Stabilitatea sistemelor liniare

5.7.1. Stabilitatea sistemelor liniare

Fie sistemul liniar:

x'(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)

y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)

Cazul u(t)=0

În acest caz: x(t)=f(t,t₀)x(t₀)

Norma corespunzătoare este:

||x(t)||=||f(t,t₀)x(t₀)|| f(t,t₀)|| ||x(t₀)||

Să presupunem că există un număr N(t₀) astfel ca:

f(t,t₀)|| N(t₀), pentru orice t t₀,

atunci definiția lui (s 24324t192y sL) este satisfăcută pentru orice e>0 dacă considerăm d(t₀,e e/N(t₀) (care este o condiție necesară și suficientă).

Originea spațiului stărilor este (sA) dacă pe lângă inegalitatea ||f(t,t₀)|| N(t₀) avem și ||f(t,t₀)|| 0, pentru t .

Cazul u(t)

În acest caz avem:

x(t)=f(t,t0)x(t0)+f(t,t)B(t)u(t)dt

Stabilitatea BIBS cere ca pentru u(t) mărginit, starea x(t) să rămână mărginită. Se observă că (ssL) este o condiție pentru stabilitatea BIBS. Dacă calculăm norma ||x(t)|| observăm că aceasta va fi mărginită dacă există un N₁(t₀), astfel ca:

||f(t,t₀)B(t)||dt N₁(t₀);    orice t t₀.

Stabilitatea BIBO presupune luarea în considerare a ecuației de ieșire a sistemului:

y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t).

În aceasta se înlocuiește soulția x(t) obținută ajungem la o formă:

y(t)=W(t,t)u(t)dt

Considerând intrare mărginită ||u(t K, pentru orice t, atunci ieșirea rămâne mărginită dacă există M>0, astfel ca matricea de ponderare a ieșirii W(t,t) satisface relația:

||W(t,t)||dt M; pentru orice t

care este o condiție necesară și suficientă a stabilității BIBO.

Obs: - Putem folosi următoarele norme de matrici:

f(t,t₀)||²=max

f(t,t₀)||²=max(valoare proprie ft(t,t₀) f(t,t₀))

- Dacă l_i este o valoare proprie lui f(t,t₀) atunci avem o relație utilă ||f(t,t₀)||² l_i|² pentru orice valoare proprie.

5.7.2. Clasificarea punctelor de echilibru

Pe lângă faptul că un punct de echilibru poate să fie stabil, instabil, sau oarecare, să considerăm setul de vectori proprii corespunzători lui A, ca o bază și scriem:

x(t)=w (0)e^l1tx w (0)e^l2tx w_n(0)e^lntx_n

unde: w(0)=M^-1x₀ și M este matricea modală corespunzătoare.

Exemplificăm pentru un sistem de ordinul doi, deci pentru două valori proprii:

două valori proprii reale, stabile NOD STABIL
fig.1

două valori proprii reale, una stabilă, cealaltă instabilă PUNCT DE ȘA
fig.2

două valori proprii instabile NOS INSTABIL
fig.3

două valori proprii complexe

x(t)=e^bt x_R x_I

unde x_R și x_I sunt partea reală și partea imaginară a vectorului x

Dacă b, partea reală este negativă FOCAR STABIL

fig.4

Dacă b>0 FOCAR INSTABIL
fig.5

Dacă b CENTRU
fg.6

5.7.3. Metoda directă Lyapunov

După metodele prezentate, studiul stabilității unui sistem presupune cunoașterea matricii f(t,t₀). Pentru a evita aceasta se consideră metoda directă Lyapunov. Metoda poate fi considerată ca o formă de energie generalizată.
Funcția scalară V(x), continuă și cu derivate parțiale continue este pozitiv definită într-un domeniu W W) dacă:

a) V(0)=0

b) V(x)>0; orice x x W

Dacă in b) avem V(x) 0 pentru orice x W, atunci V(x) este pozitiv semidefinită.
Să considerăm un sistem autonom (u(t)=0) caracterizt prin:

x=f(x)

cu originea ca ounct de echilibru (f(0)=0).

