conceptul de "rezerva de faza " (P.M.) , definita ca

P.M.=180˚+∟a , unde este frecventa de tranzitie a cīstigului .

Sa consideram un circuit cu doi poli proiectat astfel īncīt si ca īn figura 3.10. Sa stabilim rezerva de faza a acestui circuit .

Figura 3.10

Deoarece ∟˚ la rezerva de faza este 45˚.

Sa urmarim sa stabilim care este rezerva de faza optima . Īn acest scop vom examina raspunsul īn frecventa cu bucla īnchisa pentru diferite margini de faza . Astfel pentru P.M. =45˚ la frecventa de tranzitie a cīstigului ∟˚ si ││=1 . Vom obtine relatiile 3.15. si 3.16 :

(3.15.)

(3.16.)

Figura 3.11.Raspunsul īn frecventa cu bucla īnchisa pentru rezerva de faza 45˚

Deducem ca :

│ │ (3.17.)

(3.18.)

Relatiile arata ca raspunsul īn frecventa a sistemului cu reactie se modifica cu aproximativ 30% la . Īn cazul īn care rezerva de faza este P.M. = 60˚

, ceea ce arata un vīrf neglijabil īn caracteristica . Īn cazul raspunsului la semnal treapta sistemul cu reactie nu are oscilatii , valoarea finala instalīndu-se rapid . Pentru rezerve de faza mai mari , sistemul este mai stabil , dar raspunsul īn timp este mai lent (figura 3.12). Deci P.M.=60˚ este tipic considerata ca valoare optima .

Figura 3.12. Raspunsul īn timp cu bucla īnchisa pentru o rezerva de faza de : a)45˚ ; b)60˚ ; c)90˚ ;

Compensarea īn frecventa

Tipic un amplificator operational are mai multi poli . Īn circuitele cu cascode , de exemplu , fiecare nod de conectare a cascodelor si nodul de iesire determina poli . Din acest motiv amplificatoarele trebuie compensate ceea īnseamna ca transferul īn bucla deschisa trebuie modificat astfel īncīt circuitul īn bucla īnchisa safie stabil si raspunsul īn timp sa aibe forma dorita .

Conditiile pentru compensare cer ca │a·│sa nu ajunga la unu decīt īnainte ca ∟a· sa devina -180˚ . Putem postula ca stabilitatea se realizeaza prin :

1.reducīnd variatia completa a fazei astfel īncīt sa deplasam dincolo de punctul de tranzitie al cīstigului punctul de tranzitie al fazei (figura 3.14.a.) ;

2.reducīnd cīstigul astfel īncīt sa plasam punctul de tranzitie al cīstigului la frecvente mai decīt punctul de tranzitie al fazei (figura 3.14.b)

Figura 3.14. Compensarea īn frecventa prin : a)deplasīnd pe PX īn afara ; b)deplasīnd pe

GX īnauntru ;

Prima data trebuie sa ne focalizam atentia la reducerea numarului de poli din calea de semnal printr-o proiectare corecta . Deoarece fiecare etaj contribuie cu cel putin un pol deducem ca trebuie minimizat numarul etajelor , ceea ce determina o amplificare mica si/sau o excursie limitata īn iesire . O adoua posibilitate consta īn a pastra amplificarea īn joasa frecventa si excursia din iesire si īn a reduce banda fortīnd amplificarea sa scada īnsa de la frecvente foarte joase .

Īn practica prima data urmarim sa proiectam amplificatorul minimizīnd numarul polilor si pastrīnd celalante cerinte . Daca circuitul rezultat nu va avea o rezerva de faza suficienta vom compensa amplificatorul modificīnd proiectarea sau deplasīnd frecventa de tranzitie a amplificarii spre origine .

Vom urmari procedura prezentata la cīteva structuri de amplificatoare . Vom īncepe cu un amplificator realizat din cascode (telescopic cascode) dat īn figura 3.15 īn care oglinda de curent PMOS realizeaza conversia de la modul diferential la modul asimetric (de la doua intrari la o iesire) . Vom identifica numarul de poli din calea de semnal : calea de semnal unu contine un pol la īnalta frecventa īn sursa lui M₃ , un pol detrminat de oglinda īn nodul A si un alt pol de īnalta frecventa determinat de sursa lui M₇ ; īn timp ce calea doi contine un pol de īnalta frecventa determinat de sursa lui M₄ .

Cele doua cai determina īnpreuna polul de iesie .

Figura 3.15. Amplificator telescopic cu o singura iesire .

