TEORII ALE RUPERII MATERIALELOR
2.1. Starea de tensiune echivalenta
Incercarea axiala de intindere reprezinta incercarea mecanica de referinta prin care se determina caracteristicile mecanice principale ale materialelor: tensiunea de rupere sr, tensiunea de curgere sc, etc. In calculele de rezistenta ale pieselor, este utilizata tensiunea admisibila a materialului sa, care se determina ca raport intre o tensiune limita sau critica, ce reprezinta o stare limita periculoasa a materialului si un coeficient de siguranta, ales in functie de importanta functionala a elementului de rezistenta respectiv. Starea de tensiune limita a materialului corespunde fie inceperii ruperii sau curgerii materialului, fie inceperii aparitiei unui proces fizic inadmisibil, nedorit sau periculos pentru constructii.
Intensitatea solicitarii creata la un moment dat intr-un punct al unei piese solicitate poate fi definita prin mai multe marimi ca: tensiunea principala maxima smax, lungirea specifica maxima emax, tensiunea tangentiala maxima tmax, energia specifica de deformatie Ls etc. Odata cu cresterea solicitarii aceste marimi cresc intr-un raport dependent de natura solicitarii, acesta fiind diferit la o epruveta solicitata la intindere, fata de o proba aflata in stare plana sau spatiala de tensiune. Pentru calculul de rezistenta al pieselor solicitate de un sistem de forte oarecare trebuie sa se precizeze care dintre marimile produse in starea plana sau spatiala de tensiune va atinge valoarea periculoasa (determinata prin incercarea la intindere a epruvetei) pentru ca si in acest caz sa se ajunga la o stare periculoasa de solicitare.
Fie o epruveta solicitata la intindere pana la limita de proportionalitate a materialului, acesta satisfacand legea lui Hooke, figura 2.1 a. Forta axiala N determina in sectiunile transversale tensiunile principale maxime sx , pe directia carora se produc alungirile specifice maxime ex Dupa plane orientate la 45 fata de directia de solicitare, apar tensiuni tangentiale maxime tmax
O unitate de volum asimileaza o energie specifica de deformatie Ls. Oricare din aceste marimi poate caracteriza intensitatea solicitarii produse.
Ele pot fi exprimate prin relatiile (2.1) :
(2.1)
Se admite ca atingerea limitei de proortionalitate, apropiata de limita de elasticitate, constituie o stare limita de solicitare. Aceasta stare se produce atunci cand tensiunea normala maxima devine egala cu limita de proportionalitate ( smax sx sp , alungirea specifica maxima ex devine egala cu ep , tensiunea tangentiala tmax cu tp sp , iar energia specifica de deformatie Ls ia valoarea Lsp. Relatiile (2.1) devin:
(2.2)
Oricare din marimile sp ep tp sau Lsp poate defini starea periculoasa de solicitare indusa in epruveta.
sp ep tp sau Lsp vor avea alte forme. In aceste cazuri trebuie precizat care din cele patru marimi trebuie atinsa intaI pentru a amorsa ruperea materialului in starea plana sau spatiala de tensiune. Caracteristicile respective sunt exprimate in functie de marimile tensiunilor principale s s s
Inlocuirea unei stari complexe de tensiune cu o stare monoaxiala echivalenta impune acceptarea unei ipoteze asupra factorului htarator in atingerea starii limita.
sech care reprezinta tensiunea principala a unui element imaginar supus la intindere, executat din acelasi material ca sI elementul dat, ce se afla intr-o stare de tensiune tot atat de periculoasa ca sI elementul de rezistenta considerat. Acesta se mai numeste sI tensiune de comparatie, deoarece se compara cu tensiunea normala monoaxiala, realizata pe epruveta supusa la tractiune.