Teoremă: Dacă o funcție pozitiv definită V(x) se poate determina astfel ca V'(x) 0, atunci originea este (ssL).

Teoremă: Dacă o funcție pozitiv definită V(x) se poate determina astfel ca V'(x) este negativ definită atunci originea este (sA).

Este vorba de stabilitatea locală în vecinătatea W a originii.

Teoremă: Originea spațiului stărilor este un punct de stabilitate asimptotică globală pentru sistemul dat dacă se poate găsi o funcție Lyapunov V(x) astfel ca:

a) V(x)>0 pentru orice x și V(0)=0;

b) V'(x)<0 pentru orice x

c) V(x) dacă ||x||

Cum obținem pe V(x)?

Nu există o soluție unică V(x). Aflarea lui V(x)pentru un sistem liniar se consideră după cum urmează:
Se alege o formă:

V(x)=xPx

unde P este o matrice reală, simetrică, pozitiv definită.

În acest caz:

V'(x)=x'^tPx+x^tPx'+x^tP'x

Dar avem:

x'=Ax

și astfel rezultă:

V'(x)=x^t[A^tP+PA+P']x

Dacă sistemul este (sA) atunci V' trebuie să fie negativ definită

A^tP+PA+P'=-Q

unde Q este o matrice pozitiv definită.

Dacă A=constant P-poate să fie o matrice constantă și P'=0. Astfel rezultă ecuația de tip Lyapunov :

A^tP+PA=-Q

O soluție unică (p) a acestei ecuații va exista pentru fiecare Q dacă nu există două valori proprii pentru A care să satisfacă:

l_i l_j

Dacă Q este numai pozitiv semidefinită, atunci avem de a face cu (ssL).

Teoremele de mai sus pot fi extinse și în cazul când:

x'(t)=f(x,t)

5.8. Controlabilitatea, observabilitatea sistemelor liniare

Fie un sistem liniar descris și spațiul stărilor cu matricile A,B,C,D, care depind de alegerea bazei spațiului stărilor .
Un set este o reprezentare a sistemului (o realizare a sistemului).

A:

B:U_m

C: y_p

D:U_m y_p

Controlabilitatea implică matricile A,B.

Definiție: Un sistem liniar este controlabil la momentul t₀, dacă este posibilă găsirea unor u(t), cu ajutorul cărora din starea inițială x(t₀) se va ajunge în originea lui într-un timp finit t₁, t₁>t₀.
Deci există u_[t0,t1] care ne va da x(t₁)=0 la momentul finit t₁. Dacă acest lucru este adevărat pentru orice t₀ și orice x(t₀) atunci sistemul este complet controlabil.

Obs: - dacă B=[0] atunci sistemul nu este controlabil;
- pentru sisteme optimale, sistemul trebuie să fie complet controlabil.

Observabilitatea

Definiție: Un sistem liniar este observabil la momentul t₀, dacă x(t₀) se poate determina pe baza lui y_[t0,t1]; t₀ t₁ unde t₁ este un moment finit. Dacă acest lucru este adevărat pentru orice t₀ și orice x(t₀) atunci sistemul este complet observabil.

Observabilitatea unui sistem este de mare importanță în cazul estimărilor de stare.

