Transformari regulate

11.1. Consideram spatiul vectorial euclidian (al vectorilor -dimensionali) inzestrat cu o baza ortonormata asociat spatiului afin dimensional (ale carui elemente sunt puncte) si in care s-a considerat un sistemul de coordonate carteziene format din punctul oarecare, dar fixat si baza ortonormala ), notat .

Fie un punct oarecare al spatiului afin . Vectorul

, (1)

se numeste vectorul de pozitie al punctului , iar componentele ale vectorului pe baza se numesc coordonatele punctului in sistemul de coordonate carteziene ales .

Corespondenta intre punctele si -uplele ordonate de numere reale este biunivoca pentru un sistem de coordonate dat si notam aceasta corespondenta prin . Pentru sistemul de coordonate dat folosim notatia .

Fie un alt spatiu vectorial euclidian, de aceeasi dimensiune, raportat la o baza ortonormala in care s-a considerat un alt sistem de coordonate carteziene .

Presupunem ca s-a definit un omeomorfism (corespondenta biunivoca si continua) intre domeniile si .

Coordonatele carteziene ale punctului care este imaginea lui prin omeomorfismul dat, se numesc coordonate curbilinii ale lui . Intre coordonatele carteziene ale punctului si coordonatele carteziene ale punctului , evident, s-au stabilit relatiile

, (2)

definite cu ajutorul a -functii inversabile , (deocamdata numai continue).

Relatiile date de transformata inversa au forma

, (3)

unde , sunt functii continue.

11.3. Observatie. (a). Fie suprafata deschisa din , marginita de curba . Presupunem ca s-a stabilit un omeomorfism intre punctele suprafetei si un anumit domeniu plan din (vezi, fig.1).

Coordonatele carteziene ale punctelor de pe suprafata sunt legate de coordonatele carteziene ale unui punct din prin formulele

, (4)

unde functiile sunt presupuse de clasa . Perechile definesc coordonatele curbilinii pe suprafata .

(b). Consideram in spatiul vectorial euclidian curbele deschise care sunt omeomorfe cu anumite intervale ale axei reale .

Coordonatele carteziene ale punctelor de pe curba sunt legate de coordonata carteziana a unui punct din , prin formulele

unde functiile sunt de clasa . Parametrul defineste coordonata curbilinie pe curba .

11.4. Observatie. In general, daca dorim sa punem o problema asemanatoare cu cea din observatia 11.3 in cazul unei suprafete inchisa din , vom constata ca nu este posibil de rezolvat. Asadar, o astfel de reprezentare globala, in general, este imposibila. De exemplu, consideram sfera

Fie si , coordonatele curbilinii ale punctului de pe sfera . Legatura dintre coordonatele carteziene si coordonatele curbilinii este data de relatiile:

(7)

Relatiile (7) realizeaza un omeomorfism intre o portiune a sferei si un anumit domeniu plan al coordonatelor , cu conditia ca portiunea de pe sfera sa nu contina nici unul dintre polii si .

Polului ii corespunde coordonatele curbilinii si oarecare in , iar polului ii corespunde coordonatele curbilinii si oarecare in .

11.5. Observatie. Daca corespondenta dintre domeniile si este realizata de un difeomorfism de clasa ,

, ,

atunci spunem ca s-a realizat o transformare regulata a domeniului in .

(Spunem ca functia este difeomorfism de clasa daca este bijectiva (admite o unica inversa ) si functiile sunt de clasa ).

, (9)

unde, functia vectoriala este presupusa de clasa pe un anumit domeniul ( daca si numai daca functiile coordonate , sunt de clasa pe ) si astfel incat jacobianul (determinantul functional) transformarii (9) este nenul in (pastreaza semn constant in ), adica

. (10)

, (11)

este de clasa pe .

Figura 2. Coordonate curbilinii in spatiu

formeaza o baza ortonormata in orice punct , adica

(17)

si ca formeaza un triedru orientat drept.

. (20)

Figura 3. Elementul de volum in coordonate curbilinii

(21)

sau inca, folosind relatiile (14) deducem

. (24)

Figura.4. Coordonate polare

, (25)

avem,

(26)

, (28)

sunt marimile vectorilor si , denumiti coeficientii lui Lamé.

. (31)

Figura 5. Coordonate cilindrice.

sunt coeficientii lui Lamé, ce reprezinta marimile vectorilor .

. (37)

. (38)

Figura 6. Coordonate sferice.

, (41)

avem

(43)

unde

(44)

sunt coeficientii lui Lamé, ce reprezinta marimile vectorilor .

un domeniu din spatiul euclidian punctual tridimensional un reper cartezian ortogonal asociat acestui spatiu punctual, iar V multimea vectorilor liberi asociati lui , organizata ca spatiu vectorial peste corpul numerelor reale. Notam cu o baza a spatiului vectorial asociat V, iar cu coordonatele unui punct oarecare in reperul considerat.

