TENSIUNI SI DEFORMATII ELASTICE IN MEDII CU FISURI

6.1 Starea generala de tensiune sI de deformatie

a) Componentele tensorului tensiune

Indicele tensiunii normale s reprezinta axa cu care aceasta este paralela, respectiv primul indice al tensiunii tangentiale t indica axa cu care aceasta tensiune este paralela, iar al doilea indice reprezinta directia perpendiculara pe suprafata in care lucreaza tensiunea tangentiala.

Pe o suprafata a paralelipipedului toate tensiunile au aceeasI orientare fata de axele de coordonate.

Daca se intersecteaza paralelipipedul cu un plan inclinat a carui normala face unghiurile a b g cu axele de coordonate, determinand cosinusurile bisectoare 1 = cos a, m = cos b, n = cos g, care respecta conditia fundamentala 1² + m² + n² =1, atunci pe suprafata de intersectie cu paralelipipedulva apare tensiunea care se descompune in doua moduri:

a)     dupa directiile axelor de coordonate x, y, z componentele sale fiind p_x, p_y, p_z ;

b)     intr-o componenta normala si o componenta tangentiala

(6.1)

Daca se noteaza prin:

(6.2)

atunci:

(6.3)

respectiv

(6.4)

s si a tensiunii tangentiale t Pentru anumite directii ale planului, tensiunea p este orientata dupa normala a planului deci . Din aceasta conditie rezulta tensiunile normale principale s > s > s

Prin rezolvarea ecuatiei de gradul al treilea determinata de conditia D

(6.5)

(6.6)

unde:

(6.7)

Pentru fiecare din cele trei valori s s s rezulta cate un sistem de solutii pentru cosinusurile directoare:

s (l₁ , m₁ , n₁ )

s (l₂ , m₂ , n₂ ) (6.8)

s (l₃ , m₃ , n₃ )

Cele trei directii ale planurilor obtinute poarta numele de directii principale, iar tensiunile s s s poarta numele de tensiuni normale principale.

b) Ecuatiile de echilibru Cauchy

Din echilibrul elementului paralelipipedic rezulta urmatorul sistem de ecuatii de echilibru intre tensiunile care actioneaza pe suprafetele sale :

(6.9)

unde X, Y, Z sunt componentele volumice ale elementului de volum.

Forta masica a elementului de volum va fi:

(6.10)

c) Componentele tensorului deformatiilor

Se noteaza cu u, v, w deplasarile anumitor puncte dupa directiile x, y, si z. Sunt definite deformatiile specifice, liniare sI unghiulare astfel:

(6.11)

In acest caz, tensorul deformatiilor este:

(6.12)

Dupa directiile principale, deformatiile specifice devin e e e si rezulta din ecuatia de gradul al treilea obtinuta din conditia ca determinantul sa fie nul, D_l=0, adica:

(6.13)

Din dezvoltarea determinantului se obtine:

(6.14)

iar:

(6.15)

Solutiile ecuatiei (6.14) e e e sunt intotdeauna valori reale si poarta numele de deformatii specifice principale, fiind orientate dupa directiile principale, intre acestea stabilindu-se relatia e > e > e

d) Legea lui Hooke generalizata

Deformatiile specifice pot fi exprimate in functie de tensiuni prin relatiile (6.16):

(6.16)

iar lunecarile specifice prin expresiile (6.17):

(6.17)

Legea lui Hooke generalizata mai poate fi exprimata sI prin calculul tensiunilor in raport cu deformatiile specifice, relatiile (6.18):

(6.18)

In relatiile de mai sus, constantele au urmatoarele semnificatii:

si reprezinta deformatia specifica volumica;

numite constantele lui Lamé, respectiv n este coeficientul contractiei transversale.

6.2 Starea plana de tensiune sI de deformatie

a) Starea plana de tensiune

Daca solicitarea are loc in planul xOy atunci s_z t_xz t_yz

Starea plana de tensiune apare atunci cand tensiunile de solicitare sunt in acelasI plan sau in plane paralele.

Componentele p, s si t se calculeaza cu relatiile (6.19):

;

; (6.19)

relatii obtinute din echilibrul elementului de volum redat in figura 6.3.

Pentru o anumita inclinatie a planului AB de unghi a , tensiunea este orientata dupa normala si coincide cu tensiunea normala : º = 0.

