Stabilitatea sistemelor liniare

5.7.1. Stabilitatea sistemelor liniare

Fie sistemul liniar:

x'(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)

y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)

Cazul u(t)=0

În acest caz: x(t)=f(t,t₀)x(t₀)

Norma corespunzãtoare este:

||x(t)||=||f(t,t₀)x(t₀)|| f(t,t₀)|| ||x(t₀)||

Sã presupunem cã existã un numãr N(t₀) astfel ca:

f(t,t₀)|| N(t₀), pentru orice t t₀,

atunci definiþia lui (s 24324t192y sL) este satisfãcutã pentru orice e>0 dacã considerãm d(t₀,e e/N(t₀) (care este o condiþie necesarã ºi suficientã).

Originea spaþiului stãrilor este (sA) dacã pe lângã inegalitatea ||f(t,t₀)|| N(t₀) avem ºi ||f(t,t₀)|| 0, pentru t .

Cazul u(t)

În acest caz avem:

x(t)=f(t,t0)x(t0)+f(t,t)B(t)u(t)dt

Stabilitatea BIBS cere ca pentru u(t) mãrginit, starea x(t) sã rãmânã mãrginitã. Se observã cã (ssL) este o condiþie pentru stabilitatea BIBS. Dacã calculãm norma ||x(t)|| observãm cã aceasta va fi mãrginitã dacã existã un N₁(t₀), astfel ca:

||f(t,t₀)B(t)||dt N₁(t₀);    orice t t₀.

Stabilitatea BIBO presupune luarea în considerare a ecuaþiei de ieºire a sistemului:

y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t).

În aceasta se înlocuieºte soulþia x(t) obþinutã ajungem la o formã:

y(t)=W(t,t)u(t)dt

Considerând intrare mãrginitã ||u(t K, pentru orice t, atunci ieºirea rãmâne mãrginitã dacã existã M>0, astfel ca matricea de ponderare a ieºirii W(t,t) satisface relaþia:

||W(t,t)||dt M; pentru orice t

care este o condiþie necesarã ºi suficientã a stabilitãþii BIBO.

Obs: - Putem folosi urmãtoarele norme de matrici:

f(t,t₀)||²=max

f(t,t₀)||²=max(valoare proprie ft(t,t₀) f(t,t₀))

- Dacã l_i este o valoare proprie lui f(t,t₀) atunci avem o relaþie utilã ||f(t,t₀)||² l_i|² pentru orice valoare proprie.

5.7.2. Clasificarea punctelor de echilibru

Pe lângã faptul cã un punct de echilibru poate sã fie stabil, instabil, sau oarecare, sã considerãm setul de vectori proprii corespunzãtori lui A, ca o bazã ºi scriem:

x(t)=w (0)e^l1tx w (0)e^l2tx w_n(0)e^lntx_n

unde: w(0)=M^-1x₀ ºi M este matricea modalã corespunzãtoare.

Exemplificãm pentru un sistem de ordinul doi, deci pentru douã valori proprii:

douã valori proprii reale, stabile NOD STABIL
fig.1

douã valori proprii reale, una stabilã, cealaltã instabilã PUNCT DE ªA
fig.2

douã valori proprii instabile NOS INSTABIL
fig.3

douã valori proprii complexe

x(t)=e^bt x_R x_I

unde x_R ºi x_I sunt partea realã ºi partea imaginarã a vectorului x

Dacã b, partea realã este negativã FOCAR STABIL

fig.4

Dacã b>0 FOCAR INSTABIL
fig.5

Dacã b CENTRU
fg.6

5.7.3. Metoda directã Lyapunov

Dupã metodele prezentate, studiul stabilitãþii unui sistem presupune cunoaºterea matricii f(t,t₀). Pentru a evita aceasta se considerã metoda directã Lyapunov. Metoda poate fi consideratã ca o formã de energie generalizatã.
Funcþia scalarã V(x), continuã ºi cu derivate parþiale continue este pozitiv definitã într-un domeniu W W) dacã:

a) V(0)=0

b) V(x)>0; orice x x W

Dacã in b) avem V(x) 0 pentru orice x W, atunci V(x) este pozitiv semidefinitã.
Sã considerãm un sistem autonom (u(t)=0) caracterizt prin:

x=f(x)

cu originea ca ounct de echilibru (f(0)=0).

