Torsorul unui sistem de forte in raport cu un punct

Torsorul unui sistem de forte în raport cu un punct

3. 16416c21q 5. 16416c21q 1. 16416c21q Deducere

Vom considera un solid rigid actionat în punctele de fortele . 16416c21q Ne propunem sa determinam efectul mecanic produs într-un punct O de actiunea simultana a celor n forte, adica torsorul al sistemului (figura T 3. 16416c21q 7). 16416c21q

Figura T 3. 16416c21q 7

Pentru aceasta se reduc pe rând toate fortele sistemului (vezi sectiunea 3. 16416c21q 4. 16416c21q 3. 16416c21q ) si se obtin în punctul O vectorii concurenti , respectiv . 16416c21q Pe baza operatiei nr. 16416c21q 3 de echivalenta, fortele , pot fi înlocuite prin rezultanta lor iar momentele, pot fi înlocuite cu momentul rezultant , obtinându-se astfel torsorul de reducere în punctul O al sistemului de forte :

(3. 16416c21q 7)

În concluzie, orice sistem de forte ce actioneaza asupra unui rigid poate fi înlocuit cu o singura forta si un singur vector moment aplicat într-un punct O convenabil ales. 16416c21q

Observatia iv) Daca asupra rigidului actioneaza si p cupluri de forte de momente , atunci torsorul de reducere are componentele:

(3. 16416c21q 8)

3. 16416c21q 5. 16416c21q 2. 16416c21q Proprietati

P1) Daca se schimba polul de reducere din O în O', atunci se modifica a doua componenta a torsorului dupa cum urmeaza:

,

astfel încât:

(3. 16416c21q 9)

Forta rezultanta este un invariant al operatiei de reducere într-un punct al unui sistem de forte (adica nu depinde de punctul de reducere). 16416c21q

P2) Produsul scalar dintre vectorii forta rezultanta si moment rezultant este un invariant al operatiei de reducere într-un punct al unui sistem de forte. 16416c21q

Demonstratie: Înmultind scalar relatia prin si observând ca , obtinem ca:

= constant (3. 16416c21q 10)

Produsul se numeste trinom invariant si este un al doilea invariant al operatiei de reducere. 16416c21q Pentru a justifica aceasta denumire se considera vectorii si proiectati pe axele reperului cartezian Oxyz (, ) si se utilizeaza relatia (2. 16416c21q 9). 16416c21q Se obtine:

= constant (3. 16416c21q 11)

P3) Proiectia momentului rezultant pe directia fortei rezultante este un invariant al operatiei de reducere. 16416c21q

Demonstratie: Fie versorul directiei fortei rezultante si proiectia momentului rezultant pe directia rezultantei (figura T 3. 16416c21q 8). 16416c21q Atunci:

= constant. 16416c21q

Observatia v) nu este un invariant independent de rezultanta si trinomul invariant , el rezultând ca raport al celor doi. 16416c21q Pentru operatia de reducere a unui sistem de forte într-un punct avem doi invarianti si anume si sau si . 16416c21q

Figura T 3. 16416c21q 8    Figura T 3. 16416c21q 9