Teoria sistemelor

1. Notiuni întroductive

1.1. Definitii

Un ansamblu de enitati reunite prin interactiune si interdependenta formând un întreg se numeste sistem.

Sistemul se realizeaza printr-un ansamblu (asociere) de parti componenete ceea ce confera un caracter structuralist sistemului. Componentele din care se realizeaza un sistem se numeste enitati, având un caracter real si abstract. Interactiunea si interdependenta entitatilor confera sistemului o functionalitate prin conexiuni între entitati. Entitatile nu poseda functionalitatea sistemului. Orice sistem este un întreg având un scop, 22422t1919w o finalitate.

Precizarea sistemului înseamna si o delimitare a acestuia fata de mediul înconjurator. Orice sistem se poate considera la rândul sau ca o entitate, deci ca o componenta a unui alt sistem.

Vom vorbi despre:

TEORIA SISTEMELOR: studiul functionalitatii sistemelor.

Teoria: un ansamblu de cunostinte independente de aplicatii capabile de a da interpretari

si explicatii asupre tuturor faptelor la care se refera.

Teoria sistemelor eset deci un ansamblu de cunostinte independente de aplicatii, capabile de a da interpretari si explicatii asupra structuralitatii si functionalitatii sistemelor de orice natura.

Se va considera sistemul abstract (un set de atribute împreuna cu un set de relatii) sub forma unui model matematic. Sistemul abstract permite:

- tratarea analitica a sistemelor

- considerarea unor analogii din punct de vedere comportamental la sisteme de natura diferita.

Din punct de vedere functional un sistem este un înterg în care se transmit si se prelucreaza informatii.

Informatie: poate sa fie orice factor calitativ capabil de a descrie un atribut asociat sistemului.

Semnal: o marime fizica ce se poate constitui un suport pentru informatie.

Parametru: în care informatia poate sa continuta, trnsmisa sau prelucrata caracterizeaza semnalele.Cunoasterea cantitativa a parametrilor informationali permite extragerea informatiei obtinand mesajul.

Atributele parametrilor informationali se satbileste la emitator iar materializeaza la receptor prin conversia parametrilor informationali. Forma materializata a informatiei se numeste data, notiune primara având un caracter sintactic si semantic.

Transmiterea datelor de la emitator la receptor caracterul sintactic al datelor sufera modificari (procese de conversie bazate pe legi, reguli sau algoritmi)

Orice sistem vehiculeaza materie, energie si informatie.

Din punct de vedere structural sistemul este o interactiune dintre obiecte. Obiectele la randul lor sunt interdependenta dintre atribute exprimabile prin relatii analitice.

Atributele sunt marimi caracteristice ale sistemelor ce pot fi exprimate în termeni de unul sau mai multe numere.

Atributele pot sa fie:

- de structura (impedanta, masa etc...)

- variabile (deplasare, viteza, tensiune ...)

Atributele trebuie sa fie:

- semnificative

- masurabile

Interdependenta: legile si principiile care guverneaza fenomenele ce stau la baza functionarii.

Interactiunea: modul în care obiectele sunt interconectate si se influenteaza reciproc.

Sa consideram un set de atribute descrise de v_i i=1..q (variabile terminale), v_i=v_i(t); caracter dinamic t - timp

R_i , i=1..r (relatii terminale) definesc R₁(v₁, v₂, ... , v_q)=0

R₂ (v₁, v₂, ... , v_q)=0

R_r(v₁, v₂, ... , v_q)=0 un sistem abstract (model)

Variabilele terminale por sa fie:

- variabile tip cauza - INTRĂRI

- variabile tip efect - IEsIRI

O operatie prin care variabilele terminale ale unui sistem abstract sunt formal separate în intrari si iesiri se numeste orientarea obiectului.

Fie v(t)=[v₁(t), v₂(t), ... , v_q(t)]^t vectorul variabilelor terminale, din care :

t vectorul de intrare

t vectorul de iesire.

Operatia prin care variabilele terminale sunt separate în cauza (INTRĂRI) si efect (IEsIRI) se numeste orientarea sistemului.

Relatiile R_i(u₁, u₂, ... , u_m, y₁, y₂, ... , y_p)=0 se numesc relatii de intrare-iesire.

Daca consideram vectorul w(t)=[w₁(t), ... , w_n(t)] ^t vectorul variabilelor suprimate (interne) atunci avem relatia:

q=m+p+n

Se numeste realizare fizica stabilirea unei corespondente univoce între un sistem abstract si unul real.

Daca la un sistem abstract orientat consideram orice moment de timp t₁ pentru care fie t T; T=(- , t₁] si y(t₁) - vectorul iesirii depinde numai de u(t) - vectorul de intrare spunem ca se respecta principiul cauzalitatii. Daca T=(- ), atunci principilu cauzalitatii nu se respecta. Din acest punct de vedere avem:

- sistem neanticipativ (respecta principiul cauzalitatii)

- sistem anticipativ (nu respecta principiul cauzalitatii)

Observatie: Ca o conditie necesara de realizabilitate fizica a sistemului abstract este ca R_i, i=1..l sa fie functii reale.

Un sistem abstract (sau fizic) orientat având doar iesiri se numeste sursa.

1.2. Clasificarea structurala a sistemelor

1.2.1 Sisteme deterministe si stohastice

Fie un sistem orientat în echilibru, caruia i se aplica la intrare vectorul u(t); " t t₀ determinist, vector nul pentru t<t₀

- daca vectorul de iesire y(t) este univoc determinat de vectorul de intrare u(t); " t t₀ (adica toate componentele lui y(t) sunt functii deterministice - nu depind de variabilele aleatoare) atunci sistemul este determinist.