, definite punctual pe D se numesc campuri (altfel spus, fiecarui punct P al spatiului D ii asociem scalarul sau vectorul , bine determinat). Aceste campuri sunt independente de timpul t si de aceea se numesc campuri stationare sau permanente, iar cand functiile care definesc campurile respective depind si de timpul t deci, , atunci campurile se numesc nestationare sau nepermanente (sau variabile).

care asociaza la orice punct, numarul real

din spatiu (denumit camp potential) definit prin

unde

si un punct fixat din D. Suprafata de ecuatie

(1)

ce trece prin punctul fix . Ecuatia (1) se poate scrie sub forma

(2)

are ecuatia

Figura 1. Suprafete de nivel,

si gradientul in punctul P.

se numesc linii de nivel. De exemplu, pe o harta liniile de egala altitudine; aceste linii sunt numite si curbe de nivel.

si punctul fixat , iar un punct variabil din D situat pe dreapta ce trece prin P si care are directia determinata de versorul (vezi fig. 2).

Vom nota cu si vectorii de pozitie ai punctelor P respectiv. Atunci avem Figura 2. Derivata dupa directia

Transformata se numeste transformata regulata pe daca este transformata regulata in orice punct .

Vom observa ca daca este transformare regulata in punctul , atunci este transformare regulata intr-o intreaga vecinatate a punctului. Intr-adevar, deoarece intr-o vecinatate a punctului , atunci jacobianul este functie continua in si diferit de zero in acest punct; deci exista o vecinatate a punctului pe care jacobianul este nenul in vecinatatea a lui . Asadar, in vecinatatea avem si jacobianul este nenul, deci este transformare regulata in .

13.4. Propozitie. Jacobianul unei transformari regulate in domeniul pastreaza acelasi semn in orice punct .

Demonstratie. Deoarece transformarea este regulata pe domeniul (multime conexa si deschisa), atunci jacobianul transformarii este functie continua pe . Daca jacobianul ar lua valori de semne diferite in doua puncte distincte din , atunci exista un punct a.i. ceea ce ar contrazice ipoteza ca transformarea este regulata in .

Exemplul 1. Fie si functiile

Vom arata ca relatiile asociaza la orice punct un unic punct unde

(i). Multimile si sunt deschise si conexe (domenii plane). Definim functia . Se verifica usor ca .

(ii). Jacobianul transformarii este nenul in fiecare punct din ( este o transformare regulata) :

Inversa transformarii , , are forma

si jacobianul transformarii inverse are valoarea

in orice punct din .

Exemplul 2. Transformarea de coordonate polare in plan

, ,

defineste functia vectoriala , , care are jacobianul nenul,

Se observa ca jacobianul acestei transformari este nenul in toate punctele din spatiul euclidian bidimensional cu exceptia originii. Deci transformarea este regulata in orice domeniu din plan care nu contine originea. Originea este punct de neregularitate impus de alegerea coordonatelor polare.

Inversa transformarii , definita de functiile coordonate

Functia , definita de relatiile , deoarece are jacobianul pozitiv pentru realizeaza o transformare regulata a multimii pe multimea .

13.5. Teorema. Fie , multimi deschise. Daca transformarea , definita prin

Demonstratie. Fie si , . Aceste relatii sugereaza introducerea functiilor , definite prin

. (3)

Vom arata ca functia vectoriala verifica conditiile pentru ca ecuatia sa poata fi rezolvata in raport cu , adica putem determina ca functii de variabilele astfel ca .

Prin ipoteza, avem

(4)

Deoarece atunci exista o vecinatate a.i . Potrivit relatiilor (3) rezulta ca functiile sunt de clasa (chiar de clasa , unde ) si avem

Atunci, din teorema functiilor implicite, rezulta ca exista vecinatatile si si functiile a.i. , oricare ar fi si care verifice identitatile

oricare ar fi , (5)

Pentru a deduce relatia (6) vom arata ca intre jacobianul transformarii date si jacobianul transformarii inverse exista relatia .

In adevar, deoarece relatiile si sunt verificate , avem

si .

Sistemul (5) este echivalent cu sistemul

oricare ar fi .

Diferentiind aceste relatii si folosind expresiile

si ,

deducem

oricare ar fi si .

Acest sistem poate fi scris sub forma

oricare ar fi si .

sau, folosind scrierea matriciala, avem

oricare ar fi si .

Asadar, rezulta

de unde, luand determinantul in ultima relatie, obtinem (6).