(2.3)
s reprezinta o tensiune normala critica sI poate fi limita de curgere sc, limita de rupere sr sau tensiunea admisibila sa
Teoriile de rezistenta se diferentiaza in functie de factorii alesI ca preponderenti la atingerea starii limita sI poarta numele acestor factori:
v teoria tensiunii normale maxime, sau teoria I, pusa in evidenta de Galileo Galilei, in secolul al XVII - lea ;
v teoria deformatiei specifice maxime, sau teoria a II- a, stabilita de E. Mariotte in anul 1682;
v teoria tensiunii tangentiale maxime, sau teoria a III-a, elaborata de Ch. Coulomb in anul 1773;
v teoria energiei specifice totale de deformatie, sau teoria a IV- a stabilita de E. Beltrami in anul 1885;
v teoria energiei specifice de modificare a formei, sau teoria a V- a ( mai este regasita sub numele de teoria IV b), emisa de T. Huber, H. Hencky sI R. Mises ;
v teoria starii limita a lui Mohr
2.2 Tipuri de ruperi
Ruperea materialelor fragile este precedata de deformatii plastice neinsemnate, motiv pentru care legea lui Hooke s = E * e poate fi aplicata cu rezultate bune pana in momentul ruperii. La materialele ductile ruperea este precedata de deformatii plastice importante sI apare ca un fenomen mult mai complex. Procesul de deformatie sI ruperea unui material poate fi analizat conform schemei din figura 2.2. Pe portiunea 1 - 2 se realizeaza o crestere treptata a deformatiilor elastice sI aparitia in punctul (2) a primelor deformatii plastice. Portiunea 2 - 4 caracterizeaza evolutia deformatiilor elasto - plastice. In punctul (3) deformatiile elastice dispar, zona 3 - 4 fiind preponderent plastica, iar in punctul (4) apar primele deformatii plastice vizibile. Pe zona 4 - 5 deformatiile plastice capata caracter general, determinand aparitia primelor fisuri, in punctul (5) care se propaga pe portiunea 5 - 6, iar ruperea producandu-se in punctul (6).
In general, ruperile apar de obicei datorita tensiunilor normale de intindere, respectiv tensiunilor tangentiale.
Ruperile produse de tensiunile normale de tractiune sunt perpendiculare pe directia tensiunii normale maxime si poarta numele de ruperi prin separatie (smulgere). Suprafata de rupere are un aspect fibros, grauntos.
Ruperile datorita tensiunilor tangentiale apar in planele in care acestea au valori extreme sI sunt denumite ruperi prin alunecare. Suprafata de rupere are in general un aspect lucios, datorita faptului ca doua suprafete aluneca una in raport cu cealalta.
Aparitia unui mod de rupere este determinata de natura materialului sI de tipul solicitarii. Astfel, ruperea prin separatie apare la materialele fragile supuse la tractiune, incovoiere sau rasucire.
In cazul rasucirii, sectiunea de rupere este inclinata la 45 fata de sectiunea transversala, fiind orientata dupa directia planelor principale de inertie.
Ruperea prin alunecare este specifica ruperilor la tractiune fara gatuire, ruperilor prin forfecare, ruperilor la rasucire sI incovoiere, in planele in care nu actioneaza tensiuni normale. Un aspect centralizat al tipurilor de ruperi pentru solicitarile simple este redat in figura 2.3.
|
Tipul solicitarii |
Directia tensiunii |
Tipul ruperii |
|||
|
smax |
tmax |
Separatie |
Alunecare |
||
|
Intindere |
|
|
|
|
|
|
Compresiune |
|
|
|
|
|
|
Forfecare |
|
|
|
|
|
|
Rasucire |
|
|
|
|
|
|
Incovoiere |
|
|
|
|
|
Fig. 2.3
Ruperile numai prin alunecare sau numai prin separatie au insa un caracter izolat sI in cele mai multe cazuri ruperea apare ca urmare a efectului combinat atat al tensiunilor tangentiale cat sI al tensiunilor normale. La incercarea de compresiune a unor materiale cu comportare ductila, ruperea care debuteaza prin microforfecari in planele de lunecare este retinuta de tensiunile normale, figura 2.4 a, in timp ce in cazul solicitarii de intindere, tensiunile normale favorizeaza ruperea, figura 2.4 b.
