Unde mecanice

Unde mecanice

Fenomenele ondulatorii intalnite in natura si in tehnica precum vibratiile , oscilatiile sau orice fel de perturbatii constituie unde

Undele elastice reprezinta propagarea perturbatiilor dintr-o zona in alta a unui mediu elastic . Undele elastice transfera energia primita in procesul de perturbatie de la un oscilator la altul fara transport de substanta .

Undele elastice pot fii longitudinale sau transversale . In undele longitudinale particulele mediului elastic oscileaza pe directia de propagare a acestora ele se caracterizeaza printr-o viteza de faza : Vlong=

Reflexia si refractia undelor

Sunetele sunt vibratii care calatoresc prin aer, apa, sau obiecte solide. Numarul de sunete pe secunda este cunoscut sub numele de frecventa, si este masurat in hertzi. Sunete cu frecvente inalte sunt percepute ca fiind tonalitati inalte. Tonalitati mai inalte decat limita auzului uman, de obicei peste 20.000 hertzi, sunt denumite ultrasunete. Cand un sunet se loveste de un obiect, sunetul se reflecta. Sunetul reflectat se numeste ecou.

Prin interpretarea corecta a ecourilor, animalele pot sa determine distanta pana la un anumit obiect, dimensiunea, si fie daca acesta se indeparteaza sau se apropie. Intervalul de timp in care un sunet este emis si intoarcerea lui sub forma unui ecou indica distanta pana la acel obiect - ecoului ii trebuie mai mult timp pentru a se intoarce atunci cand obiectele se afla la distante mai mari. Intensitate ecoului este determinata de dimensiunile obiectului, de distanta, si de textura acestuia. Ecourile unui obiect apropiat sunt compresate, reintorcandu-se cu o frecventa mai mare decat la aceea la care au fost emise (vezi efectul Doppler). Pentru un obiect care se indeparteaza, efectul este invers. Studiile efectuate demonstreaza ca balenele pot face diferenta intre anumite tipuri de peste, iar liliecii pot evita firele foarte subtiri de tensiune in timp ce zboara cu viteza mare.

Delfinii si anumite specii de balene emit suntete cu o frecventa mai mare, de la nivelele scazute folosite in vorbirea umana (ca. 250 hertzi) la ultrasunte (ca. 220.000) care sunt cu mult peste limita auzului uman.

Legile reflexiei si refractiei undelor

O unda de orice natura ajungand la suprafata de separatie a doua medii diferite sufera fenomenele de reflectie si refractie, adica partial trecand dintr-un mediu in altul, iar partial intorcandu-se in mediul in care au fost produse. Aceasta concluzie generalizeaza numeroasele experimente efectuate cu toate categoriile de unde. Legile experimentale ale reflexiei si refractiei pot fi regasite teoretic impunand anumite conditii de continuitate pe suprafata de separatie. Vom stabili in cele ce urmeaza legile acestui fenomen in cazul undelor scalare care se propaga in medii izotrope, liniare, nedispersive, conservative si omogene.

Fie mediile I si II caracterizate prin vitezele de faza v₁ si v₂ separate prin suprafata plana σ. Din mediul I soseste spre suprafata II unda incidenta a carei directie de propagare data de versorul face cu normala la plan 949g65j ul σ unghiul σ₁ numit unghi de incidenta. Consideram unda incidenta, unda armonica plana de frecventa ω_i si amplitudine a_i

unda refractata de amplitudine a_r se propaga dupa directia data de versorul si face cu normala la plan 949g65j ul de separatie unghiul α₂ numit unghi de reflexie.

Unda refractata, numita si unda transmisa, de amplitudine a_t se propaga in mediul II dupa o directie data de versorul si face unghiul α₃ numit unghi de refractie cu directia normala la planul σ

Vom impune functiei de unda conditia de a fi continua pe suprafata de separatie dintre cele doua medii. O astfel de conditie rezulta din considerente fizice: daca ψ este presiunea undei elastice ea trebuie sa aiba aceeasi valoare pe ambele fete ale suprafetei.

adica

Conditia trebuie satisfacuta identic pentru orice valori ale marimilor independente intre ele t si . Ceea ce inseamna ca pe planul σ cele trei unde au aceeasi faza.

relatie care este satisfacuta pentru orice valoare a lui t si deci:

relatiile de mai sus exprima legile reflexiei, refractiei dupa cum urmeaza:

1⁰ Frecventa unei unde este invarianta in raport cu procesele de reflexie - refractie.