Teoremã: Dacã o funcþie pozitiv definitã V(x) se poate determina astfel ca V'(x) 0, atunci originea este (ssL).

Teoremã: Dacã o funcþie pozitiv definitã V(x) se poate determina astfel ca V'(x) este negativ definitã atunci originea este (sA).

Este vorba de stabilitatea localã în vecinãtatea W a originii.

Teoremã: Originea spaþiului stãrilor este un punct de stabilitate asimptoticã globalã pentru sistemul dat dacã se poate gãsi o funcþie Lyapunov V(x) astfel ca:

a) V(x)>0 pentru orice x ºi V(0)=0;

b) V'(x)<0 pentru orice x

c) V(x) dacã ||x||

Cum obþinem pe V(x)?

Nu existã o soluþie unicã V(x). Aflarea lui V(x)pentru un sistem liniar se considerã dupã cum urmeazã:
Se alege o formã:

V(x)=xPx

unde P este o matrice realã, simetricã, pozitiv definitã.

În acest caz:

V'(x)=x'^tPx+x^tPx'+x^tP'x

Dar avem:

x'=Ax

ºi astfel rezultã:

V'(x)=x^t[A^tP+PA+P']x

Dacã sistemul este (sA) atunci V' trebuie sã fie negativ definitã

A^tP+PA+P'=-Q

unde Q este o matrice pozitiv definitã.

Dacã A=constant P-poate sã fie o matrice constantã ºi P'=0. Astfel rezultã ecuaþia de tip Lyapunov :

A^tP+PA=-Q

O soluþie unicã (p) a acestei ecuaþii va exista pentru fiecare Q dacã nu existã douã valori proprii pentru A care sã satisfacã:

l_i l_j

Dacã Q este numai pozitiv semidefinitã, atunci avem de a face cu (ssL).

Teoremele de mai sus pot fi extinse ºi în cazul când:

x'(t)=f(x,t)

5.8. Controlabilitatea, observabilitatea sistemelor liniare

Fie un sistem liniar descris ºi spaþiul stãrilor cu matricile A,B,C,D, care depind de alegerea bazei spaþiului stãrilor .
Un set este o reprezentare a sistemului (o realizare a sistemului).

A:

B:U_m

C: y_p

D:U_m y_p

Controlabilitatea implicã matricile A,B.

Definiþie: Un sistem liniar este controlabil la momentul t₀, dacã este posibilã gãsirea unor u(t), cu ajutorul cãrora din starea iniþialã x(t₀) se va ajunge în originea lui într-un timp finit t₁, t₁>t₀.
Deci existã u_[t0,t1] care ne va da x(t₁)=0 la momentul finit t₁. Dacã acest lucru este adevãrat pentru orice t₀ ºi orice x(t₀) atunci sistemul este complet controlabil.

Obs: - dacã B=[0] atunci sistemul nu este controlabil;
- pentru sisteme optimale, sistemul trebuie sã fie complet controlabil.

Observabilitatea

Definiþie: Un sistem liniar este observabil la momentul t₀, dacã x(t₀) se poate determina pe baza lui y_[t0,t1]; t₀ t₁ unde t₁ este un moment finit. Dacã acest lucru este adevãrat pentru orice t₀ ºi orice x(t₀) atunci sistemul este complet observabil.

Observabilitatea unui sistem este de mare importanþã în cazul estimãrilor de stare.