Sectiunea de rupere sub forma
de con - cupa, cu muchiile inclinate
la 45 ,
care se obtine la incarcarea de tractiune a otelului moale, atesta, de
asemenea, caracterul mixt al ruperii, rolul dominant in initierea acesteia
revenind tensiunilor
tangentiale.
Fig. 2.4
Calculele referitoare la starea complexa de
solicitare se efectueaza conform schemei din figura 2.5.
|
c |
|
a |
Fig. 2.5
Elementul a este solicitat de tensiunile principale s s s Pe baza acceptarii unei teorii de rezistenta se stabileste sech ( elementul b) Aceasta valoare se se compara cu sLt (tensiunea limita de la proba monoaxiala). Coeficientul de siguranta al starii a, fata de starea c, este c = sLt sech. Pentru c = 1, starea a devine critica. Notatia pentru tensiunea echivalenta va fi sech,I unde i reprezinta numarul teoriei dupa care s-a calculat.
2.3 Teorii clasice de rezistenta
La stabilirea tensiunii echivalente se accepta pe rand, ca hotaratoare in aparitia starii critice, atingerea uneia din marimile : limita de elasticitate a materialului se, deformatia specifica de elasticitate ee, tensiunea tangentiala de elasticitate te, energia specifica de deformatie la elasticitate Le, determinate la solicitarea monoaxiala. De retinut ca, in calcule se vor utiliza ecuatiile generalizate ale lui Hooke sI ecuatiile lui Poisson, valabile in limitele domeniului elastic. Se accepta ca valabile sI rezultatele stabilite pentru limita de curgere sc sau limita de rupere sr
In concluzie, valorile critice se iau se ee te sau Le, pentru materiale tenace, respectiv sr er tr sau Lr , pentru materiale fragile.
2.3.1 Teoria tensiunii normale maxime (teoria I)
Conform acestei teorii starea limita intr-un corp solicitat complex se atinge atunci cand tensiunea normala maxima din acesta atinge valoarea tensiunii normale limita de la solicitarea de intindere simpla. In cazul unei stari spatiale de tensiune la care apar toate cele trei tensiuni principale s s si s , in calculele de rezistenta se ia in considerare numai tensiunea maxima s , celelalte doua tensiuni considerandu-se ca nu au nicio influenta asupra atingerii starii limita. Relatia de calcul pentru aceasta teorie este:
unde s , in cazul aspectului de dimensionare, poate fi rezistenta admisibila a materialului sa
In starea plana de tensiune relatia (2.4) devine:
In cazul solicitarii de incovoiere simpla, sx s sx txz t iar relatia (2.5) se transforma in :
Pentru solicitarea de forfecare pura sx s txz t iar
Din aceasta relatie reiese faptul ca un corp solicitat la forfecare pura se rupe atunci cand tensiunea tangentiala maxima devine egala cu tensiunea normala critica.
Experimental s-a aratat ca in cazul unei solicitari de rasucire pura la o bara cu sectiunea circulara, rezistenta la rupere tr atinge numai jumatate din valoarea rezistentei la rupere prin tractiune sr
Un dezavantaj al acestei teorii este faptul ca in calcule sunt neglijate tensiunile normale principale s sI s la atingerea starii limita. Aceasta teorie se aplica in special pentru materiale fragile; supuse la incovoiere, intindere sau rasucire.
2.3.2 Teoria deformatiei specifice maxime (teoria a II-a)
In baza acestei teorii, starea limita intr-un corp solicitat complex este atinsa atunci cand lungirea specifica maxima dintr-un punct al acestuia atinge valoarea lungirii specifice corespunzatoare starii limita de la solicitarea de intindere simpla. Conditia de rezistenta a acestei ipoteze devine:
(2.9)
unde e este lungire specifica limita.
