Structura de benzi fotonice si banda fotonica interzisa

. Aceste functii de banda Sunt numerotate cu indexul n. setul complet de functii de banda reprezi 111c27b nta structura de benzi fotonice ale cristalului fotonic. In principiu, structura de benzi nu are o limita superioara in frecventa, deci tinde la infinit. Totusi, in practica, ne intereseaza doar frecventele de ordin mic.

In unele cazuri, se poate intampla ca o anumita banda de frecvente sa nu fie acoperita de nici o functie pentru toti si pentru toate starile de polarizare. Aceasta se numeste banda fotonica interzisa (PBG).

Problema care se pune in continuare este cum sa alegem vectorii reprezentativi astfel incat sa descrie spatiul continuu. Trebuie sa avem in vedere doua aspecte: 1) sa nu omitem proprietati importante ale cristelelor fotonice. 2) sa evitam calculele redundante.

Simetrie si irductibilitatea Zonei Brillouin

Vom discuta mai intai simetria inversiei de timp si consecintele sale. Consideram o solutie a ecuatiilor Maxwell pentru frecvente reale si pozitive. Din ecuatiile complex conjugate:

Observam ca si este solutie a ecuatiei cu aceeasi frecventa .

Aplicand conventia de faza, obtinem:

Rezulta ca starile corespunzatoare cu vectorii si - sunt echivalente, indiferent de simetria retelei. In concluzie, pentru o retea arbitrara, avem nevoie sa luam in calcul doar jumatate din Zona Brillouin.

Acum ne vom referi la simetriile spatiale ale retelei cristaline. O discutie detaliata despre simetria spatiala ar trebui sa fie bazata pe teoria grupurilor. Totusi, nu este nevoie de detalii atat de precise, asa ca vom prezenta simetria intuitiv, plecand de la cateva exemple sio vom sublinia consecintele asupra proiectarii cristalelor fotonice.

Pana acum am discutat despre simetria de translatie. Pe langa acesasta simetrie, chiar si celula unitate este invarianta la unele transformari definite in functie de un punct cu simetrie mare din cristalul fotonic. Aceste transformari, care nu schimba functia dielectrica in celula unitate formeaza ceea ce se numeste "punctul-grup". Aici, consideram numai atomii cu centrul de inversie in in centrul celulei Wigner-Seitz; acesta este punctul cu cea mai mare simetrie.

Daca este operatorul de rotatie care transforma un vector al retelai in altul, invarianta lui este exprimate matematic astfel:

Banda interzisa se afla in regiunea care nu e acoperita de nici una din benzi, indifferent de vectorul si de starea de polarizare.

In figura se observa prezenta benzii fotonice interzise PBG (photonic band gap) intre benzile 2 si 3 avand marginile in punctele Γ si K. putem defini largimea PBG ca si frecventa centrala a benzii . De obicei, PBG este exprimata normata () si este exprimata in procente.

Densitatea de stari

Densitatea de stari (DOS) este o masura a numarului de stari posibile intr-un interval diferential de energie si este importanda in calculele opticii cuantice. In timp ce in mediile omogene DOS este proportional cu , in cristalele fotonice poate avea variatii interesante, cu aplicatii in controlul interactiilor atom-foton.

Totalitatea densitatilor de stari se defineste mathematic ca fiind (Bush 1998):

Pentru a calcula aceasta integrala este necesar sa discretizam uniform IBZ. DOS-ul fotonic se poate calcula similar cu DOS-ul electronic daca se cunoaste relatia de dispersie .

Un exemplu este prezentat in figura regiunile de nivel 0 ale DOS reprezinta benzi fotonice interzise, unde nu exista stari premise in tot IBZ-ul. Pe de alta parte, maximele reprezinta viteze de grup de disparitie si pot avea aplicatii, de exemplu, in amplificarea interactiilor neliniare.

Fig 1.6

Viteza de grup(v_g)

Viteza de grup a modurilor proprii este data de gradientul curbelor de de dispersie care sunt date de derivate frecventei in raport cu vectorul de unda.

Un exemplu de calculare a vitezei de grup eswte prezentat in figura . viteza de grup a undelor electromagnetice este foarte mica (tipic 1/50 - 1/100 din viteza luminii in spatial liber) in punctele de mare simetrie ale IBZ acolo doua moduri cu aceeasi simetrie au evitat intersectia (anti-crossing).

O viteza mica de grup cauzeaza atat o crestere a amplitudinii campului cat si un timp de intaractie lung a campului electromagnetic cu material.

Figura

Diagrama vectorului de camp

Consideram un crystal fotonic 2D pentru care structura de benzi este 3D (Fig 1.8a).

O sectiune in care ω = constant, prin diagrama de banda (cara poate contine mai multe benzi) se numeste diagrama vectorului de unda (Figura 1.8b). Aceasta este harta a conturului vectorilor de unda permisi pentru o anumita energie fotonica si polarizare.

Din diagrama vectorului de camp se observa cateva fenomene interesante, cum ar fi: refractia negative, efectul de superprisma, colimarea fascicolului.

Coeficientul de reftactie efectiv

Urmarind exemplul structurii de benzi, se observa ca primele benzi ale modurilor E si H sunt cvasi-liniare cand frecventa normate este aproape de zero () aceasta este limita unde se poate considera ca un crystal fotonic este un mediu omogen cu indice de refractie efectiv:

Care este inversul pantei primei benzi in epropierea punctului Γ.

Modurile E si H au indici de refractie diferiti( in cazul de fata si ) care depend de directia si asta inseamna ca mediul efectiv este anizotrop.