Directia respectiva se obtine cu conditia , de unde rezulta Rezulta doua directii a a perpendiculare intre ele cu conditia . Tensiunile normale orientate dupa aceste directii poarta numele de tensiuni normale principale sI se calculeaza cu relatiile (6.20):

(6.20)

Deformatiile specifice din legea lui Hooke generalizata se reduc la urmatoarele expresii:

(6.21)

Acest lucru arata ca starea plana de tensiune conduce la o stare generala de deformatie.

b) Starea plana de deformatie Raportata la sistemul de axe Oxy, starea plana de deformatie implica deplasarea dupa directia z egala cu zero, adica w = 0, iar deplasarile u sI v depind numai de variabilele x si y, u = u(x,y) , respectiv v = v(x,y). Tinand seama de aceste aspecte rezulta:

Aceste particularizari conduc la :

(6.23)

Din legea lui Hooke generalizata rezulta:

(6.24)

De aici se poate trage concluzia ca starea plana de deformatie conduce la o stare generala de tensiune. Inlocuind s_z in legea lui Hooke generalizata rezulta:

unde : (6.25)

(6.26)

Din punct de vedere fizic starea plana de tensiune se atinge in placile subtiri, iar starea plana de deformatie apare in placile groase.

6.3 Functia de tensiune Airy

Pentru starea plana de tensiune ecuatiile de echilibru static, In absenta fortelor masice, se reduc la:

(6.27)

relatii care reprezinta ecuatiile lui Cauchy pentru starea plana de tensiune iar legea lui Hooke generalizata devine:

(6.28)

unde , respectiv

Daca se noteaza prin , numit operatorul lui Laplace de ordinul al doilea ( a se citi nabla de ordinul al doilea), respectiv pentru o functie oarecare f(x,y), , atunci , rezulta ca :

(6.29)

ca o consecinta a conditiei lui Levy.

Dar , de unde rezulta ca :

(6.30)

adica, in absenta fortelor masice, deformatia volumica e_v este o functie armonica.

Pornind de la sistemul omogen de ecuatii de echilibru, (ecuatiile lui Cauchy), se ajunge la concluzia ca acesta este satisfacut daca exista doua functii Y(x,y) sI F(x,y) , continue sI de doua ori derivabile, care sa satisfaca conditiile:

(6.31)

Cele doua ecuatii de echilibru sunt satisfacute daca:

(6.32)

Pentru aceasta trebuie determinata o functie F (x,y) de patru ori derivabila care sa respecte conditiile:

Rezulta:

(6.34)

Functia F poarta numele de functia de tensiune sau functia lui Airy.

In aceste conditii rezulta:

(6.35)

Conditia lui Levy devine in acest caz:

Aceasta arata ca functia Airy este o functie biarmonica.

6.4 Moduri de propagare a fisurilor.

Propagarea unei fisuri se realizeaza in trei moduri, in functie de starea de tensiune ce persista in zona in care se afla fisura sI de miscarea relativa dintre suprafetele de rupere raportate la planul de extindere a fisurii.

Modul I numit mod de deplasare prin tractionare implica avansarea fisurii prin deschidere, punctele de pe suprafata sa deplasandu-se dupa directii perpendiculare pe planul fisurii, figura 6.4.

Modul II sau modul de alunecare in plan la care fisura se extinde prin alunecare frontala, punctele de pe fisura se deplaseaza in planul fisurii, perpendicular pe frontul acesteia in sensul de avansare, figura 6.5.

Modul III numit sI mod de alunecare antiplana la care fisura se deplaseaza prin lunecare laterala, deplasarile punctelor de pe suprafata fisurata au loc in planul fisurii, paralel cu frontul acesteia, figura 6.6.

Fig. 6.4 Fig. 6.5 Fg. 6.6

Cele mai frecvente ruperi fragile au loc dupa modul I la care energia elastica de deformatie disponibila sI deplasarile frontului fisurii sunt mai mari decat la celelalte doua moduri.

Exista si ruperi dupa alte moduri care reprezinta combinatii ale celor trei moduri simple de extindere a fisurii.