Inlocuind deformatia specifica e cu expresia sa din legea lui Hooke generalizata, se poate scrie:
Rezulta astfel tensiunea echivalenta conform teoriei a II-a de rezistenta:
In starea plana de tensiune s = 0, iar relatia (2.11) devine:
Inlocuind expresiile pentru tensiunile normale principale s s si luand in considerare valoarea lui n pentru otel (n = 0.3), rezulta:
La solicitarea de incovoiere simpla sx s sz sI txz t conditia de rezistenta a teoriei a II-a va fi:
Pentru forfecare pura,
Conditia de rezistenta, 
poate fi exprimata cu ajutorul legii lui Hooke
generalizata in functie de tensiunile principale:
(2.16)
Pentru starea plana de tensiune, s 0 si sistemul (2.16) devine:
unde: -soc este tensiunea limita la compresiune, iar sot reprezinta tensiunea limita la tractiune.
Intr-un sistem de axe avand in abscisa s sI in ordonata s , pot fi reprezentate grafic dreptele:
Reprezentarile respective sunt redate in figura 2.6. Din intersectia dreptelor, luate doua cate doua, respectiv intersectia cu axele de coordonate se obtin punctele:
M(0, sot); N(sot, 0); P(0, -soc); Q(-soc
Este delimitata astfel figura poligonala ABCD, contur care imparte planul in doua zone: - punctele situate in afara conturului care se afla in stari de tensiune critica;
- punctele situate in interiorul conturului care reprezinta stari de tensiune necritica.
- punctele aflate pe dreptele de contur determina stari limita de tensiune
Aceasta teorie se aplica pentru unele materiale fragile supuse la intindere, incovoiere sau rasucire.
Fig. 2.6
2.3.3 Teoria tensiunii tangentiale maxime (teoria a III-a)
Starea limita intr-un punct al unui corp aflat intr-o stare complexa de solicitare este atinsa atunci cand tensiunea tangentiala maxima atinge valoarea tensiunii tangentiale corespunzatoare starii limita de la solicitarea de intindere simpla. Cunoscand ca s < s < s , tensiunea tangentiala maxima este:
(2.19)
Luand ca stare limita tensiunea
tangentiala t careia ii
corespunde dependenta 
, rezulta conditia de rezistenta
in baza acestei teorii:
(2.20)
in starea plana de tensiune, tensiunile principale sunt s sI s , iar expresia teoriei a III-a devine:
(2.21)
Prin inlocurea relatiilor (2.5), se obtine :
(2.22)
Pentru solicitarea de incovoiere simpla, sx s sz txz t, tensiunea echivalenta va fi:
(2.23)
iar pentru solicitarea de forfecare pura,sx sz txz t valoarea tensiunii echivalente este:
(2.24)
Daca materialul solicitat prezinta o comportare identica la tractiune si la compresiune, trebuie satisfacute conditiile:
(2.25)
Reprezentarea grafica a acestor conditii este redata in figura 2.7.
Punctele din interiorul conturului ABCDEFse afla in stari de tensiune necritice, iar punctele situate in afara conturului poligonal respectiv sunt in stari de solicitare critica putandu-se produce ruperea. Starile de tensiune determinate de puncte ale liniei frante ABCDEF reprezinta stari limita de tensiune.
Cercetarile lui Buaschinger, Föppl sau Göst au confirmat veridicitatea acestei teorii, aceasta fiind recomandata in calculele de rezistenta, in special pentru elemente de rezistenta din otel. TotusI, nici aceasta teorie nu este general valabila, un exemplu fiind cazul de solicitare la intindere uniforma dupa toate directiile. Tensiunile principale sunt : s s s iar tensiunile tangentiale devin nule tmax s s
Fig. 2.7
In aceasta situatie teoria a III-a de rezistenta nu concorda cu rezultatele experimentale, deoarece ruperea materialului se produce in absenta tensiunilor tangentiale.