Criterii de controlabilitate

a)Un sistem caracterizat prin A=constant și valori proprii distincte este complet controlabil dacă nu avem nici o linie de zerouri în: B_n=M^-1B

b)Un sistem caracterizat prin A=constant, și fiind reprezentat de este complet controlabil dacă matricea P de dimensiune nxm n are rangul n:
P=[B|AB|A²B|.......|A^n-1B]

c)Un sistem de ordin n reprezentat de este controlabil dacă și numai dacă matricea: [sI-A|B] are rangul n pentru orice s

d)Fie un sistem liniar reprezentat de . Pentru un u(t) la momentul t₁ avem soluția:

x(t₁)=f(t₁,t₀)x(t₀)+f(t₁,t)B(t)u(t)dt

notăm:

x(t₁)-f(t₁,t₀)x(t₀)=x_t1 constantă

notăm:

A_c(u)=f(t₁,t)B(t)u(t)dt

A_c:U

Problema controlabilității complete se reduce la: A_c(u)=x_l are o soluție u pentru orice x_l

Teoremă: Un sistem descris de x'(t)=A(t)x+B(t)u(t) este complet controlabil pe intervalul [t₀,t₁] dacă una din condițiile de mai jos este satisfăcută:

G(t₁,t₀) este o matrice pozitiv definită

zero nu este o valoare proprie lui G(t₁,t₀)

det(G(t₁,t₀))

unde:

G(t₁,t₀)=f(t₁,t)B(t)B^t t f^t(t₁,t)dt

Criterii de observabilitate

a)Un sistem liniar caracterizat prin A=constant și valori proprii distincte este complet observabil dacă și numai dacă nu avem nici o coloană de zerouri pentru C_n=CM

b)Un sistem liniar cu A=constant este complet observabil dacă și numai dacă matricea Q de dimensiunea nxn p are rangul n:
Q=[C^t|A^tC^t|A^2tC^t|......|A^n-1tC^t

c)Un sistem de ordin n, reprezentat de este observabil dacă și numai dacă matricea: [sI-A^t|C^t] are rangul n pentru orice valoare al lui A

d)Fie un sistem liniar reprezentat de . Forma generală a ieșirii este:
y(t)=C(t)f(t,t₀)x(t₀)+C(t)f(t,t)B(t)u(t)dt+D(t)u(t)
Presupunem pe u(t) cunoscut, și cei doi termeni care depind de intrare se pot grupa cu y(t) și notăm termenul obținut cu y₁(t). Problema pusă este: cunoscând pe y₁(t), putem determina univoc pe x(t₀)?

Definim:

A₀(x(t₀))=C(t)f(t,t₀)x(t₀)

Problema de rezolvat:

A₀(x(t₀))=y₁(t)

are sau nu soluție.

Fie matricea:

H(t₁,t₀)=ft t,t₀)Ct t)C(t f t,t₀)dt

Teoremă: Un sistem caracterizt prin:

x'=A(t)x(t)+B(t)u(t)

y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)

este complet observabil în t_0, dacă există un moment finit t₁ pentru care una din condițiile care urmează există:

H(t₁,t₀) este o matrice pozitiv definită

zero nu este o valoare proprie lui H(t₁,t₀)

det(H(t₁,t₀))

Obs: P este matricea controlabilității, iar Q este matricea observabilității.

Dacă rang(P)=r_p<n atunci spațiul stărilor se poate descompune în două subspații ortogonale: . Să numim subspațiul - subspațiul controlabilității (de dimensiunea r_p). Rezultă o matrice de transformare de forma:

T=[T₁|T₂];    (metodă bazată pe descompunerea QR).

Dacă facem schimbarea de vector de stare:

X=Tw (T^-1=T^t

w'=T^tATw+T^tBu

w+Du

y=[CT₁|CT₂]w+Du

Se poate arăta că T₂^tB=[0] deci variabilel de control nu au nici un efect asupra stărilor, la fel T₂^tAT₁=[0] deci stările w nu sunt cuplate la stările w . Astfel am obținut descompunerea canonică Kalman controlabilă.

În mod analogic se poate obține descompunerea canonică Kalman observabilă, bazată pe matricea Q (x=V_v)

y=[CV₁|[0]]+Du

Deci v₂ nu contribuie la formarea ieșirii și nu putem identifica v₂ pe baza lui y (ce depinde de v₁).