Scriem cu ajutorul cosinusurilor directori produsele scalare considerate la suprafata de separatie (z = 0)

Punem conditia ca unda incidenta sa fie cuprinsa in planul XOZ (cosγ₁=0)

Scriem conditiile impuse anterior

se obtine

aceasta ultima relatie permite definirea urmatoarei legi:

2⁰ Directiile de propagare ale undelor incidente, reflectata si transmisa si directia normalei la suprafata de separatie sunt coplanare.

De asemenea se obtin urmatoarele relatii:

adica

3⁰ Unghiul de reflexie este egal cu unghiul de incidenta si

4⁰ Raportul dintre sinusul unghiului de incidenta si sinusul unghiului de refractie este egal cu raportul vitezelor de propagare ale undelor in cele doua medii si se numeste indicele relativ al mediilor.

Pentru a calcula amplitudinea undei reflectate si undei transmise vom scrie conditia de continuitate si din egalitatea fazelor se obtine urmatoarea relatie intre amplitudinile celor trei unde:

Pornim de la faptul ca unei marimi scalare ψ, i se poate asocia o marime vectoriala

unde χ este o constanta de material. Daca ψ este o functie de unda atunci si este o functie de unda pentru care impunem conditia de continuitate pentru componenta normala la suprafata de separatie

dupa efectuarea tuturor derivatelor si simplificarea cu ( iω) si cu factorii exponentiali ( egali cu suprafata σ) se obtine

dar

notam cu o noua constanta de material pe care o vom numi impedanta mediului

rezolvand sistemul de mai sus rezulta

Obs:

In cazul particular al incidentei normale α₁ = α₂ = 0 formulele devin

daca

schimbarea semnului de echivalenta cu modificarea fazei cu deoarece

. Modificarea fazei modifica diferenta de drum

Difractia undelor mecanice

Provocarea 1C10−1

O unda plana se propaga catre un paravan in care este practicata o deschidere (figura 1C10−1).

Cum te astepti sa se propage unda dupa ce trece prin deschidere?

Conform principiului lui Huygens, particulele mediului aflate in zona deschiderii devind surse secundare, de la care se propaga unde in toate directiile.

Daca deschiderea este de mici dimensiuni, comparabile cu lungimea de unda, undele secundare provenite din interiorul deschiderii sunt practic in faza, astfel ca frontul de unda care rezulta este aproape semicircular (figura 1C10−2).

Figura 1C10−3 prezinta fotografia undelor de pe suprafata apei care trec printr−o deschidere de mici dimensiuni.

Fig. 1C10-3. Fotografia undelor pe suprafata apei care trec printr−o deschidere mica.

Acest fenomen a fost punctul de plecare in formularea, de catre Huygens, a principiului care permite intelegerea propagarii undelor.

Numim difractie fenomenul de propagare a undelor si in spatele obstacolelor pe care le intalnesc in mediul de propagare.

Provocarea 1C10−2

Cum te astepti sa se propage o unda prin deschiderea dintr−un paravan, daca largimea acestei deschideri este mult mai mare decat lungmimea de unda?

Largimea deschiderii fiind mult mai mare decat lungimea de unda, in dreptul deschiderii se vor reface fronturi plane de unda (ca la propagarea undei plane).

Efectul difractiei este mai putin pregnant si se manifesta doar in 'flancurile' fronturilor plane (figura 1C10−4).

Provocarea 1C10−3

Te astepti ca tulpinile plantelor din figura 1C10−5 sa reprezinte un obstacol pentru propagarea undelor pe suprafata apei?

Fig. 1C10-5. Tulpini care 'strapung' suprafata apei.