2.3.4 Teoria energiei specifice totale de deformatie (teoria aIV-a)
Aceasta teorie admite ca distrugerea elementului de rezistenta incepe atunci cand intr-un punct al acestuia energia specifica de deformatie atinge valoarea energiei specifice corespunzatoare momentului distrugerii epruvetei incercata la intindere simpla. Conditia de rezistenta se exprima astfel:
(2.26)
Dar,
(2.27)
iar dupa efectuarea calculelor rezulta:
(2.28)
Pentru un sistem de axe oarecare, energia totala de deformatie este data de expresia:
(2.29)
Prin inlocuirea modulului G, 
conditia teoriei a IV-a devine:
(2.30)
Pentru starea plana de tensiune, sy txy tyz , iar relatia (2.30) se reduce la :
(2.31)
La solicitarea de incovoiere simpla, sz sx s txz t n conditia de rezistenta va fi :
(2.32) iar pentru solicitarea de forfecare pura, sx sz txz t sI tensiunea
echivalenta este :
, (2.33)
Teoria a IV-a a fost verificata experimental pentru
materiale tenace, daca presiunea hidrostatica 
, dar nu este valabila pentru p
< 0 . Aceasta nu este valabila
pentru comportari diferite la tractiune sI compresiune. Pentru starea plana de
tensiune, Beltrami a reprezentat grafic conditia de rezistenta (2.28), intr-un
sistem de axe avand ca abscisa s sI ca
ordonata s , figura
2.8. Prin particularizarile respective, functia devine:
(2.34) Aceasta reprezinta o elipsa cu semiaxa principala
orientata dupa prima bisectoare, figura 2.8. Punctele situate in afara elipsei
reprezinta stari critice pentru elementul de rezistenta solicitat.
Fig.2.8
2.3.5 Teoria energiei specifice de deformatie de modificare a formei (teoria a V-a)
Aceasta teorie a fost elaborata de catre Huber,
Hencky sI Misses, fiind confirmata practic pentru presiunea hidrostatica 
. In baza acestei teorii, starea limita intr-un punct al unui
corp solicitat complex se atinge atunci cand energia specifca modificatoare de forma atinge valoarea limita
corespunzatoare epruvetei incercate la tractiune simpla. Conditia de rezistenta
este:
(2.35)
Tinand seama ca :
(2.36)
(2.37)
tensiunea echivalenta se va calcula cu relatia :
(2.38)
Prin inlocuirea tensiunilor s si s cu expresiile din starea plana de solicitare,
(2.39)
se obtine:
(2.40)
Pentru cazul de solicitare de incovoiere simpla, sz sx s txz t iar conditia (2.40) devine:
(2.41)
respectiv pentru forfecare pura,sx sz txz t
Reprezentarea grafica a relatiei
(2.39) este tot o elipsa cu semiaxa principala orientata dupa prima bisectoare,
de semiaxe : 
si 
, mai aplatizata decat elipsa
de la teoria a IV-a de rezistenta, figura 2.9.
Desi nu lamureste complet fenomenul ruperii, ipoteza a V-a conduce la concluzii care sunt verificate experimental intr-o masura satisfacatoare . Aceasta teorie corespunde mai bine realitatii decat teoria tensiunii tangentiale maxime sI este considerata ca fiind ipoteza cea mai importanta pentru materiale cu comportare ductila.
Fig. 2.9
2.3.6 Teoria starii limita a lui Mohr
Otto Christian Mohr a adus o corectie teoriei a III-a de rezistenta dand o interpretare grafica conditiilor limita cu ajutorul cercului care-i poarta numele.
Din teoria elasticitatii se cunoaste ca starea de tensiune pe o suprafata din interiorul unui corp solicitat poate fi reprezentata printr-un punct din interiorul suprafetei hasurate, figura 2.10.
Fig. 2.10
Starea limita este definita prin relatia :
(2.43)
observandu-se ca cercul C2 de diametru s s este singurul care intereseaza in definirea starii limita.
|