Irwin a propus o exprimare aproximativa a starii de tensiune si de deformatie in vecinatatea unei fisuri de lungime 2a alegand originea sistemului de axe in varful fisurii si exprimand functia lui Westergaard prin expresia:

(6.36)

(coordonate carteziene) (coordonate polare)

K - constanta care depinde de modul de propagare a fisurii

Westergaard a introdus notatiile:

(6.37)

pe care le-a utilizat in expresia functiei lui Airy, F F(Z(z)).

Tinand seama de modurile de propagare a fisurii, functia lui Airy poate lua una din expresiile:

(6.38)

Fig. 6.7

Referindu-se la modul I de propagare a fisurilor, considerand functia F_I(z) sI expresiile tensiunilor :

rezulta:

;

Pentru modul II de propagare a fisurilor, procedand analog, se obtin:

(6.40)

Modul III corespunde unei stari de forfecare pura, produsa in planul suprafetei de rupere Oxz, rezultand: .

Tensiunile si deplasarile se pot calcula explicit tinand seama de expresia functiei lui Westergaard sI folosind coordonatele polare ale punctului M din vecinatatea fisurii:

(6.41)

In aceste conditii, tensiunile sI deformatiile pentru modul I de propagare a fisurii devin:

. (6.42)

Pentru modul II de propagare a fisurii se obtin:

(6.43)

respectiv:

(6.44)

Pentru calculul tensiunilor de forfecare pura in planul Oxz sI a deplasarii w pentru modul III de propagare se defineste functia Westergaard in raport cu variabila , .

In acest caz rezulta :

(6.45)

Trecand la coordonatele polare: x = r cos q, z = r sin q, tensiunile sI deplasarile vor avea urmatoarele expresii:

(6.46)

Indiferent de modul de incarcare sau modul de propagare a fisurii tensiunile sunt proportionale cu factorul .

Acest termen e multiplicat cu parametrul K_I ,K_II sau K_III corespunzator celor trei moduri de propagare a fisurii. Acest parametru poarta numele de factor de intensitate a tensiunii, fiind caracteristic distributiei tensiunii in vecinatatea varfului fisurii, in functie de modul de propagare al acesteia.

Parametrul K depinde de modul de solicitare, intensitatea sarcinilor aplicate, de forma sI dimensiunile piesei solicitate, de forma, dimensiunile sI orientarea fisurii fata de campul de tensiuni din piesa.

6.5 Factorul de intensitate al tensiunii

Solicitarea biaxiala determina o anumita distributie a tensiunii si deformatiilor puse in evidenta de functia Westergaard, data de relatia:

(6.47)

In vecinatatea varfului fisurii, atunci cand z a , rezulta:

(6.48)

Functia Westergaard a fost determinata in raport cu un sistem de axe cu originea in mijlocul fisurii. Daca se impune o transltie a sistemului de axe in varful fisurii atunci se face o schimbare de variabila inlocuind pe z - a prin z, iar functia Z(z) devine:

(6.49)

Egaland aceasta expresie cu aproximatia data de Irwin se obtine valoarea parametrului K, adica:

, de unde : (6.50)

Daca se tine seama ca tensiunile si adunand expresiile care le reprezinta, se obtine:

(6.51)

Factorul de intensitate a tensiunii depinde de modul de solicitare, de geometria piesei sI a defectului, de orientarea sa in raport cu tensiunile aplicate, elemente care sunt inglobate in coeficientul Y din expresia generala:

(6.52)

Factorul de intensitate al tensiunii se determina teoretic pe baza teoriei elasticitatii, cele mai intalnite metode fiind:

metoda transformarilor conforme;

metoda transformarilor integrale;

metoda alternanta;

metoda aproximatiilor asimptotice;

metoda colocatiei;

metoda elementelor finite.

Expresii pentru factorul de intensitate al tensiunii

a) Placa infinita

(6.50)

Pentru o latime W a placii, factorul de intensitate a tensiunii se calculeaza cu expresia:

(6.53)

relatie valabila si pentru o fisura marginala de lungime a, activa pe toata grosimea placii. Cand solicitarea este biaxiala, dupa doua directii perpendiculare, iar fisura are o orientare oarecare

(6.54)

unde b este unghiul dintre directia tensiunii principale s si directia de propagare a fisurii.