Este util sa estimam pozitia relativa a acestor poli . Deoarece rezistenta de iesire din amplificator este mai mare decīt rezistenta de semnal mic vazuta din orice nod al circuitului deducem ca chiar cu o valoare moderata a capacitatii de sarcina , polul din iesire , , este apropiat de origine . Acesta va fi polul dominant care īn mod normal determina valoare frecventei superioare a benzii (definita cu 3dB) īn bucla deschisa .

Vom arata ca primul pol nedominant , plasat cel mai aproape de origine dupa polul dominant este determinat de nodul A .Aceasta este determinatī de faptul ca īn acest nod capacitatea totala este egala cu : C_GS5+C_GS6+C_DB5+2C_GD6+C_DB3+C_GD3 este tipic , mai mare decīt ce a nodurilor X,Y si N si rezistenta īn semnal mic a tranzistorului M₅ este aproximativ (1/g_m5) de valoare relativ mare .

Care din nodurile N sau X (sau Y) vor determina urmatorul pol nedominant ?

Sa precizam ca tranzistoarele PMOS sunt tipic mai mare decīt tranzistoarele NMOS . Comparīnd M₄ si M₇ si neglijīnd efectul de substrat deoarece g_m =2I_D/│V_GS-V_TH│, (V_TH fiind tensiunea de prag) ,deducem ca daca cele doua tranzistoare sunt proiectate sa aiba aceiasi supracomanda , ele vor avea aceiasi transconductanta . Din caracteristica patratica obtinem , raport care este aproximariv 1/3 la tehnologiile actuale . Deci nodul N si X (sau Y) ofera rezistente egale īn semnal mic spre mare . Dar nodul N are capacitate mai mare . Asadar este plauzibil sa consideram ca nodul N determina urmatorul pol nedominant . Figura 3.16. arata pozitionarea anterior discutata a polilor folosind pentru capacitatile noduriilor A , N si X notatiile C_A , C_N si C_X .

Figura 3.16. Plasarea polilor pentru amplificatorul din figura 3.15.

Utilizīnd pozitia polilor anterior determinata vom construi diagramele de amplitudine si faza pentru transferul pe bucla ·a . Vom folosi =1 pentru a ne plasa īn cel mai defavorabil caz . Caracteristicile trasate īn figura 3.11. arata ca polul oglinzii limiteaza tipic marginea de faza deoarece contributia acestuia la faza transferului pe bucla apare la frecvente mai joase decīt a celorlanti poli nedominanti .

Figura 3.17. Diagramele Dobe ale transferului pe bucla pentru amplificatorul din figura 3.15.

Cum vom compensa amplificatorul ? Sa consideram ca toti polii nedominanti apar la frecvente mai mari decīt 10· si ca pozitia lor ramīne constanta . Trebuie sa fortam cīstigul pe bucla sa scada astfel īncīt frecventa de tranzitie a cīstigului sa se deplaseze spre origine (spre frecvente mai mici) . Pentru a realiza aceasta , scaderea frecventei polului dominant ,vom creste capacitatea sarcinii . Aceasta deplasare este posibila deoarece polul dominant contribuie la frecventa de tranzitie a cīstigului sau fazei , cu un defazaj de 90˚ relativ independent de pozitia polului (frecventa polului dominant fiind mult mai mica decīt cele doua frecvente de tranzitie). Īn figura 3.18. se arata ca tranzlatia polului dominant spre origine afecteaza numai caracteristica de amplitudine si foarte putin pe cea de faza .

Figura 3.18. Deplasarea polului dominant spre origine .

Pentru a īntelege cīt de mult poate fi mutat polul dominant spre origine , ceea ce este un lucru important , se considera ca :

1. al doilea pol nedominant īn figura 3.15 este la frecventa mai mare decīt polul oglinzii astfel īncīt defazajul la = este egal cu -135 .

2. este necesara o rezerva de faza de cel putin 45˚ (care de obicei este insuficienta.

Pentru a compensa circuitul identificam īntīi frecventa la care diagrama fazei realizeaza rezerva de faza ceruta ,īn acest caz . Deoarece polul dominant trebuie sa determine caderea cīstigului la unu la frecventa la care se realizeaza rezerva de faza impusa , īn cazul nostru , cu o panta de 20dB/dec , vom trasa o linie dreapta de la

spre origine cu o panta corespunzatoare (īn cazul nostru 20 dB/dec) figura 3.19. Vom obtine o valoare noua pentru polul dominant . Aceasta īnseamna ca trebuie sa crestem capacitatea de sarcina cu un factor (/) .