- daca vectorul de iesire, în conditiile de mai sus este o functie de doua variabile y(t, x) cu x variabila aleatoare, atunci sistemul este stohastic prin structura. Daca una din atribute este o marime stohastica, atunci vorbim de sistem stohastic.

- Un sistem poate sa fie determinist chiar daca variabilele sale terminale sunt stohasice (nu sunt o consecinta a existentei unui atribut de structura aleator)

1.2.2. Sisteme cu si fara memorie

Fie un sistem orientat cu u(t); " t t₀ ca vector de intrare si y(t) vector de iesire

- Daca vectorul y(t), " t t₀ depinde numai de u(t) la acelasi moment t, atunci vorbim de sistem fara memorie (static)

- Daca vectorul y(t), " t t₀ depinde de u(t) atât la momentul t cât si la momentul învecinat t-Dt, sistemul este cu memorie (dinamic)

Sistemele fara memorie:

- în comportarea lor dinamica nu apare regim tranzitoriu

- existenta lor se poate presupune, de obiciei în limita unor aproximari

- nu poseda atribute de înmagazinare a energiei

- sunt caracterizate de relatii algebrice între y(t) si u(t)

Ex: - o transmisie rigida

- divizor rezistiv etc.

Sisteme cu memorie:

- apar regimuri tranzitorii

- poseda atribute de structura capabile sa înmagazineze energie

- trasatura de memorizare este caracterizata de forme derivative  

- caracterizarea unui sistem cu memorie:

- daca n > m urmeaza ca sistemul este strict propriu

- daca n = m urmeaza ca sistemul este propriu

- daca n < m urmeaza ca sistemul este impropriu

Obs: la sisteme proprii si improprii, în comportamentul iesirii y(t) apar discontinuitati la momentul initial

1.2.3. Sisteme cu parametrii concentrati si distibuiti

Sistemele a caror atribute de structura pot fi înlocuite prin proprietatile functie de timp a acestora se numesc cu parametrii concentrati. Sisteme a caror atribute de structura depind de spatiu si timp se numesc sisteme cu parametrii distribuiti.

Sistemele cu parametrii concentrati pot fi modelati prin ecuatii sau sisteme de ecuatii diferentiale (cu derivate totale) iar cele cu parametrii concentrati prin ecuatii sau sisteme de ecuatii cu derivate partiale.

Aceste categorii de sisteme se determina pe baza dimensiunilor fizice cât si în functie de conditii de lucru (frecventa)

1.2.4. Sisteme stationare si nestationare

Sisteme a caror atribute de structura sunt invariante în timp (constante) se numesc sisteme stationare, iar celelalte sunt sisteme nestationare.

Fie relatia terminala R(v₁(t), v₂(t), ... , v_q(t))=0 si fie l un moment temporal semnificativ din punct de vedere a categorizarii.

Daca relatia R(v₁(t- l), v₂(t- l), ... , v_q(t- l))=0 caracterizeaza acelasi sistem, atunci aceasta este stationar.

Ecuatiile diferentiale cu coeficienti constanti caracterizeaza sistemele dinamice stationare. În esenta un sistem care între anumite limite poate sa fie considerata stationar, se va prefera forma stationara. Exista sisteme stationare pe portiuni.

1.2.5. Sisteme uniforme si neuniforme

Ssiteme a caror relatii terminale sunt neschimbate pe întreg domeniu de evolutie a acestora se numesc sisteme uniforme. Sisteme a caror relatii terminale se modifica în cursul evolutiei acestora se numesc sisteme neuniforme.

R(v₁(t), v₂(t), ... , v_q(t))=0, " t T; T=(- ) pentru sistem uniform

R₁(v₁(t), v₂(t), ... , v_q(t))=0, " t T; T=(- , t₀]

R₂(v₁(t), v₂(t), ... , v_q(t))=0, " t T; T=(t₀ , ) pentru sistem neuniform

1.2.6. Sisteme continue, discrete si finite

Ssitemele având asociate semnale de intrare, iesire contunue, caracterizate prin functii reale cu valori reale la care se poate asocia oricarei valori a timpului o valoare unica a functiei se numesc sisteme continue.

Sisteme având asociate semnale de intrare, iesire discrete, caracterizate prin functii reale de variabila întreaga, asociind valorile functiei numai la valori discrete de timp (t=kT; k Z; T-perioada (tact); T=t_k-t_k-1) se numesc sisteme discrete.

Obs.: sistemele discrete orientate sunt caracterizate cu ecuatii cu diferenta.

Sistemele caracterizate de semnale de intrare, iesire finite, respectiv functii întregi de variabila întreaga se numesc sisteme finite. (sau de comutatie sau logice daca opereaza cu doua sau maximum trei valori)

1.2.7. Sisteme liniare si neliniare

Atributele respectiv relatiile care caracterizeaza un sistem pot sa fie liniare sau neliniare. Un sistem neuniform este neliniar pe întreg domeniu de definitie prin faptul ca relatia ce îl caracterizeaza se schimba la momente prestabilite.

Sistemele uniforme având asociate atribute si relatii liniare se numesc sisteme liniare.

Sistemele neuniforme dar cu atribute si relatii liniare pe segmente detimp adiacente sunt sisteme liniare pe portiuni.

Sistemele având asociate cel putin un atribut sau o relatie neliniara indiferent daca sunt sau nu uniforme se numesc sisteme neliniare.

Sistemele dinamice liniare sunt caracterizate de:

- ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti (stationare) sau variabile în timp (nestationare) daca sunt continue si ecuatii cu diferente daca sunt discrete

- principiul superpozitiei (suprapunerii)

- nu afecteaza spectrele de frcventa ale semnalelor pe care le transmit de la intrare la iesire

- interconectarea sistemelor conduce la sisteme liniare