Fig. 6.8

Pentru o placa infinita solicitata monoaxial, in care fisura de lungime 2b patrunde pe o grosime a in placa, figura 6.8, iar j este unghiul dintre raza vectoare r sI semiaxa mare b, in planul fisurii eliptice, factorul de intensitate a tensiunii se va determina cu expresia:

(6.55)

in care

(6.56)

Pentru a<<b , rezulta F , iar pentru a=b se obtine F p . Aunci cand unghiul j p sI a<<b, se obtine , respectiv pentru a = b ,

La placa infinita de grosime B cu o fisura centrala de lungime 2a, solicitata de doua sarcini concentrate opuse P, figura 6.9, factorul K_I va fi:

(6.57)

Fig. 6.9 Fig. 6.10

Pentru o fisura semiinfinita, figura 6.10, factorul de intensitate a tensiunii K_I este calculabil cu relatia (6.58),

(6.58)

b) Placa de latime finita solicitata la intindere monoaxiala

Pentru o placa cu fisura centrala cu latimea W>>4a, factorul de intensitate a tensiunii K_I se calculeaza cu relatia (6.59):

(6.59)

iar daca raportul 2a/W << 0.6, factorul K_I se determina cu expresia:

, (6.60)

unde .

Pentru placa cu doua fisuri laterale strapunse pe toata grosimea piesei, de lungimi egale cu a, factorul K_I va fi:

Daca 2a/W<0.7 , , ( relatia (6.52) ) ,

Unde:

Pentru placa cu o singura fisura laterala valoarea lui Y este :

c) Factorul K pentru corpuri masive

In corpurile masive exista fisuri sub forma unui disc de raza r, iar tensiunea s, normala pe planul defectului, determina factorul de intensitate a tensiunii:

relatie asemanatoare cu cea din starea plana de tensiune deoarece, in vecinatatea defectului, starea de deformatie este plana.

6.6 Energia eliberata la extensia fisurii

Prin aparitia unei fisuri intr-o structura, energia de deformatie inmagazinata se micsoreaza de la valoarea initiala U_i la valoarea finala U_f .

Diferenta dintre cele doua energii, luata cu semnul minus reprezinta energia elastica eliberata prin crearea fisurii sI se noteaza prin . Tensiunea la varful fisurii s_y este maxima, aceasta micsorandu-se cu cresterea distantei de la varful fisurii, figura 6.11.

Daca fisura se extinde cu cantitatea da, figura 6.11, tensiunea locala descreste, ceea ce conduce la eliberarea unei energii elastice dU_e care reprezinta integrala variatiei de energie luata pe intregul volum de material care suporta procesul de rupere.

Fig. 6.11

Intr-o placa infinita cu grosimea constanta si egala cu unitatea, solicitata la intindere monoaxiala se afla o fisura strapunsa de forma eliptica, de ecuatie : , unde a sI b sunt semiaxele elipsei.

Semiaxa b, dupa directia de solicitare, este proportionala cu deformatia produsa in placa nefisurata, dupa directia Oy notata cu v.

Pentru un punct oarecare al axei Ox (y = 0, sau q

,

deplasare calculata pentru un punct de pe portiunea negativa a axei Ox, adica pentru q p

Rezulta :

, sau

(6.63)

Cunoscand ca ceea ce reprezinta un invariant, pentru orice punct al placii, inainte de aparitia fisurii, rezulta:

(6.64)

Daca se presupune ca fisura provine din dezvoltarea unui defect punctiform de pe axa Ox, se trage concluzia ca axa mica b, este egala cu deplasarea v, pentru r = a, adica

Din ecuatia elipsei se expliciteaza y:

(6.65)

La aparitia fisurii, in orice punct de pe conturul sau, tensiunile variaza de la s la 0, iar energia eliberata de cele doua suprafete de rupere ale fisurii, U_e, este egala cu lucrul mecanic al fortelor elementare (s * dx) de pe contur , care in miscarea lor parcurg deplasarile y.

Deoarece fisura este simetrica fata de axa Ox,

Rezulta:

(6.66)

Se face schimbarea de variabila, , de unde , respectiv , intre limitele

Se obtine :

(6.67)

Deci energia eliberata la extinderea fisurii, pentru un mod de solicitare dat, depinde numai de tensiunea aplicata s sI de lungimea defectului a, din placa solicitata.