Cand o unda intalneste un obstacol, unda patrunde prin difractie si in spatele 'flancurilor' acestuia.

Daca dimensiunile obstacolului sunt mici (comparabile cu lungimea de unda), undele secundare din flancurile acestuia sunt aproape in faza, interfera constructiv si refac frontul de unda, (aproape) ca si cand obstacolul nu ar exista!

Daca dimensiunile obstacolului sunt mult mai mari decat lungimea de unda, undele secundare din flancurile acestuia se atenueaza aproape complet inainte de a interfera.

Astfel, amplitudinea undei in spatele obstacolului scade considerabil − un obstacol de mari dimensiuni este intr−adevar un obstacol pentru unde (figura 1C10−6).

Provocarea

Cea mai grava nota care poate fi cantata la un pian are frecventa fundamentala 27,5 Hz.

De ce oare nu se realizeaza piane care sa genereze sunete si mai grave?

Desi tehnic ar fi posibil (adaugand, de exemplu, corzi mai lungi), nu ar fi de folos nimanui: undele sonore cu frecventa sub aproximativ 20 Hz nu mai provoaca nici unui om senzatii auditive.

Numim infrasunete undele sonore cu frecventa sub 20 Hz.

Intr−una dintre activitatile experimentale precedente, ai generat infrasunete: vedeai cum membrana difuzorului vibreaza, puteai simti vibratiile atingand membrana, dar nu auzeai nimic!

Desi nu provoaca senzatii auditive, infrasunetele reprezinta totusi propagarea unor perturbatii care sunt resimtite ca trepidatii ale corpului.

Eruptiile vulcanice, vantul, tunetele, cascadele, valurile, caderea meteoritilor, miscarile ghetarilor, cutremurele, avalansele, elefantii − toate acestea genereaza infrasunete!

Dar si rachetele, vehiculele, compresoarele, ventilatoarele de tavan sunt surse de infrasunete.

Infrasunetele cu nivele acustice ridicate (140 dB sau mai mult, pentru doua minute) provoaca oamenilor stari de anxietate, greata, le perturba echilibrul si orientarea.

In 2003 a fost efectuat la Londra un experiment utilizand infrasunete: in timpul unui concert au fost suprapuse, din cand in cand, peste sunetele 'normale' ale concertului, infrasunete cu frecventa aproximativ 17 Hz.

Generatorul de infrasunete a fost realizat dintr−o conducta lunga de 7 m. La unul dintre capete conductei a fost amplasat un difuzor de mari dimensiuni (figura 1D5−1).

Fig. 1D5-1. Tubul generatorului de infrasunete.

Provocarea 1D5−2

Cat te astepti sa fie frecventa de rezonanta a acestui tub?

La capatul la care este montat difuzorul, amplitudinea de vibratie a moleculelor de aer este maxima: la acest capat se formeaza un ventru.

In conditii de rezonanta, la celalalt capat ne asteptam sa se formeze tot un ventru, astfel incat tubul sa radieze in aerul inconjurator unde sonore de intensitate maxima.

Cea mai coborata frecventa pentru care exista ventre la ambele capete ale tubului este cea pentru care lungimea tubului este egala cu distata dintre doua ventre vecine ().

Asadar, frecventa fundamentala de rezonanta asteptata este:

unde c este viteza sunetului in aer ().

Pentru un tub cu lungimea 7 m, la 20⁰C, rezulta ca frecventa fundamentala de rezonanta asteptata este 24,5 Hz.

Frecventa fundamentala de rezonanta masurata a fost 17,5 Hz. Discrepanta dintre valoarea asteptata si cea masurata se datoreaza, in principal, faptului ca ventrul se formeaza mai departe de capatul liber, ca si cand tubul ar fi in realitate mai lung.

Spectatorii au raportat cresterea semnificativa a senzatiilorstranii (anxieatate, furnicaturi la nivelul coloanei vertebrale si ale incheieturilor, senzatie de racire).

Pentru a elimina raportarile subiective, acelasi concert a fost prezentat unei audiente asemanatoare, in aceeasi sala, fara a adauga infrasunete.