Din noua caracteristica de amplitudine observam frecventa la care cīstigul devine unitar pentru amplificatorul compensat este egala cu frecventa primului pol nedominant (desigur cu o rezerva de faza de 45˚) .

Figura 3.19. Deplasarea polului dominant spre origine pentru rezerva de faza de 45˚ .

Acesta este un rezultat fundamental si arata ca pentru a realiza o banda larga īntrun sistem cu reactie ce foloseste un amplificator , primul pol nedominant trebuie sa fie cīt mai departe posibil . Din acest motiv polul oglinzii devine nedorit .

Precizam ca , desi = (R_out·C_L)cresterea lui R_out nu poate compensa amplificatorul. Din figura 3.20. se vede ca o valoare pentru R_out determina o amplificare mai mare afectīnd numai portiunea de joasa frecventa a caracteristici .

Figura 3.20. Diagramele Bode pentru transferul pe bucla īn cazul unei rezistente mai    mari īn iesire .

Sa consideram cascada telescopica diferentiala din figura 3.21. Cu scopul realizarii a diferite proprietati utile la functionarea diferentiala , aceasta topologie evita polul oglinzii prezentīnd comportare stabila pentru o bande mai larga . De fapt noi putem identifica un pol dominant īn fiecare nod de iesire si numai un pol nedominant este generat de nodul X (sau Y) . Aceasta sugereaza ca circuitul cascada telescopica complet diferential este foarte stabil .

Figura 3.21. Amplificator cascada telescopica complet diferentiala .

Ce se poate spune īnsa despre polul determinat de nodul N sau K din figura 3.21.? Sa consideram o cascada PMOS ca si cea desenata īn figura 3.22.a. Capacitatea din nodul N , C_N=C_GS5+C_SB5+C_GD7+C_DB7 sunteaza rezistenta de iesire a trantistorului M₇ la frecvente īnalte , ceea ce scade impedanta de iesire a cascadei . Pentru a aprecia acest efect sa determinam īntīi Z_out din figura 3.22.a.

Z_out = (1+ g_m5r_o5)Z_N +r_o5 (3.19.)

īn care efectul substratului este neglijat si Z_N =r_o7//(C_­N·s).

Figura 4.22. Efectul capacitatilor dispozitivelor īntr-un nod intern a sursei de curent cascoda .

Considerīnd ca primul termen este mai mare decīt al doilea obtinem relatiile (4.20.) .

Z_out (1+ g_m5r_o5)· (4.20.)

Asa cum am aratat īn figura 3.22.b. considerīnd capacitatea de iesire a sarcinii obtinem :

Z_out// (3.21.)

(3.22.)

Observam ca gruparea pararel a impedantei Z_out si a capacitatii de sarcina contine īnca un singur singur pol corespunzator unei constante de timp (1 + g_m5r_o5)r_o7C_L + r_o7C_N. Precizam ca (1 + g_m5r_o5)r_o7C_L este determinat de rezistenta de iesire din joasa frecventa a cascodei . Cu alte cuvinte constanta de timp complexa este egala cu constanta de timp din iesire sumata cu r_o7·C_L . Esenta acestui calcul consta īn aceia ca polul cascodei PMOS este unit cu polul iesirii si nu determina poli suplimentari . Aceasta coboara frecventa polului diminant cu o cantitate mica . Din acest motiv putem spune ca semnalul nu "vede" polul din sursa de curent cascoda .

Comparīnd circuitele din figura 3.15 si 3.21 observam ca etajul diferential complet evita polul oglinzii si polul din nodul N .Cu aproximarea facuta īn relatia 3.22. , circuitul din figura 3.21. contine numai un pol nedominant plasat la o frecventa relativ īnalta determinat de transconductanta relativ mare a tranzistorului NMOS . Aceasta este un avantaj relativ remarcabil a amplificatorului complet diferential .

Compensarea amplificatoarelor cu doua etaje

Topologiile cu doua etaje sunt inevitabile pentru obtinerea unei excursii de tensiune maxime īn iesire . Din acest motiv stabilitatea si compensarea acestor amplificatoare este utila .

Figura 3.23. Amplificator cu doua etaje .

Sa consideram circuitul din figura 3.23. Vom identifica trei poli : un pol īn nodul X (sau Y) ,un altul īn E (sau F) si un al treilea īn A (sau B) . Din discutia anterioara cunoastem ca polul din X este la frecvente relativ īnalte . Ce se poate spune despre celalante doua ? Deoarece rezistenta de semnal de semnal mic vazuta īn E este foarte īnalta , chiar si capacitatile tranzistoarelor M₃ , M₅ si M₉ pot determina un pol relativ apropiat de origine. Īn nodul A rezistenta de semnal mic este mai mica dar capacitatea C_L poate fi foarte mare . Īn consecinta putem spune ca circuitul prezinta doi poli dominanti .