Criterii de controlabilitate

a)Un sistem caracterizat prin A=constant ºi valori proprii distincte este complet controlabil dacã nu avem nici o linie de zerouri în: B_n=M^-1B

b)Un sistem caracterizat prin A=constant, ºi fiind reprezentat de este complet controlabil dacã matricea P de dimensiune nxm n are rangul n:
P=[B|AB|A²B|.......|A^n-1B]

c)Un sistem de ordin n reprezentat de este controlabil dacã ºi numai dacã matricea: [sI-A|B] are rangul n pentru orice s

d)Fie un sistem liniar reprezentat de . Pentru un u(t) la momentul t₁ avem soluþia:

x(t₁)=f(t₁,t₀)x(t₀)+f(t₁,t)B(t)u(t)dt

notãm:

x(t₁)-f(t₁,t₀)x(t₀)=x_t1 constantã

notãm:

A_c(u)=f(t₁,t)B(t)u(t)dt

A_c:U

Problema controlabilitãþii complete se reduce la: A_c(u)=x_l are o soluþie u pentru orice x_l

Teoremã: Un sistem descris de x'(t)=A(t)x+B(t)u(t) este complet controlabil pe intervalul [t₀,t₁] dacã una din condiþiile de mai jos este satisfãcutã:

G(t₁,t₀) este o matrice pozitiv definitã

zero nu este o valoare proprie lui G(t₁,t₀)

det(G(t₁,t₀))

unde:

G(t₁,t₀)=f(t₁,t)B(t)B^t t f^t(t₁,t)dt

Criterii de observabilitate

a)Un sistem liniar caracterizat prin A=constant ºi valori proprii distincte este complet observabil dacã ºi numai dacã nu avem nici o coloanã de zerouri pentru C_n=CM

b)Un sistem liniar cu A=constant este complet observabil dacã ºi numai dacã matricea Q de dimensiunea nxn p are rangul n:
Q=[C^t|A^tC^t|A^2tC^t|......|A^n-1tC^t

c)Un sistem de ordin n, reprezentat de este observabil dacã ºi numai dacã matricea: [sI-A^t|C^t] are rangul n pentru orice valoare al lui A

d)Fie un sistem liniar reprezentat de . Forma generalã a ieºirii este:
y(t)=C(t)f(t,t₀)x(t₀)+C(t)f(t,t)B(t)u(t)dt+D(t)u(t)
Presupunem pe u(t) cunoscut, ºi cei doi termeni care depind de intrare se pot grupa cu y(t) ºi notãm termenul obþinut cu y₁(t). Problema pusã este: cunoscând pe y₁(t), putem determina univoc pe x(t₀)?

Definim:

A₀(x(t₀))=C(t)f(t,t₀)x(t₀)

Problema de rezolvat:

A₀(x(t₀))=y₁(t)

are sau nu soluþie.

Fie matricea:

H(t₁,t₀)=ft t,t₀)Ct t)C(t f t,t₀)dt

Teoremã: Un sistem caracterizt prin:

x'=A(t)x(t)+B(t)u(t)

y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)

este complet observabil în t_0, dacã existã un moment finit t₁ pentru care una din condiþiile care urmeazã existã:

H(t₁,t₀) este o matrice pozitiv definitã

zero nu este o valoare proprie lui H(t₁,t₀)

det(H(t₁,t₀))

Obs: P este matricea controlabilitãþii, iar Q este matricea observabilitãþii.

Dacã rang(P)=r_p<n atunci spaþiul stãrilor se poate descompune în douã subspaþii ortogonale: . Sã numim subspaþiul - subspaþiul controlabilitãþii (de dimensiunea r_p). Rezultã o matrice de transformare de forma:

T=[T₁|T₂];    (metodã bazatã pe descompunerea QR).

Dacã facem schimbarea de vector de stare:

X=Tw (T^-1=T^t

w'=T^tATw+T^tBu

w+Du

y=[CT₁|CT₂]w+Du

Se poate arãta cã T₂^tB=[0] deci variabilel de control nu au nici un efect asupra stãrilor, la fel T₂^tAT₁=[0] deci stãrile w nu sunt cuplate la stãrile w . Astfel am obþinut descompunerea canonicã Kalman controlabilã.

În mod analogic se poate obþine descompunerea canonicã Kalman observabilã, bazatã pe matricea Q (x=V_v)

y=[CV₁|[0]]+Du

Deci v₂ nu contribuie la formarea ieºirii ºi nu putem identifica v₂ pe baza lui y (ce depinde de v₁).