Acest grup de control a raportat cu 22% mai putine senzatii stranii, confirmand astfel rolul infrasunetelor.

Pentru fiecare dintre noi, exista o frecventa maxima a undelor sonore care mai produce senzatii auditive. Aceasta frecventa maxima este diferita pentru persoane diferite si, in general, scade odata cu inaintarea in varsta.

Nici un om nu poate avea insa senzatii auditive pentru frecvente care depasesc 20 kHz.

Numim ultrasunete undele sonore cu frecventa peste 20 kHz.

O imprimanta cu jet de cerneala 'arunca' pe hartie, in fiecare secunda, zeci de mii de picaturi minuscule de cerneala.

Perturbatiile pe care le provoaca in aer aceste picaturi se propaga ca unde ultrasonore.

Imprimanta pare silentioasa (auzi doar zgomotul motoarelor), dar, daca ai putea auzi ultrasunetele, ai auzi imprimanta 'cantand' in ritmul in care 'improasca' cerneala!

Provocarea 1D5−3

Cum ai putea oare determina distanta pana la un obstacol, utilizand unde sonore?

Emitand un semnal scurt, acesta se va propaga pana la obstacol, se va reflecta de acesta si se va intoarce la cel care l−a emis (ecou).

Cunoscand viteza de propagare si intarzierea pe drumul dus−intors, poate fi determinata distanta pana la obstacol.

Precizia determinarii distantei pana la obstacol depinde esential de lungimea de unda: nu pot fi emise perturbatii care sa aiba mai putin de un ciclu (particulele mediului trebuie macar 'impinse' si apoi lasate sa revina, dupa un ciclu, la pozitia initiala).

Precizia de determinare depinde astfel de durata unui ciclu: cu cat aceasta este mai mica, cu atat cronometrarea drumului dus−intors este mai precisa.

Astfel, precizia de determinare a distatei pana la obstacol depinde de lungimea de unda, fiind comparabila cu aceasta.

Provocarea 1D5−4

Cat este lungimea de unda, in aer, a unui sunet cu frecventa 340 Hz?

Dar a unui ultrasunet cu frecventa 340 kHz?

Ce iti poate oferi o precizie mai mare de determinare a distantei pana la un obstacol: sunetul sau ultrasunetul?

Un aparat fotografic poate determina automat distanta pana la subiectul care este fotografiat, prin metoda ecoului, utilizand ultrasunete.

Tot cu ultrasunete pot fi detectate defecte interne in piese sau constructii, urmarind ecourile provenite de la granita defectelor.

Submarinele detecteaza obstacolele tot cu ajutorul ultrasunetelor, folosind sonarul (asemenea delfinilor).

Folosind ultrasunete cu frecventa de ordinul megahertzilor, poate fi investigat in detaliu interiorul organismelor vii, fara a le afecta prea mult (ecograful).

La granita dintre doua tesuturi cu consistenta diferita, se produce reflexia ultrasunetelor (ecou).

Un computer interpreteaza ecourile sosiste si genereaza o imagine tridimensionala a obstacolelor intalnite.

Astfel, poate fi vazut un copil inainte ca acesta sa se nasca ! (figura 1D5−2)

Difractia consta in schimbarea directieti de mers la trecerea pe langa obstacole sau la traversarea fontelor cu dimensiuni comparabile cu lungimea de unda .

Fenomenul de difractie poate fi explicat aplicand principiul lui

Huygens:punctele din portiunea de suprafata de unda din fonta sau orificiuau devenit noi centre de oscilatie , de la care se propaga unde circulare si in spatele paravanului

Cand dimensiunile obstacolelor sau fontelor sunt mai mari in raport cu lungimea de unda atunci fenomenul de difractie este mai slab. Cand dimensiunile obstacolelor sau fontelor sunt mici in raport cu lungimea de unda sau sunt comparabile cu lungimea de unda difractia se pune in evidenta.

Retineti

Explicatia difractiei este ca fiecare punct de pe frontul de unda este o sursa de oscilatiisecundare , conform principiului
Huygens