Pornind de la aceasta observatie vom construi diagramele de amplitudine si faza din figura 3.24. Aici este considerat cel mai dominant , dar pozitia relativa a polilor si depinde de proiectare si de capacitatea de sarcina . Precizam ca deoarece polii E si A sunt relativi apropiati de origine ,defazajul este aproximativ -180˚ īn apropierea frecventei celui deal treilea pol . Īn concluzie rezerva de faza este aproximativ zero chiar īnainte ca cel deal trei-lea pol sa contribuie cu un defazaj semnificativ .

Sa investigam comportarea īn frecventa a unui amplificator cu doua etaje .

Figura 3.24. Diagramele Bode pentru cīstigul buclei la un amplificator cu doua etaje .

Īn figura 3.24. unul din cei doi poli dominanti trebuie deplasat spre origine astfel īncīt frecventa de tranzitie a cīstigului sa se plaseze sub frecventa de tranzitie a fazei . Din discutiile anterioare am observat ca banda de cīstig unitar dupa compensare nu poate depasi frecventa celui de al doilea pol din bucla deschisa a sistemului .Astfel daca īn figura 3.24 reducem valoare lui banda disponibila este limitata la aproximativ ,

avīnd o valoare redusa .Īn plus o valoare foarte mica a polului dominant cere (pentru realizare) o valoare foarte mare pentru capacitatea de compensare .

Din fericire se pioate utiliza o metoda mai eficienta de compensare pentru circuitul din figura 3.23. . Pentru a deduce aceasta metoda precizam asa cum este aratat īn figura 3.25.a. ca primul etaj prezinta o impedanta mare de iesire , iar al doilea etaj are un cīstig moderat , care furnizeaza o valoare potrivita pentru capacitatea generata de multipilcarea prin efect Miller . Prezentata īn figura 3.25.b ideea consta īn a crea o capacitate mare īn nodul E , egala cu (1 + A)·C_C , deplasīnd polul corespunzator , (R_out) , unde C_E constituie capacitatea din nodul E īnainte de conectarea capacitatii C_c .

Īn concluzie se poate obtine unpol la frecventa joasa cu un condensator de valoare moderata , salvīnd o suprafata considerabila a chipului . Aceasta tehnica este numita "compensare Miller"

Figura 3.25. Compensarea Miller a unui amplificator cu doua etaje .

Pe līnga reducerea valorii capacitatii necesare , compensarea Miller ofera o propietate importanta : deplaseaza polul iesiri departe de origine . Acest efect este aratat īn figura 3.26. si este numit "separarea polilor" . Pentru a īntelege acest principiu vom simplifica etajul de iesire din figura 3.23. ca īn figura 3.27. , īn care R_S noteaza rezistenta din iesire a primului etaj si R_L=r_o9//r_o11 . Analiza arata ca acest circuit contine doi poli :

(3.23.)

(3.24.)

Expresia obtinuta pentru are la baza presupunerea ││<<│ │. Īnainte de compensare , oricum si au aproximativ aceiasi valoare . Pentru C_C = 0 si valori relativ mari ale capacitatii de sarcina C_L putem aproxima polul din iesire cu

Figura 3.26. Separarea polilor rezultata din compensarea Miller

Figura 3.27. Circuitul simplificat al amplificatorului cu doua etaje .

Pentru a compensa valorile lui īnainte si dupa compensare vom considera un caz tipic : C_C+C_GD9 >> C_E , aceasta reducīnd relatia la . Īn situatia tipica C_E<<C_L deducem ca compensarea Miller creste valoarea polului din iesire cu aproximativ un factor egal cu g_m9·R_L , care este o valoare relativ mare . Intuitiv aceasta se realizeaza deoarece la īnalta frecventa C_C prezinta o impedanta mica īntre grila si drena lui M₉ reducīnd rezistenta vazuta de C_L de la R_L la aproximativ R_S//g//R_Lg

Īn concluzie compensarea Miller determina deplasarea polului dintre etaje spre origine si a polului din iesire departe de origine , generīnd , o banda mult mai mare decīt aceea obtinuta prin conectarea directa a capacitatii de compensare dintr-un nod la masa . Īn practica alegerea capacitatii de compensare pentru o rezerva de faza impusa cere cīteva iteratii .